О напряженном состоянии тонкого диска с учетом зависимости предела текучести от температуры

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Воронежский государственный университет

О напряженном состоянии тонкого диска с учетом зависимости предела текучести от температуры

М. А. Артемов

Е. С. Барановский, Г. Г. Бердзенишвили

И. И. Переяславская

Аннотация

диск деформированный текучесть температура

Рассматривается задача определения напряженного и деформированного состояния тонкого кругового диска, проявляющего упругие и пластические свойства при тепловом и силовом воздействиях. В центральной части диска поле температур однородное. На границе диска задано давление и постоянная температура. Выбирается условие пластичности Треска. Учитывается зависимость предела пластичности от температуры. Пластические деформации определяются по теории пластического течения. Установлены условия, позволяющие определять величину температуры центральной части диска и его радиус, в зависимости от которых пластическая область может формироваться в центральной части диска или на его границе. Приведены графики для напряжений. Для верификации полученных результатов предлагается рассматривать графики эквивалентного напряжения для допустимых режимов пластичности и график годографа вектора напряжений.

Ключевые слова: математическое моделирование, упругопластическое тело, плоское напряженное состояние, кусочно-линейные условия пластичности, теория пластического течения, термоупругопластичность.

Математическому моделированию напряженного и деформированного состояния дисков, испытывающих силовое и тепловое воздействия, посвящено значительное количество работ. Практически во всех последних публикациях учитывается зависимость параметров тел от температуры. Отметим работы [1-5], в которых изучаются задачи, близкие к задаче, рассматриваемой в данной статье.

Постановка задачи

Рассматривается тонкий круговой диск, подверженный полярно-симметричному тепловому и силовому воздействиям. Поле температур центральной части диска является однородным . На внешней границе диска задано давление и температура .

Все величины приводятся к безразмерному виду. В качестве масштаба напряжений выбран предел пластичности при начальной температуре, в качестве масштаба длины - радиус . Для безразмерных величин принято обозначение размерных величин, что не привносит путаницу, поскольку не вводятся безразмерные комплексы.

Для определения напряженного, деформированного и температурного состояния диска выбирается цилиндрическая система координат, ось которой перпендикулярна срединной поверхности диска и является осью симметрии диска. Поле температур определяется по формуле [1]

(1)

Упругое состояние

Обозначим через радиусы границ области, в которой диск находится в упругом состоянии, через и - давления на этих границах. В этой области компоненты тензора напряжений определяются по формулам [1]:

,(2)

где ,

- модуль Юнга, - коэффициент линейного теплового расширения.

Упругопластическое состояние диска

Задача плоского напряженного состояния идеального упругопластического тела в области пластического состояния является локально статически определимой. Поэтому, если граничные условия не содержат перемещений, то определение напряжений не зависит от деформированного состояния.

Выберем условие пластичности Треска, в котором учитывается зависимость предела пластичности от температуры. Учитывая, что напряжения являются главными, запишем это условие в виде, , где - предел пластичности при , - коэффициент, определяющий зависимость предела пластичности от температуры.

В области реализуется однородное напряженное состояние , поэтому в этой части диска при переходе в пластическое состояние будет выполняться условие ; из формул (2) (полагая ) следует, что это условие будет выполнено, если

.(3)

Для диапазона давления на границе может реализоваться только режим . Учитывая (2), находим температуру, при которой на границе будет выполняться этот режим

.(4)

Приравнивая правые части (3), (4) и учитывая (1), получим уравнение, позволяющее определить радиус диска , для которого одновременно на границах и зарождается пластическая область.

Когда и , или и , диск находится в упругом состоянии; в формулах (2) следует полагать , , .

Внутренняя пластическая область

Если и , то в области диска реализуется режим полной пластичности: , . Несложно проверить, что в области из возможных режимов пластичности реализуется режим: , для которого

, .(5)

Для области , где диск находится в упругом состоянии, в формулах (2) следует полагать , . Радиус упругопластической границы определяется, например, из условия непрерывности окружного напряжения на этой границе (квадратные скобки используем для обозначения разрыва величин на границах)

. (6)

Из равенств и (6), учитывая формулы (2) и (5), определяются значения и температура , при которой на границе зарождается пластическая область.

На рис. 1 приведены графики распределения напряжений, эквивалентного напряжения для возможных режимов пластичности и годографа вектора напряжений, для следующих значений параметров: .

Рис. 1

Деформации

В рамках теории пластического течения для кусочно-линейных функций пластичности определение деформаций в пластической области обсуждалось в работах [8-10], в которых объясняются разрывы радиальной и осевой компонент пластических деформаций.

Две пластические области

Если , и , образуется внешняя пластическая область , в которой реализуется режим пластичности и

,

. (7)

В области упругого состояния диска напряжения определяются по формулам (2), в которых величины и определяются из условия непрерывности напряжений на упругопластических границах и .

Второй сценарий образования пластических областей

В случае, когда , при достижении температуры значения на границе зарождается внешняя пластическая область; при дальнейшем увеличении температуры происходит зарождение и расширение внутренней пластической области. Обозначим через значение температуры , при которой область диска переходит в пластическое состояние. В области напряжения определяются по формулам (7).

Если , температура , радиус упругопластической границы и величины в формулах (2) определяются из условий непрерывности напряжений на границах и .

Если , радиус упругопластической границы . В пластической области напряжения определяются по формулам (5). Радиусы упругопластических границ и определяются из условия непрерывности напряжений на этих границах.

Выводы

В работе показана правомерность использования условия пластичности Треска при решении задачи о тепловом воздействии на диск, когда учитывается зависимость предела пластичности от температуры.

Литература

Timoshenko S. R, Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. 506 p.

Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Disk // Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8. pp. 41-51.

Orcan Y., Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Cylinder // Acta Mechanica. 1991. V. 90. pp. 61-80.

Dats E., Murashkin E. On Unsteady Heat Effect in Center of the Elastic-Plastic Disk // Lecture Notes in Engineering and Computer Science Сер. “WCE 2016 - World Congress on Engineering 2016”. pp. 69-72.

Артемов М. А., Барановский Е. С. Об одном алгоритме решения задач термопластичности // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XIV Международной научной конференции (с. Цей, 3-8 июля 2017 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2017. C. 137-138.

Полетаев Ю. В. Механизм локального разрушения зоны термического влияния сварных соединений при малоцикловом нагружении // Инженерный вестник Дона, 2011. №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/606.

Полетаев Ю.В., Полетаев В.Ю. Методика оценки склонности сварных соединений низколегированных сталей к образованию трещин при термической обработке // Инженерный вестник Дона, 2014 №4 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2583.

Артемов М. А., Барановский Е. С. Математическое моделирование пластического состояния тел. Плоская деформация // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 2 (24). С. 72-87.

Артемов М. А., Барановский Е. С., Якубенко А. П. Альтернативные формы записи кусочно-линейных условий пластичности и их обобщения // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2015. № 1. С. 71-82.

Переяславская И. И., Артемов М. А., Барановский Е. С. К вопросу математического моделирования осесимметричного плоско-напряженного состояния сжимаемого упругопластического тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2017. № 1 (31). С. 22-39.

Размещено на Allbest.ru