Статистическая обработка данных при сертификации продукции

Размещено на http://www.allbest.ru

Задание

Производится исследование точности измерения дальности с помощью радиальности. Зарегистрированы следующие ошибки показаний прибора (в метрах):

дальность радиальность дисперсия гистограмма

1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.

2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 - б) = 0,85).

3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,7 - 1) .

4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности ((1 - б) = 0,90).

5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.

6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 - б) = 0,90).

7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.

8. Используя критерий согласия ч² и критерий Колмогорова, проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом распределения при заданном уровне значимости (б = 0,05).

Решение

Располагаем экспериментальные данные в порядке возрастания:

1. Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 90, по формулам:

- для математического ожидания MX - выборочное среднее:

- для дисперсии DX - исправленная дисперсия:

- выборочная дисперсия - DX

2. Находим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для доверительной вероятности (1 - б) = 0,85.

1) 2Ц(е_б) = 1 - б, Ц(е_б) - функция Лапласа

Ц(е_б) = (1 - б)/2 = 0,85/2=0,425

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 1,44

2) а) доверительный интервал для математического ожидания:

Mx1 = 2,0 - 1,44М

Mx2 = 2,0 +1,44М

б) доверительный интервал для дисперсии:

Dx1 = = 446,10

Dx2= = 688,96

3. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,7 - 1) , то есть 1,4 ? ? 2:

,

m = 4 - число значений, попавшее в данный интервал,

n = 90 - общее число значений

4. Доверительный интервал для вероятности попадания случайной величины с доверительной вероятностью (1 - б) = 0,90:

2Ц(е_б) = 1 - б, Ц(е_б) - функция Лапласа

Ц(е_б) = (1 - б)/2 = 0,90/2=0,45

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 1,65

Р1 = =0,020

Р2 = =0,095

5. 1) Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0;316) и разбиваем его на 10 равных разрядов.

Значение гистограммы Г(x) находим по формуле :

,

где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;

- его длина.

величина интервала:

количество разрядов: k =

величина разряда:

Гистограмма представлена на рисунке 1.

Рисунок 1.

2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

,

где - число экспериментальных точек, лежащих левее Х.

Таблица значений F (x)

Ее график представлен на рисунке 2.

Рисунок 2.

6. Построение доверительных областей для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности (1 - б) = 0,90.

1) Построение доверительной области для функции распределения F (x):

- (1 - б) = 0,90 по таблице Колмогорова = 1,23

- максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции:

D =

- искомая область выражается следующим образом:

F (x)

Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.

График эмпирической функции распределения F(x) с доверительной областью.

Рисунок 3.

2) Построение доверительной области для плотности распределения f (x):

- для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х

,

где n_i - число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд

Это было определено в 5 пункте.

- находим доверительную вероятность (1-б₁) для построения доверительной области на каждом разряде:

(1-б₁) = 1 - б/r, r = 12 - число разрядов, включая полубесконечные.

(1-б₁) = 1 - 0,10/12 = 0,99 б₁ = 0,01

- находим величину е_б из условия: 2Ц(е_б) = 1 - б₁, Ц(е_б) - функция Лапласа

Ц(е_б) = (1 - б₁)/2 = 0,99/2=0,495

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 2,61

- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам:

- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения:

и (для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области )

Рассчитываем и строим следующую таблицу.

Гистограмма с доверительной областью изображена на рисунке 4.

Рисунок 4.

7. Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.

Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией

,

.

Определим F_г(Х) для нескольких Х, полученные результаты занесем в таблицу.

Эмпирическая F(X) и гипотетическая F_г(Х) функции распределения.

Рисунок 5

Для плотности распределения:

Значение f_г(x) при разных значениях Х.

График для плотности распределения представлен на рисунке 6.

Рисунок 6

8. Проверка правдоподобия гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости б = 0,05.

1) Для проверки гипотезы с уровнем значимости используем критерий Пирсона . Экспериментальное значение находим по формуле:

,

где - число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды),

- номер разряда.

- вероятность попадания случайной величины в -й разряд при гипотезе ,

- число экспериментальных точек, попавших в -й разряд,

- общее число экспериментальных точек, n = 90

- экспериментальная частота попадания случайной величины в -й разряд.

Распределение критерия зависит от числа степеней свободы , которое находится по формуле:

,

где - число параметров гипотетического распределения.

Если гипотетическим распределением является нормальное, то .

Таким образом, при и из таблицы находим

ч_э² ч_б² и, следовательно, гипотеза по критерию согласия является правдоподобной.

2) Для проверки гипотезы с уровнем значимости используем критерий Колмогорова Л.

Если величина D равна максимальной разнице между эмпирической и гипотетической F_г(x) функциями распределения:

D = 0,9872,

и n - общее число экспериментальных данных, то

Л_э = 0,9872= 9,365

При уровне значимости б = 0,05 Л_б = 1,36

Л_э > Л_б гипотеза не правдоподобна.

Вывод: по критерию Пирсона гипотеза является правдоподобной, а по критерию Колмогорова она не правдоподобна. Но критерий Пирсона более весом, чем критерий Колмогорова, следовательно, гипотеза является правдоподобной, то есть выбранный закон распределения совпадает (по критерию Пирсона) с истинным законом распределения при уровне значимости б = 0,05.

Размещено на Allbest.ru