Теоретические исследования двухдискового сошника с коническими ребордами-бороздообразователями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теоретические исследования двухдискового сошника с коническими ребордами-бороздообразователями

В.Р. Петровец, С.В. Авсюкевич



Аннотация

(Поступила в редакцию 06.05.10)

В статье приведены теоретические исследования силы сопротивления почвы сжатию под конической ребордой-бороздообразователем двухдискового сошника с симметрично расположенными под нулевым углом дисками. Получены уравнения распределения вертикальной и горизонтальной составляющих реакции почвы в зависимости от глубины бороздки и ширины реборды.

почва сошник бороздообразователь сопротивление



Annotation

The article presents theoretical research into the force of soil resistance to compression under conical ledges-furrow-maker of two-disc ploughshare with symmetrical discs at zero angle. We have obtained formulae for distribution of vertical and horizontal components of soil reaction depending on furrow depth and ledge width.



Введение и анализ источников

В настоящее время одной из важнейших задач в растениеводстве является обеспечение Республики продовольствием, в том числе и зерном. В общем комплексе технологических операций и приемов при возделывании зерновых важнейшее значение имеет посев. Наукой установлено и практикой подтверждено, что урожай сельскохозяйственных культур на 25-30% зависит от качества посева.

Сошники, являясь рабочим органом сеялок и комбинированных посевных агрегатов, предназначены для организации дозированной подачи семян в почву. Основной проблемой, решение которой должна обеспечивать конструкция сошника, является обеспечение равномерности высева семян и поддержание на постоянном заданном уровне глубины их заделки, в частности за счет формирования равномерно уплотненного ложа постоянной глубины.

Описание конструкций, принцип работы и сравнительный анализ различных типов современных дисковых сошников отечественного и зарубежного производства, были приведены нами ранее [1]. Настоящие исследования сводятся к получению и анализу зависимостей между входными данными: (радиусом диска и реборды, углом скоса реборды, шириной реборды, скоростью движением сошник), давление на сошник и выходными параметрами (глубиной и шириной бороздки, тяговым усилием, плотностью дна бороздки).



Основная часть

Уравнения траекторий движения двухдискового сошника

Двухдисковый сошник с коническими ребордами-бороздообразователями представляет собой комбинацию плоского диска радиуса R₁ и реборды в виде усеченного конуса с радиусом основания R и высоты b (рис. 1). Угол между основанием реборды и образующей конуса обозначим через µ. Систему координат выберем в соответствии с рис. 1, чтобы направление скорости движения совпадало с осью OX. Радиус сечения реборды на расстоянии y от основания обозначим через r. Очевидно, что

r=R-yctgµ. (1)

Рис. 1. Схема дискового сошника с ребордой-бороздообразователем.

Выведем уравнение усеченного конуса реборды-бороздообразователя в выбранной системе координат. Конус есть линейчатая поверхность, образованная прямыми, проходящими через фиксированную точку А (вершину) и точку, лежащую на направляющей линии. В нашем случае это окружность основания реборды. Точка А имеет координаты: А(О;Rtgµ;R).

Окружность основания реборды-бороздообразователя (x²+(z-R)²=R²) запишем в параметрической форме:

x=RsinИ;y=0;z=R-RcosИ, 0?И?2р, (2)

где И - угол между осью ОХ и радиус-вектором точки окружности.

Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки - А и точку окружности:

(3)

Освободимся от параметра:

(4)

Возводя в квадрат и складывая, получим:

x²+(z-R)²-(R-yctgµ)²=0. (5)

Получим теперь уравнения траекторий точек катящегося диска с ребордой радиуса r.

Рис. 2. Схема вывода уравнений траекторий дискового сошника с конической ребордой.

На рис. 2 изображен диск с ребордой, движущийся с поступательной скоростью v по направлению оси ОХ. Рассмотрим точку А, занимавшую в начальный момент времени t=0 крайнее нижнее положение. За время t она переместится вправо на расстояние Vt. Но за время t диск с ребордой повернется на угол И=щt, где щ - угловая скорость вращения. Поэтому за время t точка А сместится влево на величину rsinИ. Следовательно, в момент t координата Х точки А будет равна:

x=vt-rsinщt.(6)

Из рис. 2 видно, что:

z=R-rcosщt.(7)

Так как диск с ребордой вращается в вертикальной плоскости, то значение y постоянно: для диска y=0 для сечений реборды y постоянно, но не больше b.

Предположим, что основание реборды радиуса R катится без скольжения и буксования. Тогда V=Rщ. Поэтому уравнение траектории точек реборды радиуса r имеет вид:

(8)

Если r<R, то точки конической части реборды вращаются со скольжением, если r>R, то с буксованием. Из (8) получаем проекции скорости точек:

(9)

В нижней точке касания с почвой скорость по оси ОХ равна щ(R-r). При r=R скорость равна нулю, т.е. эта точка является мгновенным центром вращения. При r<R скорость положительна, и это характеризует скольжение реборды. При r>R скорость отрицательна, т.е. нижняя точка движется в обратном направлении.

Согласно теории академика В.А. Желиговского [7] предельная глубина бороздки h_пр, при которой на кромке диска отсутствуют точки, скользящие по почве, определяется соотношением:

h_пр=2rsin²ц₀ , (10)

где r - радиус реборды, ц₀ - угол трения диска по почве. Обычно для сошников используются реборды, для которых 2r?300 мм=0,3 м.

Угол трения ц₀ для большинства почв Беларуси колеблется в границах 20⁰< ц₀<40⁰. Тогда при ц₀=40⁰, sinц₀=0,64, 2r=0,3, предельная глубина hпр=0,124м. При ц₀=20⁰ и 2r=03, hпр=0,035. Поскольку желательная глубина бороздки составляет 0,025 - 0,035м, примем предположение, что основание реборды-бороздообразователя, имеющее радиус R, движется без скольжения.

Обоснование угла между нормалью к реборде и направлением скорости

При взаимодействии диска с ребордой и почвы важное значение имеет угол ш между абсолютной скоростью и нормалью к конической поверхности реборды [2, с. 46], [12, с. 78, с. 84]. Считается, что если этот угол меньше угла трения почвы о сталь реборды, то почва сминается по направлению скорости, если больше - почва скользит.

Рис. 3. Схема для расчета вектора нормали дискового сошника с конической ребордой.



Для получения вектора нормали к реборде получим ее параметрические уравнения. С этой целью проведем сечение реборды плоскостью y=const. В сечении получим окружность с центром в точке О радиуса r=R-yctgµ. На этой окружности выберем произвольную точку М. Если обозначить через И угол АОМ, то очевидно (рис. 3):

x=rsinИ, y=(R-r)tgµ, z=R-rcosИ.(11)

Это и есть параметрические уравнения реборды с параметрами r и И.

Вектор нормали к поверхности определяется как векторное произведение векторов

Находим:

Векторное произведение подсчитывается через определитель:

Раскрывая по первой строке, получим:



Чтобы найти единичный вектор нормали к реборде , вычислим длину или норму :

(12)

Тогда единичный вектор нормали будет:

(13)

Вектор скорости был найден ранее (9). В этих формулах щt - угол поворота реборды. С углом И на рис. 2 он связан формулой

И=2р-щt; щt=2р-И.(14)

Поэтому:

x=щ(R-rcosИ); y=0; z=-rщsinИ. (15)

Модуль вектора скорости равен:

где л=r/R. Этот параметр называют кинематическим. Он равен отношению окружной скорости щr к поступательной V=щR.

Делением (15) на получим единичный вектор скорости:

(16)



Косинус угла между единичными векторами равен их скалярному произведению:

или после упрощений:

(17)

Для основания реборды r=R и л=1. Тогда:

Следовательно, для основания реборды

Если µ=90⁰ (прямая реборда), то cosш=cosИ/2, что совпадает с расчетом в [2, с. 42].

Полученные формулы будут использованы при расчете сил сопротивления почвы сжатию.

Силы, действующие со стороны почвы на двухдисковый сошник с ребордами

Задача исследования движения сошника сводится к получению и анализу зависимостей между входными данными (радиус диска R₁ и реборды R₂, угол скоса реборды µ, ширина реборды b_R, скорость движения сошника V, давление на сошник F) и выходными параметрами (глубина h и ширина b_Б бороздки, тяговое усилие P, плотность дна бороздки). Эти зависимости можно получить путем расчета сил, действующих со стороны почвы на сошник, и составления баланса сил и моментов сил.

Поскольку движение реборды в почве аналогично движению жесткого колеса в деформируемой среде (теория колеи), то возникает необходимость расчета усилий на сжатие почвы. Для зависимостей между нормальным напряжением сжатия у и деформацией h используют одну из следующих формул:

у=kh; (18)

(19)

, (20)

где k - коэффициент объемного смятия почвы, Н/м³; у₀ - предельная несущая способность почвы, Н/м²; К_с - коэффициент сцепления почвы, Н/м^1+v; b - наименьший размер штампа, м; Кц - коэффициент трения почвы, Н/м^2+v.

Формула (19) предложена Беккером [5]. Ее недостатком является то, что при малых h нормальное напряжение у резко возрастает.

Формула (20) предложена профессором В.В. Кадышным [4]. При малых h она дает значения у фактически совпадающие со значениями линейной формулы (18). Однако если по (18) с неограниченным ростом h и у неограниченно растет, то по формуле (20) с ростом h, у стремится к значению у₀, т.е. при у близких к у₀ деформация увеличивается почти без роста напряжения. Это соответствует и физическим представлениям, и опытным данным.

Рис. 4. Зависимость напряжения сжатия у от глубины хода h дискового сошника с конической ребордой.

Однако формула (20) при подсчете суммарных усилий сжатия приводит к громоздким вычислениям и часто к интегралам, которые не выражаются через элементарные функции.Это заставляет использовать приближенные методы, например, разложениев ряд. Если при этом ограничиться первым членом (см. например [3, с. 42]), то это равносильно использованию формулы (18). Необходимо выяснить, до каких значений h допустимо использовать линейную формулу (18) вместо (20) и оценить возникающую погрешность.

Обозначими сравним формулы: y=x и y=thx.

Функция thx разлагается в ряд Маклорена в окрестности точки х=0 вида:

Известно, что при отбрасывании членов знакочередующегося ряда погрешность не превосходит величины первого отброшенного члена. Таким образом, если для вычисления thx используется только первый член ряда, то погрешность не превосходит х³/3. Прямым расчетом проверим, до каких значений х допустимо вместо thx использовать х.

Выясним, какие значения может принимать х в реальных условиях при смятии почвы ведомым жестким колесом. По данным [2, с. 46 (и далее)]:

где б₀ - угол охвата опорной поверхности почвы, 0?б?б₀, r - радиус колеса, К - коэффициент объемного смятия почвы, у₀ - предел прочности почвы на сжатие.

Согласно данным таблицы 1.2 (стр. 14) из [2] отношение К/ у₀ практически для всех видов почв не превосходит 1 и лишь в трех случаях принимает значения не более 1,6. Выражение в скобках достигает максимального значения при б=0. Таким образом, значение х не превосходит величину

Из рис. 5 ясно, что cosб₀=(r-h)/r, где h - глубина бороздки. Предположим весьма маловероятное для диска сошника, что h=r/2. Это значит, что б₀=60⁰, т.е. cosб₀/2=cos30⁰?0,86.

Рис. 5. Схема определения угла охвата поверхности почвы дисковым сошником с конической ребордой.

Тогда:

Для сошников обычно r?0,15м. Следовательно, даже для высказанных условий (б₀=60⁰, h=r/2) значение х не превосходит величины 0,56·0,15=0,084 м. Замена thx на х дает погрешность не более 0,5%. Это обосновывает возможность использования линейной формулы (18) для расчета воздействий почвы на сошник при смятии почвы.

Сопротивление почвы сжатию ребордой-бороздообразователем

При определении сопротивления почвы сжатию ребордой используем модель образования колеи жестким ведомым колесом, которая изложена в [2] и [3].

Элементарная реакция почвы dR, приложенная в центре площадки dA, перпендикулярной к направлению движения почвы (деформации), пропорциональна нормальному напряжению у и величине площадки dA:

dR_c=у dA.

Нормальное напряжение почвы подчиняется закону

где х - величина деформации, у₀ - предел прочности почвы, k - коэффициент объемного смятия почвы. Выражение для х получим из [2] (формула (1.13), с. 46):

(21)

где И₀ - угол охвата почвы. Ранее мы показали, что для реальных условий работы сошника можно заменитьвеличинойс погрешностью, не превышающей 2%. Тогда:

(22)

Поскольку напряжение сжатия направлено по нормали к поверхности контакта реборды и почвы, необходимо эту величину умножить на cosш (17). Однако, пользуясь малой шириной реборды, примем этот угол таким, как у основания, т.е.

Остается умножить на элемент поверхности контакта. Как известно из геометрии, элемент поверхности определяется по формуле (см. [13, с. 36]):

(23)

Поэтому:

(24)

Для получения проекций на оси координат достаточно умножить это выражение на координаты единичного вектора нормали (13), т.е. направляющие косинусы и проектировать по И в пределах 0?И?И₀ и по r в пределах R-bctgµ?r?R.

Введем безразмерный параметр л=r/R. Тогда: r=лR, dr=Rdл.

Тогда:

(25)

(26)

b₀=bctgµ/R. (27)

Обратимся к вычислению первого интеграла. Обозначив

и учитывая, что

и

получим

(28)

Так как

, то

Вычисление интеграла по л приводит к очень громоздким выражениям. Поэтому воспользуемся приближенным вычислением интеграла, используя теорему о среднем значении функции:

(29)



Среднее значение функцииравно ее значению в некоторой промежуточной точке х₀. Эту точку можно представить в виде:

x₀=b-k(b-a),(30)

где 0?k?1 - неизвестное число. У нас a=1-b₀, а b=1, т.е. x₀=1-kb₀.

Величина k подбирается на компьютере из условия минимального расхождения значений интеграла, подсчитанного по точной формуле и по теореме о среднем.

Для вычисления R_x оказалось, что при k=0,5 расхождение составляет не более 0,5%. Таким образом:

(31)

Аналогично вычисляются и R_cy, и R_cz.

С учетом того, что b₀=bctgµ/R, формулы принимают вид:

(32)

(33)

(34)

Важно отметить, что формулы работают при условии, если b₀?h₀. В противном случае часть конуса реборды не входит в почву, т.е. надо уменьшить b₀ так, чтобы выполнилось условие b₀?h₀.



Заключение

Анализ результатов исследования силы сопротивления почвы сжатию под ребордой позволяет сделать следующие выводы:

1. Как вертикальная R_z, так и горизонтальная R_x составляющие реакции почвы увеличиваются с ростом глубины бороздки h по закону, близкому к параболическому. При этом вертикальная составляющая по величине превосходит горизонтальную.

2. С увеличением ширины реборды b возрастают обе составляющие реакции R_x и R_z почти по линейному закону.

3. Значительную величину имеет поперечная составляющая реакции R_y. Эту составляющую мы не учитываем, т.к. сошник состоит из двух симметричных дисков с ребордами, в силу чего поперечные составляющие компенсируются.

4. Использование теоремы о среднем при вычислении интегралов, описывающих силу сопротивления, позволяет заключить, что при анализе реакции сжатия конической ребордой можно использовать результаты для цилиндрического колеса, радиус которого равен среднему значению из наибольшего и наименьшего радиусов конической реборды. Так, для реборды максимальный радиус равен R, минимальный R-bctgµ. Среднее значение равно R-0,5bctgµ=R(1-0,5b₀).



Литература

1. Петровец, В.Р. Обзор и исследование одно- и двухстрочных современных дисковых сошников / В.Р. Петровец, Н.В. Чайчиц, С.В. Авсюкевич // Вестник БГСХА. 2009. №1. С. 127-133.

2. Гуськов, В.В. Тракторы / В.В. Гуськов. М.: Машиностроение, 1988.

3. Гуськов, В.В. Тракторы / В.В. Гуськов. Минск, 1977. Ч. 2: Теория.

4. Кацыгин, В.В. Вопросы сельскохозяйственной механики / В.В. Кацыгин. Минск: Урожай, 1964. Т. 13.

5. Беккер, М.Г. Введение в теорию систем местность-машина / М.Г. Беккер. М.: Машиностроение, 1973.

6. Вопросы сельскохозяйственной механики / Минск: Урожай, 1966. Т. 16.

7. Желиговский, В.А. Элементы теории почвообрабатывающих машин и механической технологии с.-х. материалов / В.А. Желиговский. Тбилиси: Груз. СХИ, 1960. 146 с.

8. Имамов, И.С. Анализ силовой нагруженности дисковых рабочих органов / И.С. Имамов, В.А. Юзбашев // Теоретические и технологические основы посева сельскохозяйственных культур. М., 1990. Т. 124.

9. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Бычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1981.

10. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. М.: Наука, 1977.

11. Канарев, Ф.М. Ротационные почвообрабатывающие машины и орудия / Ф.М. Канарев. М.: Машиностроение, 1983.

12. Точицкий, А.А. Изыскания и исследование сошников к зернотуковым сеялкам для посева на торфяных почвах: дисс. … канд. техн. наук / А.А. Точицкий; Минск, 1981.

13. Воднев, В.Т. Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович. Минск: Вышейшая школа, 1984.

Размещено на Allbest.ru

...