Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки
Обзор поперечных колебаний балок постоянного сечения с учётом демпфирования. Рассмотрение случайных колебаний балки под действием векторных кинематических и динамических воздействий. Характеристика действия случайного процесса со скрытой периодичностью.
Рубрика | Производство и технологии |
Вид | дипломная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 31.10.2017 |
Размер файла | 506,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки
А.М. Казиев, В.Х. Хуранов, О.В. Костенко
ФГБОУ ВО «Кабардино-Балкарский государственный университет им Х.М. Бербекова», Нальчик, Россия
Аннотация
балка колебание сечение кинематический
Исследованы поперечные колебания балок постоянного сечения с учётом демпфирования. Рассмотрены случайные колебания балки под действием векторных кинематических и динамических воздействий. На примерах показаны влияние коэффициентов корреляции на среднеквадратические отклонения сечений балки. Определены внутренние силы в виде изгибающих моментов и поперечных сил. Приведён пример действия случайного процесса со скрытой периодичностью.
Ключевые слова: балка, демпфирование, прогиб, изгибающий момент, поперечная сила, случайный процесс, спектральная матрица, корреляция, вектор, матрица, передаточная функция.
Балки и колонны в виде стержней постоянного сечения самые распространённые конструктивные несущие элементы, применяемые в строительстве и в других областях. Многие внешние воздействия имеют случайный характер [1], [2], [3]. Эти действия могут быть динамическими, кинематическими [4] и комбинированными [5]. Действие таких нагрузок, в виде случайного процесса со скрытой периодичностью, исследовалось автором в статье [6]. Этим вопросам посвящались и работы зарубежных [7-9] и отечественных авторов [10], [11].
В данной работе автор рассматривает одновременное действие таких нагрузок. Причём учитывается их матрица коэффициентов корреляции, с помощью которого можно регулировать их «синфазность». Получены формулы для определения перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил.
Вынужденные случайные колебания
Рис. 1
Установившиеся колебания балки с шарнирно опертыми концами (рис.1) в общей постановке имеет вид
х,t> - .
(0, t) = f3(t). t) = (l, t) = f5(t).
Допустим на балку действует возмущение, которое является случайным стационарным и векторным
f(x, t) = {f1(t), f2(t), f3(t), f4(t), f5(t) },
где компоненты являются стационарно связанными, математическим ожиданием равным нулю и с заданной спектральной матрицей
(1)
и являющуюся эрмитовой, и в результате чего sij() =
В установившемся режиме- центрировано пространственно-временное случайное поле, стационарное во времени и неоднородное в пространственной координате. Далее ставится задача имея спектральную матрицу входного случайного процесса необходимо определить спектральную плотность и дисперсию выходного процесса. Функция математического ожидания перемещений сечений балки по заданному вектору математических ожиданий возмущений mf(x) = { m1, m2, m3, m4, m5} является традиционной.
Для этого используем передаточные функции
Hj(x, ij), j = 1, 2, …, 5.
Спектральная плотность случайного процесса колебаний вычисляется по следующей формуле
.
В векторно-матричной форме
, (2)
где H(x, iщ) - вектор-столбец.
Теперь дисперсия отклонений определяется по известному соотношению
(3)
И учитывая чётность Su, можно сократить вычисления
Введём вектор
X= { x1, x2, …, xn }, xj = (j-1)Дx, j = 1, 2, … , n,
- шаг разбивки. Вектор X устанавливается в соответствии со значением функции спектральной плотности
Su(xj, ) = HT(xj, i) Sf() H*(xj, i), j = 1, 2, …
определяемой формулой (2). Здесь
- вектор-столбец передаточных функций.
Введём норму для функции, учитывая то, что спектральная плотность является положительной величиной, её запишем в виде
. (4)
Постепенно увеличивая щ норма (4) будет уменьшаться. Тогда с большим шагом увеличивая щ, можно найти её наименьшее значение Щ, которое удовлетворяет условию
,
где м - малое положительное число, от которого зависит точность вычислений.
Пример. Возьмём стальную балку сечением двутавр № 14,l = 6 м, с = 7850 кг/ м3, E = 210 ГПа, S = 17, 4 см2 ,J = 573 см4, е = 0.9c-1.
Векторный процесс возмущения примем стационарным со стационарно связанными компонентами и скрытой периодичностью. Элементы матрицы (1) примут вид
Здесь jk- параметр широкополосности, jk-=- характерная частота, jk- элементы нормированной корреляционной матрицы, j- среднеквадратические отклонения процессов fj(t).
уq = 760 Н/м, у2 = 5 мм, у3 = 1800 Нм, у4 = 9мм, у5 = 950 Нм.
вjk = 2 с-1 (кривая 1), 35 с-1 (2), 46 с-1 (3), 310 с-1 (4), 620 с-1 (5);
j, k = 1, 2,…, 5.
Нумерация кривых указана по рис. 3, где приводятся результаты вычислений. Параметры широкополосности примем
бjk = 0.9 с-1, j, k = 1, 2, …5.
Элементы нормированной корреляционной матрицы приравняем к единице со знаками, которые учитывают направления
Наивысший предел и минимальный шаг интегрирования определяется по методу, описанному выше. График нормы спектральной плотности (4) примет вид, показанный на рис 2 при следующих частотах
вjk = 210 с-1, j, k = 1, 2, …,5.
Как видно по графику максимумы собственных частот 319,4 с-1 и 716,5 и далее практически неразличимы. Для построения графика использована функция десятичного логарифма. Максимумы на первой собственной частоте 79,6 с-1 и характерной частоте возмущений 210 с-1существенно больше, чем на обертонах. Поэтому большое значение будет иметь интегрирование в области, находящихся близко к указанным частотам. Предел интегрирования Щ можно принят равным 500 с-1. Шаг интегрирования при этом был равным 0,05 с-1.
Для изучения влияния коррелированности случайных возмущений промоделируем с помощью пяти соответствующих нормированных корреляционных матриц
Проведём вычисления при фиксированных значениях характерных частот
вjk = 10 c-1, j, k = 1, 2, 3.
Результаты представлены на рис. 4, где номера кривых соответствуют номерам корреляционных матриц. Нормированная корреляционная матрица в случайных колебаниях играет ту же роль, что и сдвиги фаз возмущений в гармонических колебаниях.
Максимум и шаг интегрирования, следующие Щ = 510 с-1, Дщ = 0,10 с-1.
Внутренние силы в поперечных сечениях
Для анализа прочности балки необходимо знать величину изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях балки. Как известно, у балки между прогибами и внутренними силами существуют соотношения
(5)
Через функции u(x, t) можно найти внутренние силы.
При гармонических возмущениях общая формула определения перемещений имеет вид произведения векторов
u(x, t) = [A, v(x,t)] = ATv(x,t).
Применение операций (4) даёт
(6)
Здесь А и v - ранее принятые обозначения для векторов комплексных амплитуд возмущений и функций перемещений. Последние, в свою очередь, определяются через передаточные функции
vk(x, t) = Hk(x, iЩ1) , k = 1, 2, …, 5.
Следовательно,
k = 1, 2, …, 5. (7)
Передаточные функции изгибающего момента и поперечной силы
(x, i1) = (x, i1) = b2(-C1 sinbx - C2 cosbx + C3 shbx + C4 chbx). (8)
(x, i1) = (x, i1) = b3(-C1 cosbx + C2 sinbx + C3 chbx + C4 shbx). (9)
Производные других передаточных функций находятся аналогично
(x, i2) = (x, i2) = b2 [-C1 sinb(l-x)+ C3 shb(l-x)], (10)
(x, i2) = (x, i2) = b3 [C1 cosb(l-x)- C3 ch b(l-x)], (11)
(x, i3) = (x, i3) = b2 [-C1 sinb(l-x)+ C3 sh b(l-x)], (12)
(x, i3) = (x, i3) = b3 [C1 cosb(l-x)- C3 ch b(l-x)], (13)
(x, i4) = (x, i4) = b2 (-C1 sinbx+ C3 shbx), (14)
(x, i4) = (x, i4) = b3 (-C1 cosbx +C3 chbx), (15)
(x, i5) = (x, i5) = b2 (-C1 sinbx+ C3 shbx), (16)
(x, i5) = (x, i5) = b3 (-C1 cosbx +C3 chbx). (17)
Для случайных колебаний задача сводится к определению спектральной плотности, а затем и дисперсии внутренних сил по заданной спектральной матрице возмущений. Соотношения между спектральными плотностями внутренних сил и возмущений аналогичны (2)
Соответствующие дисперсии определяются с помощью интегралов
(18)
Интегрирование в (18) проведем численным методом по алгоритмам, которые применяются для вычисления дисперсии перемещений.
По известным характеристикам прогибов и внутренних сил, можно определить характеристики нормальных и касательных напряжений при помощи линейных отображений. По известным методам решаем вопросы прочности, выносливости и жёсткости балки.
Пример. Для выполнения вычислений возьмём ту же стальную балку из двутавра № 14 со свободно опертыми концами, которая рассмотрена выше, и имеет параметры l = 6 м, с = 7850 кг/ м3, E = 210 ГПа, S = 17, 4 см2 ,J = 573 см4, е = 1 c-1,вjk = 16 с-1 (2), уq =800 Н/м, у2 = 6 мм, у3 = 2500 Нм, у4 = 9 мм, у5 = 2000 Нм.
С использованием полученных формул проведены вычисления и построены эпюры амплитуд и среднеквадратических отклонений, показанные графиками рис. 5. Анализ форм этих кривых подтверждает зависимости между u, M и Q, хорошо известные из курса сопротивления материалов.
Литература
1. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука,1979.335 с.
2. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.
3. Вольмир А.С., Культербаев Х.П. Стохастическая устойчивость вынужденных нелинейных колебаний оболочек. ПММ.1974.Т.38, вып.5. С.
4. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания балок. Инженерно-технические науки. Материалы научно-практической конференции 1994.Нальчик: Каб.-Балк. гос. с/х акад. 1995.Ч. 3. С. 23-27.
5. Культербаев Х.П., Казиев А.М., О случайных колебаниях растянутых балок. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: Сам. гос. тех. ун-т. 2003. С. 100-103.
6. Казиев А.М., О влиянии характерной частоты и широкополосности случайной нагрузки на колебания балок. Вопросы повышения эффективности строительства. Межвузовский сборник. Нальчик: КБГСХА, 2004. Вып. 2. С. 79-83.
7. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. - № 2. - рр. 259-270.
8. Keltie R.F., Cheng C.C. Vibration reduction of a mass-loaded beam.
J. Sound and Vibr, 1995. № 2, рр. 213-228.
9. Simion F.P., Decolon Chr., Staicu St. Study of vibrations in a rod submit to viscous frictions. Sci. Bull. D. "Politehn." Univ. Bucharest., 1998.№ 1. рр. 55-59.
10. Хуранов В.Х., Лихов З.Р., Казиев А.М., Шерибов Ш.М. Железобетонные ребристые плиты покрытий с переменным усилием преднапряжения вдоль пролета // Инженерный вестник Дона, 2015, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2015/2893.
11. Шогенов Б.В., Ногеров И.А., Казиев А.М. К вопросу о снижении шума в зубчато-ременных передачах // Инженерный вестник Дона, 2015, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2015/3269.
References
1. BolotinV.V. Sluchajnye kolebaniya uprugih sistem [Random oscillation sofelastic systems] M.: Nauka, 1979. 335 p.
2. Ventcel' E.S. Ovcharov L.A. Teoriya sluchajnyh processov i eyo inzhenernye prilozheniya. [The theory of random processes and its engineering applications] M.: Vyssh. shk., 2000. 383p.
3. Vol'mir A.S., Kul'terbaev H.P. Stohasticheskaya ustojchivost' vynuzhdennyh nelinejnyh kolebanij obolochek. PMM. 1974. T.38, vyp.5. pp. 893-898.
4. Kul'terbaev H.P. Kinematicheski vozbuzhdaemye sluchajnye kolebaniya balok. Inzhenerno-tekhncheskie nauki. Materialy nauchno-prakticheskoj konferencii 1994.Nal'chik: Kab.-Balk. gos. s/h akad. 1995. CH. 3. pp. 23-27.
5. Kul'terbaev H.P., Kaziev A.M., O sluchajnyh kolebaniyah rastyanutyh balok. Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi. Samara: Sam. gos. tekh. un-t. 2003. pp. 100-103.
6. Kaziev A.M., O vliyanii harakternoj chastity i shirokopolosnosti sluchajnoj nagruzki na kolebaniya balok. Voprosy povysheniya ehffektivnosti stroitel'stva. Mezhvuzovskij sbornik. Nal'chik: KBGSKHA, 2004. Vyp. 2. pp. 79-83.
7. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. № 2. pp. 259-270.
8. Keltie R.F., Cheng C.C. Vibration reduction of a mass-loaded beam.
J. Sound and Vibr, 1995. № 2, рр. 213-228.
9. Simion F.P., Decolon Chr., Staicu St. Study of vibrations in a rod submit to viscous frictions. Sci. Bull. D. "Politehn." Univ. Bucharest, 1998. № 1. рр. 55-59.
10. Khuranov V.Kh, Lihov Z.R., Kaziev A.M., Sheribov Sh.M. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2015/2893.
11. Shogenov B.V., Nogerov I.A., Kaziev A.M. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2015/3269.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение расчетных значений изгибающих и поперечных моментов балки, высоты из условия прочности и экономичности. Расчет поперечного сечения (инерции, геометрических характеристик). Обеспечение общей устойчивости балки. Расчет сварных соединений и опор.
курсовая работа [1023,2 K], добавлен 17.03.2016Определение расчётных нагрузок, действующих на балку, расчётных усилий, построение эпюр. Подбор сечения балки. Проверка прочности, жёсткости и выносливости балки. Расчёт сварных соединений. Момент инерции сечения условной опорной стойки относительно оси.
курсовая работа [121,4 K], добавлен 11.04.2012Сбор нагрузок на элементы рабочей площадки. Подбор и проверка сечения балки настила, главной балки. Конструирование узлов соединения элементов главной балки. Определение сечения колонны, требуемой площади опорной плиты. Расчёт сварных швов крепления.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 17.11.2010Компоновка и подбор сечения балки. Проверка жесткости и устойчивости балки. Проверка местной устойчивости элементов балки. Конструирование укрупнительного стыка балки и сопряжения балки настила с главной балкой. Компоновка сечения сквозной колонны.
курсовая работа [322,2 K], добавлен 23.06.2019Расчет металлической конструкции моста крана и главных балок по первому случаю нагрузок. Проверка среднего сечения по второму расчетному случаю. Вычисление опорного сечения главной балки, сварных швов и концевых балок. Анализ оптимальности результатов.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.04.2015Определение нагрузки и расчетных усилий, воспринимаемых балками настила до и после реконструкции здания. Подбор сечения балки настила. Усиление балки увеличением сечения. Расчет поясных швов и опорного узла. Проверка прочности и жесткости усиленной балки.
контрольная работа [49,2 K], добавлен 20.01.2015Определение суммарных величин изгибающих моментов от сосредоточенных сил и равномерно распределенной нагрузки. Построение линий влияния поперечной силы в сечениях. Проверка сечения балки по условиям прочности. Обеспечение местной устойчивости балки.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 25.10.2014Сбор нагрузок и статический расчет. Расчет на прочность разрезных балок сплошного сечения из стали. Проверка сечения по касательным напряжениям. Проверка прогиба. Конструирование главной балки. Компоновка составного сечения. Определение размеров стенки.
курсовая работа [122,2 K], добавлен 24.10.2013Прогин і поворот перерізу балки, диференціальне рівняння вигнутої осі. Граничні умови для консольної і простої балки, з огляду на способи її закріплення на кінцях. Інтегрування диференціального рівняння вигнутої осі балки при двох чи декількох ділянках.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 13.10.2010Нагрузки от веса моста, кабины и механизмов передвижения. Определение оптимальных размеров поперечного сечения пролетной балки. Компоновка механизма передвижения крана. Сопряжение пролетных балок с концевыми. Размещение ребер жесткости, прочность балки.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 18.12.2013Конструирование опорных частей балки с экспериментальным мониторингом сохраняемости геометрии при естественном старении. Расчет внутренних силовых факторов. Определение высоты балки из условия жесткости. Подбор геометрических размеров сечения балки.
курсовая работа [299,2 K], добавлен 17.06.2013Экспериментальное определение максимальных прогибов и напряжений при косом изгибе балки и их сравнение с аналогичными расчетными значениями. Схема экспериментальной установки для исследования косого изгиба балки. Оценка прочности и жесткости балки.
лабораторная работа [176,9 K], добавлен 06.10.2010Выбор конструктивного оформления и размеров сварных соединений. Ориентировочные режимы сварки. Расчет геометрических характеристик сечений, усадочной силы, продольного укорочения и прогибов балки, возникающих при сварке швов балки двутаврового сечения.
практическая работа [224,3 K], добавлен 27.01.2011Определение расчётных нагрузок и построение эпюр изгибающего момента. Подбор площади поперечного сечения горизонтальных поясов балки. Конструирование и расчёт сварных соединений. Проверка местной устойчивости элементов балки. Подбор рёбер жёсткости.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 13.01.2016Расчетная схема сварной подкрановой балки. Расчет конструкции и краткая технология изготовления балки. Построение линий влияния и определение величины изгибающего момента для различных сечений балки от веса тяжести. Конструирование опорных узлов балки.
курсовая работа [835,8 K], добавлен 05.03.2013Выполнение проектировочного расчета на прочность и выбор рациональных форм поперечного сечения. Выбор размеров сечения балки при заданной схеме нагружения и материале. Определение моментов в характерных точках. Сравнительный расчет и выбор сечения балки.
презентация [100,2 K], добавлен 11.05.2010Определение нагрузки и расчетных усилий, воспринимаемых балками настила до и после реконструкции здания. Подбор сечения балки настила и характеристики выбранного двутавра. Методика усиления балки увеличением сечения. Расчет поясных швов и опорного узла.
контрольная работа [369,8 K], добавлен 20.09.2011Рассмотрение теоретических вопросов, связанных с расчетом балки на прочность при прямом изгибе. Способы определения напряжения в поперечном сечении. Расчет балки с двусвязным поперечным сечением аналитическим способом и с помощью программы APM Beam.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 19.05.2019Изучение принципа действия динамического резонансного, маятникового и жидкостного виброгасителя. Анализ изменения коэффициента передачи силы от соотношения частот и величины вязкого трения. Описания защиты станка от воздействия колебаний внешней среды.
реферат [175,2 K], добавлен 24.06.2011Процесс определения нагрузки и расчетных усилий, воспринимаемых балками настила до реконструкции здания. Расчет и конструирование усиления балок при выборе необходимого сечения. Проверка прочности и жесткости усиленной балки: опорный узел и поясные швы.
курсовая работа [215,1 K], добавлен 13.02.2011