Главная Коллекция "Revolution" Производство и технологии Теория автоматического управления

Теория автоматического управления

Линеаризация математической модели объекта управления. Исследование динамических характеристик объекта управления по его математической модели. Определение устойчивости системы управления по критериям Гурвица и Найквиста для разных вариантов объекта.

Рубрика Производство и технологии
Вид методичка
Язык русский
Дата добавления 16.11.2017
Размер файла 281,0 K
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный горный институт

имени Г.В. Плеханова (технический университет)

Кафедра автоматизации технологических процессов и производств

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания по курсовой работе

для студентов специальности 210301

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2010

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина “Теория автоматического управления” для студентов специальности 220301 “Автоматизация технологических процессов и производств (в металлургии)” является специальной дисциплиной, призванной дать студентам знания об общих принципах построения и законах функционирования систем автоматического управления, об основных методах анализа и синтеза таких систем.

Современный уровень общественного производства - использование более совершенной техники и технологии, автоматизация научного эксперимента требуют от будущих инженеров самых различных специальностей приобретения и расширения знаний в области автоматики. Современному инженеру все чаще приходиться использовать в своей научной и практической деятельности теорию и методы проектирования, создания и эксплуатации систем автоматического регулирования и управления.

Необходимый и достаточный объем знаний и умений в этой области позволит инженеру по специальности 220301 “Автоматизация технологических процессов и производств (в металлургии)” свободно ориентироваться в особенностях управления промышленными объектами и правильно их использовать.

В методических указаниях изложены основные сведения о линейных непрерывных системах автоматического регулирования, т.е. охвачен первый раздел теории автоматического регулирования и управления, который имеет весьма большое значение и широко применяется как студентами во время диплом проектировании, так и специалистами в инженерной практике.

Нами в качестве базовых пособий взяты учебные пособия [1, 2, 3].

Кроме предложенных пособий, для изучения дисциплины “Теория автоматического управления” студентам необходимо вспомнить и уметь применять на практике знания по следующим разделам из курса высшей математики: элементы линейной и матричной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, ряды и интеграл Фурье; элементы теории функций комплексного переменного, операционное исчисление, элементы математической статистики, элементы теории вероятностей и теории случайных процессов.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

В качестве предмета изучения в этом и последующих заданиях будем использовать некоторый объект, описываемый дифференциальным уравнением 2-го порядка.:

(1).

Исходные данные.

В качестве исходных данных служат коэффициенты уравнения (1) аIII, аII, аI, bI ; границы изменения входной переменной Xmin и Xmax.

Для варианта «Пример» эти значения будут: аIII=6; аII=17Y; аI=5Y2Х; bI = 8YX; Xmin=1; Xmax=11. Номинальный режим выбран как Ѕ диапазона изменения Х (z=1/2).

Задание.

Произвести линеаризацию уравнения объекта управления и уточнить границы изменения Х, чтобы ошибка линеаризации была не более 5% от номинального значения Y.

Метод решения

Перепишем уравнение (1), подставив значения коэффициентов:

(2)

Это нелинейное уравнение, так как в нем имеется произведение выходной переменной Y на ее производную (динамическая нелинейность), вторая степень входной переменной Х, третья степень выходной переменной Y и произведение входной и выходной переменной (статическая нелинейность).

Для того чтобы можно было пользоваться стандартными методами теории автоматического управления, применительно к данному объекту, необходимо привести это уравнение к виду:

(3),

где а2, а1, а0, b - некоторые постоянные коэффициенты.

Уравнение (3) - линейное дифференциальное уравнение. Поэтому процесс приведения к такому виду какого то нелинейного уравнения называют линеаризацией.

Для линеаризации уравнения (2) введем понятие номинального режима: установившегося режима функционирования объекта (производные равны нулю), в котором входная и выходная переменные связываются уравнением статики и каждая имеет какое то определенное постоянное значение. Относительно этих значений рассматриваются величины входных и выходных переменных во время работы объекта управления. Сами значения при номинальном режиме могут определяться из различных соображений: исходя из требований технологического регламента или просто как середина диапазона изменения входной (выходной) величины и т.п.

Найдем уравнение статического режима для объекта (2).

Приравняем нулю все производные в уравнении (2) и получим уравнение статики объекта:

(4)

Уравнение (4) описывает множество возможных установившихся состояний объекта, в том числе и состояние номинального режима.

Найдем значения переменных при номинальном режиме.

Диапазон изменения Х, как уже было сказано от 1 до 11. Номинальное значение для варианта «Пример» ХН соответствует середине диапазона (z= Ѕ), то есть

ХН = Xmin+ z ( Xmax - Xmin )= 1 + 0,5(11-1)=6

По уравнению (3):

Тогда во всех состояниях значения входной и выходной переменных можно записать, как:

Y = YH + Y ; X = XH + X (5).

Линеаризация производится для режимов, имеющих относительно малое отклонение от номинального режима.

Перенесем правую часть уравнения (2) налево и получим

6YII + 17YIY + 5Y3X + 8YX2 = 0 (6)

Обозначим левую часть уравнения (2) через функцию F:

F = 6YII + 17YIY + 5Y3X - 8YX2 (7)

Разложив ее в ряд Тейлора с учетом всех переменных и производных (производные рассматриваются, как самостоятельные переменные) и отбросить все слагаемые второго и больших порядков, получим:

(8),

где FH - значение F при номинальном режиме, , , , - значения производных по переменным при подставленных номинальных значениях, YII, YI, Y, X - отклонения переменных от номинального значения.

Найдем частные производные, необходимые для разложения:

= 6, = 17YH = 52.673,

=17YIIH+ 15(YH)2XH+ 8(XH) 2 =576,

=5(YH)3 - 16YHXH = -148.723

Номинальное значение дифференциального оператора выхода (левой части уравнения) FH= 5(YH)3XH - 8YН(XH)2= 0

Таким образом подставив все это в уравнение (7) получим

F= 0+ 6YII + 52.673YI + 576Y -148.723X

где члены высоких порядков отброшены, а линеаризованное уравнение имеет вид:

6YII + 52.673YI + 576Y = 148.723X (9)

Уравнение (9) является линейным, но описывает объект не в абсолютных физических переменных, а в отклонениях от номинала (приращениях).

Разделим обе части уравнения (9) на коэффициент при Y. Тогда оно примет вид:

а2Y + а1Y + а0Y = kX (10),

где а2 = 0.01, а1 = 0,091, а0 = 1 - коэффициенты ; k = 0,258 - коэффициент усиления объекта, Y= и Y= - производные.

Уравнение (10) является линеаризованным дифференциальным уравнением объекта управления в канонической форме записи. Приведение к такой форме (коэффициент при Y равен 1) - очень важный момент для правильного определения параметров объекта (например, коэффициента усиления).

Линеаризация существенно снижает точность математической модели. Эта потеря точности не должна превысить заданного значения (для варианта «Пример» 5 %).

Уточним интервал изменения Х, в котором данная точность реализуется.

Проверка проводится для статического режима.

При линеаризации кривая, соответствующая уравнению (4) заменяется прямой, получаемой из (10) приравниванием к нулю производных:

Y = 0,258X (11)

Сопоставим характеристики (4) и (11).

Поскольку из уравнения (5) Y=3,098+Y и X=6+X, то можем записать на основании (11):

, или

(12)

Ошибку линеаризации можно посчитать по уравнению

= (13),

где Yл, Yнл - значения выходной переменной для линеаризованного уравнения (12) и нелиаризонанного уравнения (5).

Подставляя в (5), (12) и (13) различные значения Х, можно найти значения Y для линеаризованного (Yл) и нелинеаризованного уравнения (Yнл). Результаты приведены в таблице.

Х

1

2

3

5

6

7

8

10

11

Yл

1,81

2,07

2,32

2,84

3,098

3,36

3,61

4,13

4,38

Yнл

1,26

1,78

2,19

2,83

3,098

3,34

3,58

4

4,2

,%

17,5

8,9

4,2

0,4

0

0,3

1,2

4,2

6,2

Как видно из таблицы на краях заданного диапазона точность линеаризации не достаточна. Найдем параметры диапазона в котором ошибка не превышала заданного значения 5%. Из уравнения (13) имеем:

= 5

Откуда

, или

Решая это уравнение получаем новые значения гарниц интервала. Они будут:

YZ1 =2,805 и YZ2 = 10,395.

Построим график (Х).

Рис. 1 График ошибки. YZ0 и YZ1 - новые значения границ интервала изменения X

Построим графики Yл и Yнл, то есть линеаризованной и нелинеаризованной статических характеристик (рис. 2.).

Рис. 2 Нелинейная и линеаризованная статические характеристики. Жирной линией обозначен новый интервал, удовлетворяющий точности 5% ; Xmin и Xmax - заданные значения интервала

Таким образом, исходное уравнение (1) линеаризуется уравнением вида (10) (сейчас и в дальнейшем знак будет опускаться при записи дифференциальных уравнений в отклонениях):

0,01Y + 0,091Y + Y = 0,258X,

а требуемая точность линеаризации достигается в интервале изменения входной переменной от 2,805 до 10,395.

ЗАДАНИЕ № 1

Объект управления описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка:

Записать дифференциальное уравнение объекта, соответствующее варианту задания, приведенному в таблице 1 и определить характер нелинейности ( статическая или динамическая)

Линеаризовать ДУ выбранного объекта, разложив нелинейные функции в ряд Тейлора. Записать линеаризованное ДУ.

Оценить точность линеаризации, построив график ошибки в зависимости от Х. Построить графики действительной и линеаризованной статических характеристик объекта управления; вычислить границы диапазона изменения входной переменной, в котором линеаризованное ДУ совпадает с нелинейным с заданной точностью.

Таблица 1
Варианты заданий для АПМ-09-1

№ Вар

aIII

aII

aI

bI

Xmax

Xmin

z

Точн. %

1

6Y

15

5Y

3X2

5

2

0,3

5

2

20

4Y

7Y

6X2

9

4

0,5

5

3

2Y

19

4Y

6

10

3

0,3

5

4

5Y

17

4YX

2X

5

0.5

0,5

5

5

2Y

35

Y2X

8YX

7

2

0,2

5

6

8

7Y

4Y2X

3YX

4

2

0,5

5

7

9

3Y

9Y

3

5

1

0,5

5

8

22

12

7YX

10X

10

5

0,5

5

9

2Y

17

2Y2X

4YX

5

1

0,5

5

10

8

3Y

7YX

30X

10

2

0,3

5

11

29Y

17

5YX

X

4

0.5

0,3

5

12

5Y

7Y

Y2X

4YX

4

0.5

0,3

5

13

0.8Y

35

7Y

6X2

5

2

0,5

5

14

3Y

18

3Y

9X2

5

2

0,5

5

15

15Y

25

5Y

13

3

1

0,5

5

16

6

4Y

9Y

5

7

2

0,5

5

17

2Y

15

YX

8X

10

2

0,5

5

18

9Y

4Y

5Y

X

7

0.5

0,5

5

Варианты заданий для АПМ-09-2

№ Вар

aIII

aII

aI

bI

Xmax

Xmin

z

Точн. %

1

6Y

15

5Y

3X2

5

2

0,3

5

2

20

4Y

7Y

6X2

9

4

0,5

5

3

2Y

19

4Y

6

10

3

0,3

5

4

5Y

17

4YX

2X

5

0.5

0,5

5

5

2Y

35

Y2X

8YX

7

2

0,2

5

6

8

7Y

4Y2X

3YX

4

2

0,5

5

7

9

3Y

9Y

3

5

1

0,5

5

8

22

12

7YX

10X

10

5

0,5

5

9

2Y

17

2Y2X

4YX

5

1

0,5

5

10

8

3Y

7YX

30X

10

2

0,3

5

11

29Y

17

5YX

X

4

0.5

0,3

5

12

5Y

7Y

Y2X

4YX

4

0.5

0,3

5

13

0.8Y

35

7Y

6X2

5

2

0,5

5

14

3Y

18

3Y

9X2

5

2

0,5

5

15

15Y

25

5Y

13

3

1

0,5

5

16

6

4Y

9Y

5

7

2

0,5

5

17

2Y

15

YX

8X

10

2

0,5

5

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ ПО ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

В результате линеаризации нелинейной модели объекта управления получено некоторое линейное дифференциальное уравнение 2 порядка. В частности, для варианта «Пример», линеаризованное уравнение имеет вид:

0,01Y + 0,091Y + Y = 0,258X, (14)

Напомним, что Y= и Y= - производные по времени, а (14) это уравнение в отклонениях от номинального (знак опущен для простоты записи).

Для уравнения 2 порядка каноническая форма записи имеет вид:

T2Y + 2TY + Y = KX (15)

где Т - постоянная времени объекта, с; К - коэффициент усиления объекта по каналу X - Y; - так называемый коэффициент демпфирования, смысл которого будет рассмотрен позже.

Следует отметить важность приведения к канонической форме для получения правильных значений параметров объекта. Характерна черта канонической формы дифференциального уравнения объекта - это то, что при выходной переменной (Y) коэффициент равен 1.

Сравнивая выражения (14) и (15), получим:

T = 0,102; = 0,448; K=0,258.

Применим к уравнению (14) преобразование Лапласа.

Напомним, что для некоторой функции f(t) преобразование Лапласа определяется, как:

,

где р - комплексная переменная.

Для величин, входящих в уравнение (14), преобразование Лапласа имеет вид:

;

;

С учетом этого, уравнение (16) имеет следующий вид:

, или

(16)

Уравнение (16) называется изображением по Лапласу для уравнения (15). Полином, стоящий в левой части уравнения (16), носит название характеристического полинома.

Уравнение 0,08р2 + 0,26р +1 =0 называется характеристическим уравнением.

Для анализа объекта управления обычно используют два вида типовых возмущения:

Х = 1[t] - единичный скачек

Х = [t] - мгновенный импульс

Решение Y(t) при X = 1[t] называется переходной характеристикой объекта управления h(t). Решение Y(t) при X = [t] называется импульсной характеристикой (функцией веса) объекта w(t).

Следует отметить, что весовая функция w(t) является производной от функции переходного процесса h(t).

Решение дифференциального уравнения ищется в виде суммы экспонент. Вид решения зависит от входного сигнала.

Для звена второго порядка эти решения имеют вид:

(17)

(18)

Здесь р1; р2 - корни характеристического уравнения, которые определяются, как ; С1,С2 - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Следует обратить внимание на величину . В случае, когда >1, дискриминант положителен и корни р1; р2 получаются вещественными. Переходной процесс называется монотонным.

В случае, когда 0<=<1, дискриминант отрицательный и корни р1; р2 получаются комплексными, вида где . В этом случае, выражение (17) можно представить в виде:

(19),

а выражение (18) в виде:

(20).

Здесь - степень затухания амплитуды (учитывает вещественную часть корней характеристического уравнения); - круговая частота колебаний выходной переменной (учитывает мнимую часть корней характеристического уравнения); А - начальная амплитуда колебаний, - фазовый сдвиг.

Переходной процесс, получающийся при решении такого вида, называется колебательным.

Значение постоянных можно найти по выражениям:

Для варианта «Пример» 0<<1 (=0448). Параметры переходного процесса будут: =4,389; =8,76; А=1,119; =1,106. Тогда по (19) и (21)

(22)

(23)

Для получения монотонного процесса прибавим к единицу. Тогда при >1 (=1,448): р1= -9,798, р2= -24,448, а по (17) и (18) получаем:

(24)

(25)

По приведенным выражениям строим графические характеристики, изображенные на рис.5 и рис.6.

Рис. 3 Переходные характеристики объекта при >1 и 0<<1

Рис. 4 Импульсные характеристики объекта при >1 и 0<<1

Уравнение (16) можем переписать следующим образом:

(26)

Выражение вида при нулевых начальных условиях, называют передаточной функцией объекта управления.

В случае, когда к дифференциальному уравнению объекта управления применяют преобразование Фурье:

(27)

Выражение (23) называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) объекта управления, поскольку выражение, являющееся коэффициентом перед экспонентой, характеризует зависимость амплитуды колебаний, а показатель экспоненты - фазового сдвига от частоты.

АФЧХ можно разбить на две составляющие:

Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) - А()

Фазо-частотную характеристику (ФЧХ) - ()

АФЧХ объекта второго порядка имеет вид: , поэтому:

АЧХ: (28)

ФЧХ: (29)

Следует отметить, что АФЧХ является комплексным числом, поэтому может быть представлена в виде:

Здесь Р() называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ), а Q() - мнимой частотной характеристикой (МЧХ), при этом:

;

Для рассматриваемого объекта АФЧХ имеет вид:

то есть:

; (30)

АФЧХ объекта строится в виде годографа на комплексной плоскости, при этом по оси абсцисс откладывают ВЧХ, а по оси ординат - МЧХ. Для варианта «Пример» получены графики, изображенные на рис. 5. Один для апериодического звена (=1,448>1), а другой для колебательного звена (0< =0,448 <1).

Рис. 5 Амплитудно-фазовая частотная характеристика объекта управления

Выходят обаграфика из одной точки (K=0.258, i0), и приходят в начало координат, но форма их разная.

Фазо-частотная и амплитудно-частотная характеристики для =1,448>1 и 0< =0,448 <1, варианта "Пример", приведены на рис. 6 и рис.7.

Рис. 6 Фазо-частотные характеристики

ФЧХ показывает зависимость фазового сдвига колебаний на выходе объекта управления относительно колебаний на его входе в зависимости от частоты колебаний входной величины. По частотным характеристикам объекта можно судить о многих параметрах системы управления, в частности, о ее устойчивости, что будет рассмотрено в следующей работе.

АЧХ показывает зависимость амплитуды колебаний выходной величины Y(t) от частоты изменения входной величины X(t). Для колебательного объекта (0<<1) частота, которой соответствует наибольшая амплитуда, является резонансной частотой.

Рис. 7 Аамплитудно-частотные характеристики

ЗАДАНИЕ №2

1. Записать линеаризованное уравнение, полученное в предыдущей работе, в каноническом виде, определив T, K,

2. Преобразовать уравнение по Лапласу, записав его в форме (16)

3. В том случае, если >1, построить переходную (17) и импульсную характеристики (18) при нулевых начальных условиях. Затем отнять от целую часть и построить переходную (19) и импульсную характеристики по (20). При 0<<1 построить переходную (19) и импульсную характеристики по (20), затем прибавить к единицу и построить переходную (17) и импульсную характеристики по (18). Сделать вывод о влиянии величины на характер переходного процесса.

4. Записать выражения для АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ для своего варианта при >1 и 0<<1

5. Построить АФЧХ, АЧХ и ФЧХ для двух указанных случаев и сделать вывод о влиянии величины на форму частотных характеристик. При построении графических характеристик использовать пакеты Excel, MathCad или другие.

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Под устойчивостью АСУ понимают способность системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. В любой АСР, в результате возмущающих сил с одной стороны и восстанавливающего действия регулятора с другой, возникает переходной процесс. Структурная схема простейшей АСУ изображена на рис. 8.

Рис. 8 Схема системы регулирования по отклонению

Переходной процесс в системе может быть 3 видов:

Система не может восстановить состояние равновесия и значение Y все больше отклоняется от заданного. Такой процесс называется расходящимся, а система -- неустойчивой.

Система возвращается к равновесному состоянию и значение управляемой координаты Y после окончания переходного процесса отличается от заданного лишь на некоторую статическую ошибку. Такой процесс называется сходящимся, а система -- устойчивой.

В системе устанавливаются периодическое движение. Такой процесс называется незатухающим колебательным, а система находится на границе устойчивости. Любое воздействие на такую систему может привести ее как к сходящемуся, так и к расходящемуся переходному процессу.

Основными законами автоматического регулирования являются:

1) Пропорциональный (П - закон). При таком законе управления управляющий сигнал прямо пропорционален сигналу рассогласования межну выходной координатой и ее заданным значение., то есть:

2) Пропорционально-интегральный (ПИ - закон). Управляющий сигнал складывается из пропорциональной части и интеграла ошибки за некоторый период Т:

3) Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД - закон). К ПИ - закону добавляется производная от ошибки (скорость ее изменения).

Выбирая Кр ; Ти ; Тд, можно усиливать или ослаблять соответствующие части регулятора, добиваясь наилучшего качества регулирования. Оценка устойчивости системы производится при помощи критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных.

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Рассмотрим один из наиболее часто встречающихся алгебраических критериев - критерий Гурвица.

Напомним, что рассматриваемый объект управления представляет собой колебательное звено 2 порядка, передаточная функция которого имеет вид:

(31)

Выберем в качестве закона регулирования ПИ - закон, то есть передаточная функция регулятора будет иметь вид:

(32)

Передаточная функция замкнутой системы управления определяется по выражению:

(33)

Подставляя значения Wo(p), Wp(p) и производя необходимые упрощения, получим:

(34)

Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:

(35)

Обозначим:

; ; ;

Критерий устойчивости Гурвица заключается в вычислении определителей так называемой матрицы Гурвица. Система управления считается устойчивой, если все определители матрицы Гурвица больше нуля. Для системы 3 порядка необходимо вычислить следующие определители:

; ; (36)

Вычисление определителей матрицы Гурвица можно производить и вручную, но наиболее удобно сделать это с использованием математических пакетов типа MathCad и др.

Среди частотных критериев устойчивости наиболее распространенным является критерий Найквиста. Этот критерий заключается в построении годографа разомкнутой системы и определении положения годографа относительно точки (-1; j0). Если годограф пересекает ось абсцисс левее этой точки, то система считается неустойчивой, если правее - система устойчива. Если же годограф проходит через эту точку, называемую точкой Найквиста - система находится на границе устойчивости.

Можем записать: , или:

(37)

Передаточную функцию разомкнутой системы преобразуют в амплитутудно-фазовую частотную характеристику, строят годограф, и по нему оценивают устойчивость системы.

В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение - единичный скачек. Определим корни характеристического уравнения замкнутой системы управления (6) и представим решение дифференциального уравнения замкнутой системы в виде:

(38)

где:

(39)

Подставляя корни характеристического уравнения (31) в выражение (35), определяем константы интегрирования Сi и строим по выражению (34) переходной процесс.

Для варианта "Пример" получаем: Тu=0.208, Kp=73.6

а3=18.9; а2=4.08; а1=0,019; а0=2,122 10-3.

Определители матрицы Гурвица: 2=0,036. Все коэффициенты и n-1=2 больше нуля, из чего можно заключить, что система устойчива.

Годограф Найквиста имеет вид показанный на рис 9.

Из рис. 9. видно, что годограф проходит значительно правее точки Найквиста, что также дает основание утверждать, что система устойчива.

Рис. 9 Годограф Найквиста для варианта "Пример"

Переходной процесс в системе имеет вид, изображенный на рис. 10.

Рис. 10 Переходной процесс в системе управления

ЗАДАНИЕ № 3

устойчивость система управление модель

1. Определить устойчивость системы управления по критериям Гурвица и Найквиста для двух вариантов объекта управления, рассматриваемых в предыдущих заданиях (при больших и меньших 1). Параметры регулятора определять из следующих соотношений:

Ти=2Т0; =1/(1+К0Кр),

где - допустимая статическая ошибка регулирования, которую примем равной 5 %.

2. Построить переходные процессы для двух указанных случаев.

Синтез линейных систем регулирования

В контрольной работе № 3 была рассмотрена система регулирования, состоящая из объекта управления, представляющего собой звено второго порядка и ПИ- регулятора (см. рис. 12.). Рассмотрим методику расчета параметров регулятора для получения наилучшего качества переходного процесса в системе по минимуму средней квадратической интегральной оценки.

Смысл синтеза АСР по минимуму средней квадратической интегральной оценки заключается в подборе настроек регулятора, минимизирующих интеграл

(36)

где t0 - момент времени включения регулятора, е(t) - суммарная ошибка регулирования входной величины, включающая в себя ошибки, связанные с изменением заданной величины и колебаниями возмущения.

Рис. 12 Схема системы регулирования

Для ошибки регулирования можем записать выражение:

(37)

Поскольку на входе системы имеем единичный скачек, Х(р)=1/р. Передаточная функция разомкнутой системы:

(38)

Тогда равенство (37 ) примет вид:

где С2=ТиТо; С1=2ТиТ0о; С0=Ти(1 - К0); D3= С2; D2=C1;

D1=Ти(1+КрК0); D0=КрКо.

Последнее выражение получено в области Лапласовых изображений и переход к оригиналу следует произвести через замену р на j, при этом интеграл (36) примет вид:

(39)

Подобные интегралы табулированы и решение для полинома 3 степени в знаменателе имеет вид:

(40)

Величину Ти возьмем как и ранее равную 2 То.

Подставив в (40) числовые значения получим

(41)

Взяв производную по Кр приравняем ее к нулю решаем получившееся уравнение. Получатся 3 корня. Для варианта «пример» это: 2,271020, 0,49 и 3.88.

При этом значения критерия: 0,12, 0,668 и -0,112.

Критерий не может быть отрицательным поэтому выбираем К= 2,271020.

Из приведенной таблицы видно, что наибольшее совпадение достигается при Кр=0,49; Ти=0,204. Эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.

В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение - единичный скачек. Определим корни характеристического уравнения замкнутой системы управления и представим решение дифференциального уравнения замкнутой системы в виде:

(42)

где:

(43)

Подставляя корни характеристического уравнения в выражение (43), определяем константы интегрирования Сi и строим по выражению (42) переходной процесс.

ЗАДАНИЕ К №4

1. Произвести параметрический синтез ПИ-регулятора для своего варианта объекта управления

2. Построить переходной процесс при полученных настройках

3. Сделать выводы о характере переходного процесса

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основной

1. Лукас В.А. Основы теории автоматического управления. М.: Недра, 1990. 416 с.

2. Нетушила А.В. Теория автоматического управления. М.: Высшая школа, 1976. 400 с.

3. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. М.: Машиностроение, 1977. 464 с.

4. Копелович А.П. Инженерные методы расчета при выборе автоматических регуляторов. М.: Металлургиздат, 1960. 190 с.

Дополнительный

1. Лукас В.А. Основы теории автоматического управления. М.: Недра, 1977. 376 с.

2. Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М.: Энергоиздат, 1985. 292 с.

3. Бесекерский В..А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 767 с.

4. Математические основы теории автоматического регулирования. Учебное пособие в 2-х т. под ред. В.К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1977, т.1 366 с., т.2 455 с.

5.Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, по ред. В.А. Бесекерского. М.: Наука, 1978. 512 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены