Определение ошибок измерительных приборов
Оценка вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Построение гистограммы и эмпирической функции распределения. Проверка правдоподобия гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом с помощью критерия согласия.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.10.2017 |
| Размер файла | 854,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки РФ
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева
Кафедра «Стандартизация и сертификация»
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Основы метрологии, стандартизации и сертификации»
Проверил: Иванов В.В.
Выполнил: Поздеева Е.В. Группа И-43
Москва 2008
Вариант №12
В ста измеренных эталонах фиксировались ошибки измерительных приборов данного типа. Результаты измерения сведены в таблицу:
|
0,72 |
0,51 |
1,03 |
1,08 |
2,29 |
-0,98 |
-1,08 |
-0,83 |
1,24 |
0,12 |
|
|
1,19 |
1,22 |
1,15 |
0,91 |
-0,19 |
1,78 |
0,62 |
0,84 |
1,02 |
1,95 |
|
|
1,79 |
0,83 |
1,29 |
1,43 |
0,04 |
1,31 |
0,10 |
0,17 |
0,15 |
0,03 |
|
|
1,19 |
2,09 |
1,87 |
0,47 |
2,19 |
1,48 |
0,56 |
-0,69 |
0,50 |
0,19 |
|
|
0,74 |
2,24 |
0,71 |
-0,43 |
1,41 |
-1,57 |
1,51 |
-0,35 |
1,44 |
0,44 |
|
|
2,58 |
0,85 |
2,12 |
3,92 |
1,16 |
0,61 |
1,00 |
-0,88 |
1,50 |
0,37 |
|
|
2,09 |
-0,69 |
0,21 |
-0,19 |
0,37 |
-1,83 |
-0,27 |
-0,11 |
0,75 |
0,68 |
|
|
1,45 |
-0,04 |
1,06 |
1,19 |
1,75 |
1,36 |
-0,79 |
-0,73 |
0,58 |
0,57 |
|
|
0,54 |
2,62 |
1,48 |
1,94 |
0,79 |
-0,04 |
0,02 |
2,05 |
1,86 |
1,52 |
|
|
1,96 |
2,05 |
2,05 |
2,22 |
-0,53 |
1,09 |
-0,36 |
1,73 |
0,74 |
0,43 |
Содержание работы
1. Используя табличные значения необходимо найти математическое ожидание и дисперсию (Mx, Dx).
2. Найти доверительный интервал для Mx, Dx, соответствующий доверительной вероятности (1 - )=0,95.
3. Оценить вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,7 1).
4. Для этой вероятности (3) найти интервал, соответствующий коэффициенту доверия (1 - )=0,9.
5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
6. Найти и построить доверительные области для f(x), соответствующую коэффициенту доверия (1- )=0,95; и F(x), соответствующую коэффициенту доверия (1- )=0,8.
7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
8. Используя критерий согласия и критерий Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости =0,1.
распределение величина распределение вероятность
Решение
Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.
|
Выборочное среднее: Выборочная дисперсия: Исправленная дисперсия: |
Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-б)=0,95. Тогда по формуле:
По таблице Лапласа находим еб=1,92.
|
Доверительный интервал для математического ожидания: |
Mx1 = 0,825- 1,92М
Mx2=0,825+1,92М
|
Доверительный интервал для дисперсии: |
Dx1 = = 0,795
Dx2= = 1,380
следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:
0,631 MX 1,019 0,795 DX 1,380
3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал . Т.к. в этот интервал попало m=9 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:
4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р(х), оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-б)=0,9. Тогда еб=1,65, а искомый интервал имеет вид:
5. Построим гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
1) Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-1,85 ; 3,95) и разбиваем его на 8 равных разрядов, каждый из которых длинной 0,725.
Значение гистограммы Г(x) находим по формуле:
,
где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;
- его длина.
величина интервала:
количество разрядов: k = 8
величина разряда:
Затем рассчитываем следующую таблицу:
|
№ разряда |
Разряд |
Частота попадания случайной величины X в разряд |
Значение гистограммы Г (х) |
|||
|
нижняя граница |
верхняя граница |
|||||
|
ni |
ni/n |
|||||
|
1 |
-1,85 |
-1,125 |
2 |
0,02 |
0,028 |
|
|
2 |
-1,125 |
-0,4 |
1 |
0,1 |
0,138 |
|
|
3 |
-0,4 |
0,325 |
17 |
0,17 |
0,234 |
|
|
4 |
0,325 |
1,05 |
27 |
0,27 |
0,372 |
|
|
5 |
1,05 |
1,775 |
24 |
0,24 |
0,331 |
|
|
6 |
1,775 |
2,5 |
17 |
0,17 |
0,234 |
|
|
7 |
2,5 |
3,225 |
2 |
0,02 |
0,028 |
|
|
8 |
3,225 |
3,95 |
1 |
0,01 |
0,014 |
График гистограммы представлен на рис.1:
2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.
Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:
,
где - число экспериментальных точек, лежащих левее Х.
Таблица значений F (x)
|
1 |
0 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
|
|
2 |
0,01 |
0,11 |
0,21 |
0,31 |
0,41 |
0,51 |
0,61 |
0,71 |
0,81 |
0,91 |
|
|
3 |
0,02 |
0,12 |
0,22 |
0,32 |
0,42 |
0,52 |
0,62 |
0,72 |
0,82 |
0,92 |
|
|
4 |
0,03 |
0,13 |
0,23 |
0,33 |
0,43 |
0,53 |
0,63 |
0,73 |
0,83 |
0,93 |
|
|
5 |
0,04 |
0,14 |
0,24 |
0,34 |
0,44 |
0,54 |
0,64 |
0,74 |
0,84 |
0,94 |
|
|
6 |
0,05 |
0,15 |
0,25 |
0,35 |
0,45 |
0,55 |
0,65 |
0,75 |
0,85 |
0,95 |
|
|
7 |
0,06 |
0,16 |
0,26 |
0,36 |
0,46 |
0,56 |
0,65 |
0,76 |
0,86 |
0,96 |
|
|
8 |
0,07 |
0,17 |
0,27 |
0,37 |
0,47 |
0,57 |
0,67 |
0,77 |
0,87 |
0,97 |
|
|
9 |
0,08 |
0,18 |
0,28 |
0,38 |
0,48 |
0,58 |
0,68 |
0,78 |
0,88 |
0,98 |
|
|
10 |
0,09 |
0,19 |
0,29 |
0,39 |
0,49 |
0,59 |
0,69 |
0,79 |
0,89 |
0,99 |
График эмпирической функции распределения случайной величины представлен на рис. 2:
- 6. Находим доверительные области для распределения f(х) и функции распределения F(х).
1) Построение доверительной области для плотности распределения f (x) соответствующей заданной доверительной вероятности (1-)=0,95
- для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х
,
где ni - число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд
Это было определено в (5) пункте.
- находим доверительную вероятность (1-б1) для построения доверительной области на каждом разряде:
(1-б1) = 1 - б/r, r = 10 - число разрядов, включая полубесконечные.
(1- б)=0,95 б=0,05
(1-б1) = 1 - б/r=1-0,05/10=0,995
- находим величину еб из условия: 2Ц(еб) = 1 - б1, Ц(еб) - функция Лапласа
Ц(еб) = (1 - б1)/2 = 0,995/2=0.4975
По таблице для функции Лапласа находим еб = 2,81
- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам в (4) пункте.
- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения:
и
(для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области )
Рассчитываем и строим следующую таблицу.
|
Разряд |
Частота попадания случайной величины X в разряд |
Доверительная область для вероятности попадания случайной величины в разряд |
Доверительные границы для плотности распределения f (x) |
||||
|
-1,85 |
-1,125 |
0,02 |
0,00347 |
0,10678 |
0 |
0,00625 |
|
|
-1,125 |
-0,4 |
0,1 |
0,043 |
0,21555 |
0,00043 |
0,01335 |
|
|
-0,4 |
0,325 |
0,17 |
0,0897 |
0,2986 |
0,00537 |
0,02694 |
|
|
0,325 |
1,05 |
0,27 |
0,16556 |
0,40811 |
0,01121 |
0,03732 |
|
|
1,05 |
1,775 |
0,24 |
0,14194 |
0,37612 |
0,02069 |
0,05101 |
|
|
1,775 |
2,5 |
0,17 |
0,0897 |
0,2986 |
0,01774 |
0,04701 |
|
|
2,5 |
3,225 |
0,02 |
0,00347 |
0,10678 |
0,01121 |
0,03732 |
|
|
3,225 |
3,95 |
0,01 |
0,00102 |
0,0907 |
0,00043 |
0,01335 |
Гистограмма с доверительной областью изображена на рис. 3:
2) Построение доверительной области для функции распределения F (x):
- (1 - б) = 0,80 по таблице Колмогорова = 1,08
- максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции:
D =
- искомая область выражается следующим образом:
F (x)
Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.
рассчитываем доверительную область для функции распределения F(х).
Таблица доверительных границ для F(x)
|
0 - 0.108 |
0.02- 0.208 |
0.102- 0.308 |
0.202 - 0.408 |
0.302 - 0.508 |
0.402 - 0.608 |
0.502 - 0.708 |
0.602 - 0.808 |
0.702 - 0.908 |
0.802 - 1 |
|
|
0 - 0.118 |
0.012 -0.218 |
0.112 - 0.318 |
0.212 - 0.418 |
0.312 - 0.518 |
0.412 - 0.618 |
0.512 - 0.718 |
0.612 - 0.818 |
0.712 - 0.918 |
0.812 - 1 |
|
|
0 - 0.128 |
0.022 -0.228 |
0.122 - 0.328 |
0.222 - 0.428 |
0.322 - 0.528 |
0.422 - 0.628 |
0.522 - 0.728 |
0.622 - 0.828 |
0.722 - 0.928 |
0.822 - 1 |
|
|
0 - 0.138 |
0.032- 0.238 |
0.132 - 0.338 |
0.232 - 0.438 |
0.332 - 0.538 |
0.432 - 0.638 |
0.532 - 0.738 |
0.632 - 0.838 |
0.732 - 0.938 |
0.832 - 1 |
|
|
0 - 0.148 |
0.042- 0.248 |
0.142 - 0.348 |
0.242 - 0.448 |
0.342 - 0.548 |
0.442 - 0.648 |
0.542 - 0.748 |
0.642 - 0.848 |
0.742 - 0.948 |
0.842 - 1 |
|
|
0 - 0.158 |
0.052- 0.258 |
0.152 - 0.358 |
0.252 - 0.458 |
0.352 - 0.558 |
0.452 - 0.658 |
0.552 - 0.758 |
0.652 - 0.858 |
0.752 - 0.958 |
0.852 - 1 |
|
|
0 - 0.168 |
0.062- 0.268 |
0.162 - 0.368 |
0.262 - 0.468 |
0.362 - 0.568 |
0.462 - 0.668 |
0.562 - 0.768 |
0.662 - 0.868 |
0.762 - 0.968 |
0.862 - 1 |
|
|
0 - 0.178 |
0.072- 0.278 |
0.172 - 0.378 |
0.272 - 0.478 |
0.372 - 0.578 |
0.472 - 0.678 |
0.572 - 0.778 |
0.672 - 0.878 |
0.772 - 0.978 |
0.872 - 1 |
|
|
0 - 0.188 |
0.082- 0.288 |
0.182 - 0.388 |
0.282 - 0.488 |
0.382 - 0.588 |
0.482 - 0.688 |
0.582 - 0.788 |
0.682 - 0.888 |
0.782 - 0.988 |
0.882 - 1 |
|
|
0 - 0.198 |
0.092- 0.298 |
0.192 - 0.398 |
0.292 - 0.498 |
0.392 - 0.598 |
0.492 - 0.698 |
0.592 - 0.798 |
0.692 - 0.898 |
0.792 - 0.998 |
0.892 - 1 |
График эмпирической функции распределения F(x) с доверительной областью представлен на рис.4:
7. Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.
Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:
где Ф(u) - функция Лапласа
и с плотностью:
где - исправленная дисперсия
1) Определим Fг(Х) для каждого Х, полученные результаты занесем в таблицу:
|
i |
||||
|
0 |
-1,9283 |
-0,473 |
0,027 |
|
|
1 |
-1,2115 |
-0,387 |
0,113 |
|
|
2 |
-0,4946 |
-0,191 |
0,309 |
|
|
3 |
0,22228 |
0,087 |
0,587 |
|
|
4 |
0,93915 |
0,326 |
0,826 |
|
|
5 |
1,65602 |
0,45 |
0,95 |
|
|
6 |
2,37289 |
0,48827 |
0,98827 |
|
|
7 |
3,08976 |
0,49865 |
0,99865 |
|
|
8 |
-1,9283 |
-0,473 |
0,027 |
Эмпирическая F(X) и гипотетическая Fг(Х) функции распределения представлены на рис.5:
2) Определим fг(x) для каждого Х
|
0,0126 |
0,1826 |
0,2918 |
0,3669 |
0,3919 |
0,3872 |
0,3626 |
0,3137 |
0,2102 |
0,0876 |
|
|
0,0239 |
0,1985 |
0,3050 |
0,3709 |
0,3923 |
0,3865 |
0,3549 |
0,3115 |
0,1895 |
0,0817 |
|
|
0,0669 |
0,2008 |
0,3093 |
0,3746 |
0,3931 |
0,3840 |
0,3517 |
0,2644 |
0,1895 |
0,0037 |
|
|
0,0802 |
0,2195 |
0,3157 |
0,3758 |
0,3931 |
0,3821 |
0,3430 |
0,2597 |
0,1895 |
||
|
0,0952 |
0,2383 |
0,3198 |
0,3791 |
0,3934 |
0,3812 |
0,3337 |
0,2526 |
0,1805 |
||
|
0,1034 |
0,2383 |
0,3239 |
0,3811 |
0,3942 |
0,3746 |
0,3299 |
0,2503 |
0,1805 |
||
|
0,1102 |
0,2572 |
0,3278 |
0,3821 |
0,3945 |
0,3734 |
0,3279 |
0,2337 |
0,1738 |
||
|
0,1209 |
0,2736 |
0,3565 |
0,3830 |
0,3944 |
0,3696 |
0,3259 |
0,2313 |
0,1587 |
||
|
0,1284 |
0,2736 |
0,3565 |
0,3856 |
0,3943 |
0,3696 |
0,3199 |
0,2149 |
0,1524 |
||
|
0,1284 |
0,2873 |
0,3655 |
0,3864 |
0,3931 |
0,3696 |
0,3199 |
0,2125 |
0,1483 |
График для плотности распределения представлен на рисунке 6:
Используя критерии согласия ч2 и Колмогорова проверим правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости =0,1.
1) Для проверки гипотезы H0:F(x)=FГ (х) выбираем например уровень значимости б=0,1 и используем вначале критерий согласия ч2. Его экспериментальное значение, согласно формуле:
|
i |
||||||||
|
1 |
0,02 |
-1,9283 |
-0,473 |
-2,6452 |
-0,498 |
0,025 |
0,001 |
|
|
2 |
0,1 |
-1,2115 |
-0,387 |
-1,9283 |
-0,473 |
0,086 |
0,00228 |
|
|
3 |
0,17 |
-0,4946 |
-0,191 |
-1,2115 |
-0,387 |
0,196 |
0,00345 |
|
|
4 |
0,27 |
0,22228 |
0,087 |
-0,4946 |
-0,191 |
0,278 |
0,00023 |
|
|
5 |
0,24 |
0,93915 |
0,326 |
0,22228 |
0,087 |
0,239 |
4,2E-06 |
|
|
6 |
0,17 |
1,65602 |
0,45 |
0,93915 |
0,326 |
0,124 |
0,01706 |
|
|
7 |
0,02 |
2,37289 |
0,48827 |
1,65602 |
0,45 |
0,03827 |
0,00872 |
|
|
8 |
0,01 |
3,08976 |
0,49865 |
2,37289 |
0,48827 |
0,01038 |
0 |
ч2э= 3,27629
А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости б=0,1 и числе степеней свободы s=10-1-2=7 согласно условию равно ч2б=12,017. Таким образом, и, следовательно, гипотеза Н0 по критерию согласия ч2 является правдоподобной.
2) Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 5)
откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:
Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости б=0,01 (см. табл. Колмогорова) равно лб=1,63. Таким образом и, следовательно, гипотеза Н0 является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение количества интервалов по формуле Старджесса. Определение среднего арифметического значения и среднеквадратического отклонения. Теоретическая вероятность попадания результата измерения в каждый интервал. Основные свойства функции Лапласа.
контрольная работа [56,2 K], добавлен 16.12.2012Оценка истинного значения измеряемой величины. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения. Оценка точности измерений. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте.
реферат [277,7 K], добавлен 13.10.2013Применение коэффициентов асимметрии и эксцесса для проверки нормальности распределения результатов измерений. Проверка с использованием критерия Пирсона. Оценка нормальности распределения периода калибровочной решетки "TGZ2" непараметрическим методом.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 29.04.2014Построение эмпирической вероятности безотказной работы. Определение параметров распределения итерационным методом. Рассмотрение количественных характеристик каждого фактора в отдельности. Определение средней наработки до первого отказа устройства.
отчет по практике [500,8 K], добавлен 13.12.2017Расчет допустимого значения диагностического параметра. Определение периодичности профилактики. Расчет надежности (безотказности) заданного механизма, агрегата, системы. Расчет эмпирических характеристик распределения и его теоретических параметров.
курсовая работа [264,0 K], добавлен 11.11.2013Разработка алгоритма статистического моделирования. Вычисление характеристик выборки. Формирование статистического ряда и графическое представление данных. Подбор подходящего закона распределения вероятностей. Определение характеристик надежности системы.
курсовая работа [322,5 K], добавлен 19.08.2014Характеристика технологического процесса, установка очистки газа от сераорганических соединений. Сбор экспериментальных данных, определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений. Построение гистограммы, применение контроля качества.
курсовая работа [102,6 K], добавлен 24.11.2009Расчет надежности операции или процента брака. Построение эмпирической кривой. Методика определения разности между наибольшим и наименьшим размерами, которая разбивается на несколько интервалов. Теоретическая кривая распределения результатов замера.
контрольная работа [317,1 K], добавлен 08.03.2012Порядок и методика выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями. Обработка наблюдений и оценка их погрешностей. Формулировка и проверка гипотезы тождественности теоретического и эмпирического закона распределения выборки.
курсовая работа [762,7 K], добавлен 09.03.2012Составление эскиза детали и характеристика средств измерений. Оценка результатов измерений и выбор устройства для контроля данной величины. Статистическая обработка результатов, построение гистограммы распределения. Изучение ГОСТов, правил измерений.
курсовая работа [263,8 K], добавлен 01.12.2015Установление соответствия брака для формообразующих операций сравнением заданного чертежного размера детали с ожидаемым значением технологического размера. Определение вероятности брака с помощью законов нормального распределения и равной вероятности.
лабораторная работа [99,9 K], добавлен 07.06.2012Сбор и обработка информации по надёжности. Определение закона распределения наработки до отказа. Анализ кривых и определение процента гильз, подлежащих обработке под ремонтный размер. Теоретический закон распределения и определение его параметров.
курсовая работа [313,5 K], добавлен 28.03.2012Сущность и назначение измерительных приборов, их виды. Классификация и принцип действия механических тахометров. Характеристика центробежных измерительных приборов. Магнитоиндукционные и электрические тахометры, счетчики оборотов, их сервисные функции.
реферат [394,8 K], добавлен 04.05.2017Описание детали, принцип работы и возможные неисправности. Выбор средств измерения. Определение дефектов деталей и коэффициентов повторяемости. Построение гистограммы распределения износов. Выбор способа восстановления. Расчет режимов нанесения покрытия.
курсовая работа [516,5 K], добавлен 20.08.2010Динамика процесса управления в статической схеме, основные понятия теории вероятности, функция распределения, плотность вероятности, законы распределения. Числовые характеристики случайных величин. Случайные процессы и их статистические характеристики.
реферат [130,2 K], добавлен 21.09.2009Характеристика проверки согласия эмпирического и теоретического распределений измеренных величин. Определение границ диапазона рассеивания значений и погрешностей, расчет доверительных интервалов. Построение гистограммы и полигона с функцией плотности.
контрольная работа [257,7 K], добавлен 03.06.2011Выбор и обоснование математической модели. План эксперимента. Проверка нормальности распределения выходной величины. Определение параметров генеральной совокупности. Расчет числа параллельных опытов. Обработка и интерпретация результатов эксперимента.
курсовая работа [333,0 K], добавлен 10.07.2014Выбор материала для изготовления деталей измерительных приборов с постоянством размеров при температурах -100…+100 °С. Описание ферромагнетиков, инварных сплавов. Химический состав и свойства материала 36Н. Особенности магнитно-твёрдых материалов.
реферат [496,4 K], добавлен 30.10.2013Процедура контроля партии заготовок, обработанных на станке-полуавтомате: измерение шкальным инструментом отклонения от номинального размера детали. Составление таблицы выборочного распределения и гистограммы, определение условия обеспечения качества.
курсовая работа [244,6 K], добавлен 25.03.2011Измерительные технологии как последовательность действий, направленных на получение измерительной информации требуемого качества. Вероятностное описание результатов и погрешностей, числовые параметры законов распределения. Центр и моменты распределений.
реферат [526,9 K], добавлен 01.09.2010
