Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ

1.1 Проверка статистических гипотез

1.2 Лемма Неймана-Пирсона

1.3 Согласованная фильтрация

1.4 Рабочая характеристика

2. ГЕНЕРИРОВАНИЕ ШУМА МЕТОДОМ СКОЛЬЗЯЩЕГО СУММИРОВАНИЯ

2.1 Уравнение генератора

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



ВВЕДЕНИЕ

Теория линейного обнаружения импульсного сигнала в аддитивном гауссовом шуме хорошо разработана [1], [2]. Теория импульсного обнаружения сигнала базируется на лемме Неймана-Пирсона, потому что в соответствии с ней отношение правдоподобия обеспечивает минимальную величину вероятности пропуска сигнала (максимальную вероятность правильного обнаружения) при условии, что вероятность ложной тревоги не превышает заданной величины. Окончательной характеристикой обнаружителя является его рабочая характеристика.

Любое устройство моделируется с помощью вычислительной техники. Для того, чтобы построить модель линейного обнаружителя необходимо построить генератор шума и записать в виде программы алгоритм обнаружения. Известны три способа генерирования шума:

1. метод скользящего суммирования;

2. метод рекуррентных разностных уравнений;

3. метод сингулярного разложения корреляционной матрицы.

Возникает вопрос о точности моделирования с использованием того или много метода генерирования шума.

Целью работы является необходимость исследовать вопрос о погрешностях моделирования с использованием генерирования шума методом скользящего суммирования.



1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ

1.1 Проверка статистических гипотез

В математической статистике задача обнаружения сигнала формулируется как проверка гипотезы H₀ против гипотезы H₁:

,

где, -- сигнал на входе, -- шумовая составляющая сигнала, -- полезный информационный сигнал.

Если известны функции корреляции шума, форма, амплитуда, время прихода и длительность сигнала T, то гипотезы называются простыми: неизвестно лишь, была ли на входе сумма сигнала и шума или наблюдался только шум (рис. 1): генератор линейный фильтрация шум

где - сигнал на входе; - функция корреляции.

Рис. 1. - Реализации гипотез H₀, H₁



Как и любая задача математической статистики, задача проверки гипотез решается поиском оптимальной для данной задачи статистики:

(1)

Пусть статистика (1) получена в простейшей форме - в виде случайного числа.

Статистическая теория принятия решений исходит из следующих положений:

1) сигнал подлежащий обнаружению, появляется всегда на фоне шума, уровень которого случайно меняется во времени;

2) поскольку эти два процесса являются случайными, они могут быть представлены кривыми нормального распределения;

3) чтобы получить результат действия полезного сигнала, подлежащего обнаружению, надо сложить распределение эффектов, производимых только фоновым шумом и только одним сигналом (поскольку сигнал никогда не может появится без шума).

Эти положения дают возможность определить два нормальных распределения:

а) распределение эффектов одного фонового шума;

б) распределение эффектов суммы полезного сигнала и фонового шума.

Поскольку два влияния (сигнал и шум) суммируются следовательно их можно изобразить в одних и тех же координатах (см. рис. 1).

Отношение сигнал/шум -- безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума, определяется по формуле:



Рис. 2. -- Плотности распределения

Рис. 3 -- Отношение сигнал/шум

Отношение сигнал/шум -- один из важнейших факторов, определяющих качество работы любой радиотехнической системы. В задачах по обнаружению сигнала необходимо принять решение: была ли на входе смесь сигнала и шума или наблюдался только шум. Кривые пересекаются следовательно принять решения легче, если отношение сигнал/шум велико (как это бывает при очень сильном сигнале рис. 3-б) , чем в том случае, когда отношение сигнал/шум имеет малые значения (рис. 3-а).

1.2 Лемма Неймана-Пирсона

Всё множество значений статистики может быть разбито значением на области принятия решения в пользу гипотезы при или гипотезы при (рис. 4-а).

Рис. 4. -- К лемме Неймана-Пирсона

Так как в общем случае плотности пересекаются, возможны ошибки принятия решений. Вероятность ошибки первого рода (гипотеза отвергается, когда она верна)



(2)

вероятность ошибки второго рода (гипотеза отвергается, когда она верна)

(3)

В статистической радиотехнике вероятности F и D называются соответственно вероятностью ложной тревоги и вероятностью обнаружения.

На рис. 4-а вероятности ошибок показаны заштрихованными площадями.

Пусть вероятность ложной тревоги (2) задана соответствующим выбором критического уровня . Тогда наилучшее решение задачи состоит в минимизации пропуска сигнала (ошибки второго рода) (3), или в максимизации вероятности обнаружения

Вероятность D максимальна при таком разбиении пространства что отношение правдоподобия

(4)

максимально при условии Это записывается в виде неравенства (леммы Неймана-Пирсона)



(5)

- критический уровень отношения правдоподобия (рис. 4-б).

В математической статистике для проверки статистических гипотез применяется правило Неймана-Пирсона: максимизируется вероятность обнаружения D при фиксированной вероятности ошибки первого рода F. Правило (критерий) Неймана-Пирсона является основным и при решении задачи обнаружения в статистической радиотехнике.

Пример 1. Плотности распределения статистики изображены на рис. 4-а:

Отношение правдоподобия (4) (рис. 4-б)

Если задать критический уровень то из равенства

следует значение критического уровня статистики (рис. 4-а)



определяющее вероятности

Обратно: задание вероятности F = 0,00003167 определяет критический уровень что задаст единственное значение вероятности D = 0,0227.

Разбиению пространства отношения правдоподобия на области и принятия решения в соответствии с неравенством (5) соответствует разбиение пространства значений статистики критическим уровнем (рис. 4.2).

В данном однопороговом примере значения вероятностей F и D связаны функционально, поэтому максимизация вероятности D невозможна: заданная вероятность F однозначно определяет значение которое также однозначно задаёт вероятность Правило Неймана-Пирсона в таком случае выглядит вырожденным. Если же задача имеет двухпороговое решение, правило Неймана-Пирсона применяется в полном объёме.

1.3 Согласованная фильтрация

Оптимальное правило формирования статистики проверки простых гипотез описывается интегральным уравнением



(6)

называемым также уравнением согласованной фильтрации ядро которого - функция корреляции шума, правая часть - обнаруживаемый сигнал . Решение уравнения определяет статистику

(7)

обладающую свойством

(8)

Математическое ожидание статистики (7)

дисперсия статистики

(9)



Дисперсия и математическое ожидание имеют различные размерности. Здесь равенство дисперсии статистики её математическому ожиданию объясняется безразмерностью интегральных уравнений Фредгольма.

Исходя из уравнения (8) и (9) можно определить величину отношение сигнал-шум как

Тогда определим статистику (7) как

Статистика (7) формируется на выходе согласованного фильтра - линейного фильтра с весовой функцией

Действительно, сигнал на выходе согласованного фильтра

в момент окончания сигнала равен



Статистика (7) сравнивается с критическим уровнем и при принимается решение в пользу гипотезы

В дискретном временном пространстве уравнение согласованной фильтрации (6) записывается

(10)

B - корреляционная матрица, H - решающий вектор, S - вектор сигнала.

Следует отметить, что интегральное уравнение (6) удаётся решить лишь в некоторых случаях, тогда как уравнение (10) всегда:

Статистика аналогично (7) определяется произведением

. (11)

Как и в непрерывном случае, вследствие линейности процедуры (11)

,

. (12)

Свойства (12) дискретного согласованного фильтра аналогичны свойствам (8) согласованного фильтра. Дискретный согласованный фильтр полностью описывается рабочей характеристикой.



1.4 Рабочая характеристика

Нормальная плотность распределения статистики (7) или (11) при гипотезах и отличается только математическими ожиданиями (рис. 5).

Рис. 5 - Разбиение плотностей значений критическим значением

Критическое значение определяет вероятности ложной тревоги

и обнаружения

Перемещая точку по оси можно получить зависимость

-



- рабочую характеристику обнаружителя:

(13)

Из (13) следует, на первый взгляд, парадоксальный вывод о том, что при фиксированной вероятности F с увеличением с.к.о. статистики (дисперсии ) растёт вероятность обнаружения D. Если же учесть особенность согласованного фильтра (12) - равенство отношения сигнал-шум дисперсии статистики то запись (13) в виде

вопросов не вызывает.

На рис. 6 показаны рабочие характеристики (13) для отношений сигнал-шум Рабочие характеристики определяются только значением и не зависят от вида сигнала - непрерывного или дискретного.

Чем выше крутизна рабочей характеристики на начальном участке, тем выше качество обнаружения. В свою очередь, крутизна рабочей характеристики тем больше, чем больше отношение сигнал - шум (по мощности)

,

характеризующее относительный сдвиг плотностей распределения статистики при различных гипотезах.



Рис. 5 - Рабочая характеристика

Пример 2. Треугольный сигнал длительностью амплитудой в шуме с функцией корреляции дискретизируется с интервалом .

Рис. 6 - Входной сигнал, функция корреляции шума



При амплитуде сигнала распределение плотностей вероятности выглядит следующим образом:

Рис. 7 - Распределение плотностей вероятности

Отношение сигнал-шум

Рабочая характеристика линейного обнаружителя

Рис. 8 - Рабочая характеристика



При сигнала распределение плотностей вероятности выглядит следующим образом:

Рис. 9 - Распределение плотностей вероятности (А=1)

Отношение сигнал-шум

Так как рабочая характеристика линейного обнаружителя на начальном участке выше - выше качество обнаружения.

Рис. 8 - Рабочая характеристика (А=1)



2. ГЕНЕРИРОВАНИЕ ШУМА МЕТОДОМ СКОЛЬЗЯЩЕГО СУММИРОВАНИЯ

2.1 Уравнение генератора

Дискретные значения моделируемого процесса формируются в виде скользящей суммы

(15)

с весовыми коэффициентами . Существует ряд способов определения . Один из них основан на применении интеграла свертки

(16)

где - нормированный белый шум; - весовая функция формирующего фильтра.

Функция определяется формулой

(17)

Формирующий фильтр с весовой функцией (17) имеет вещественную частотную характеристику

Соответствующая весовая функция (17) четна, поэтому непрерывный линейный фильтр с такой весовой функцией физически не реализуем. Однако это свойство не является препятствием для цифрового моделирования. Дискретизация интеграла (16) с шагом дает следующие значения весовых коэффициентов:

Значения вычисляются, как правило, с помощью численных методов. При этом бесконечный верхний предел интегрирования в формуле (17) заменяют на конечный. Генерируемая последовательность имеет функцию корреляции, равную

(18)

Истинная функция корреляции имеет вид

(19)

Функция является интегральной суммой для интеграла (19). При условиях , функция корреляции последовательности стремится к требуемой . Контроль правильности вычисления и выбора числа членов осуществляется путем расчета по формуле (18) функции и сравнением ее с требуемой функцией корреляции. Поскольку последовательность (15) является гауссовской, то близость функций и означает близость заданного и моделируемого процессов на уровне конечномерных распределений. Метод скользящего суммирования пригоден для моделирования гауссовских процессов с произвольными спектральными плотностями.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хелетром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. - М.: Сов. радио, 1963.

2. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. - М.:Радио и связь, 1983.

3. Ануфриев И. и др. MATLAB 7. - СПб.: БХВ - Петербург, 2005. - 1104 с.

4. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB. - СПб.: Питер, 2001. - 480 с.

5. Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP 1/7 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. - М.: СОЛОН - Пресс, 2005. - 576 с.

6. Кендалл М, Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973. - 899 с.

7. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1984. - 248 с.

8. Воробьев С.Н., Гирина Н.В., Осипов Л.А. Гистограммное оценивание плотности распределения. Учебн. пособ. - СПб.: ГУАП , 2008. - 92 с.

9. Воробьёв С.Н., Осипов Л.А. Линейные системы. Расчёт и моделирование. - СПб.: ГУАП, 2004. - 122 с.

10. Воробьёв С.Н. и др. Статистическое моделирование информационных систем. Часть первая. Учебн. пособ. - СПб.: ГУАП, 2010. - 152 с.

11. Воробьёв С.Н. Эффективное обнаружение детерминированных сигналов. - СПб.: ГУАП, 2003. - 139 с.

Размещено на Allbest.ru

...