На основе уравнений Рейнольдса для тонких слоев вязкой ньютоновской жидкости найдены законы распределения давления в несжимаемых и сжимаемых несущих слоях ступенчатой опоры. Для достижения физически более ясного сравнения смазочных свойств и несущей способности двух разных смазочных сред использована плоская модель ступенчатой опоры. Получены алгоритмы вычисления подъемной силы и жесткости обоих смазочных слоев, позволяющие перейти к постановке и решению задач оптимизации безразмерных геометрических параметров и сравнительных интегральных характеристик гидродинамических и газодинамических ступенчатых опор скольжения.

Ключевые слова: смазочный слой, вязкость, давление, плотность, уравнения Рейнольдса, сплайны, число Петрова.

Введение

На рис.1 схематически представлен ступенчатый подшипник протяженностью , где - протяженность глубокого слоя, а - мелкого. Обозначив глубину ступени символом a при толщине тонкого слоя h, введем относительную глубину ступени и относительную протяженность глубокого слоя по правилу

, . (1)

В статье [3] выведены уравнения Рейнольдса для тонкого вязкого слоя ньютоновской жидкости в произвольных ортогональных криволинейных координатах. Эти уравнения имеют один и тот же вид для капельной жидкости (несжимаемая среда) и для газа (сжимаемая среда). Для ортогональной прямолинейной системы координат, введенной как показано на рис.1, эти уравнения выглядят так:

, , (2)

где p - давление, - динамический коэффициент вязкости.

Второе уравнение (2) означает, что давление не зависит от переменной n. Это позволяет проинтегрировать первое уравнение по переменной n и получить равенство

, (3)

в котором константы и должны соответствовать граничным условиям

; (4)

Рассматривая соотношения (3) и (4) совместно, находим зависимость скорости частиц слоя от расстояния n от нижней стенки

(5)

В этих соотношениях индекс 1 соответствует глубокому слою , а индекс 2 - мелкому .

Пусть и - объемные расходы несжимаемой смазки в соответствующих областях слоя через участок подшипника шириной l. Справедливы очевидные равенства

. (6)

После интегрирования находим:

. (7)

Вследствие неразрывности течения эти расходы равны одной и той же величине Q. Поэтому, проинтегрировав первое равенство (7) по x в пределах от до , а второе - от до , найдем функции и в форме

. (8)

В этих выражениях - давление на открытых границах смазочного слоя, т.е. при и .

Введем безразмерное давление P и безразмерную координату по правилу

, (9)

где - давление на открытых границах опоры .

Теперь функции (8) преобразуются к безразмерному виду

. (10)

Новые безразмерные параметры имеют следующий смысл

(11)

В зарубежных публикациях по газовой смазке именуют параметром сжимаемости. Но этот термин не соответствует его физическому смыслу уже потому, что он совершенно естественно появился в безразмерных давлениях в несжимаемых смазочных слоях (8).

На самом деле - это важнейший критерий подобия в гидродинамической теории смазки, заложенной трудами Николая Павловича Петрова (1836-1920). Этот факт признан во всем мире, и мы предлагаем называть числом Петрова. Если нам возразят, указав на отсутствие этого параметра в трудах Н.П. Петрова [4], мы отклоним это возражение. Дело в том, что само выделение не является большим научным достижением, и сегодня едва ли кто-нибудь знает, в чьей работе впервые появился этот параметр.

Чье-либо имя критерию подобия присваивается в память о человеке, внесшем крупный вклад в соответствующую отрасль науки. С этой точки зрения термин "число Петрова" для (11) и справедлив, и физически более правилен, чем зарубежное название этого критерия подобия.

Заметим, что второе слагаемое в круглой скобке (10) тоже безразмерная величина, которую естественно назвать безразмерным расходом . При этом объемный расход Q определится выражением

. (12)

Приравняв и при , найдем выражение и окончательный вид функций и :

. (13)

.

Подъемная сила F, приложенная к выделенному участку подшипника, определяется так

. (14)

Здесь - безразмерная подъемная сила, определяемая выражением

, (15)

где

. (16)

Однако опора с достаточной подъемной силой окажется неработоспособной, если у смазочного слоя не будет необходимой жесткости K, определяемой как производная F по h с противоположным знаком. Введем относительное изменение толщины смазочного слоя h по правилу

, (17)

где

- номинальное значение h, при котором желательно иметь наилучшие характеристики опоры.

Теперь введем безразмерную жесткость по правилу

. (18)

Остается ввести зависимость числа Петрова и безразмерной функции от . Пусть - нормированное число Петрова

. (19)

Легко проверить справедливость соотношений

, (20)

которые полностью определяют зависимость (16) от . Понятно, что безразмерная жесткость должна вычисляться как центральная производная

. (21)

Для практических расчетов в качестве годится 0,005.

2. Интегральные характеристики газодинамической ступенчатой опоры

В подшипниках скольжения, использующих жидкостные смазки, смазочный слой не является изотермическим по протяженности. Например, в ступенчатой опоре (рис.1) тонкий слой будет нагреваться сильнее, чем слой в области ступени. Вязкость жидкостей с ростом температуры всегда уменьшается, в то время как вязкость газов при повышении температуры возрастает, хотя и очень слабо. В этом состоит одно из важных преимуществ газовой смазки: в то время, как в жаркую погоду жидкостная смазка вытекает из зазора подшипника, а в сильный мороз она густеет, затрудняя вращение, газодинамические подшипники одинаково хорошо работают и в жару, и в холод. Это свойство газов позволяет считать течение газа в рабочем зазоре подшипника изотермическим, когда плотность пропорциональна давлению p

, (22)

где .

Выражения (5) для скоростей сохраняют силу, но объемные расходы (6) должны быть заменены массовыми

(23)

Истинный массовый расход газа Q связан с безразмерным расходом равенством

, (24)

где - атмосферное давление.

Поскольку , то из равенств (23) и (24) вытекают уравнения

(25)

Уравнения (25) должны интегрироваться численно методом Рунге-Кутта от открытых границ до ступени .

Связь (14) между подъемной силой F и безразмерной подъемной силой сохраняется, хотя выражение выглядит иначе

. (26)

Эти интегралы должны вычисляться по формуле Симпсона на основе сеточных функций и , найденных из уравнений (25).

Заметим, что при несжимаемой смазке интегральные характеристики подшипника не зависят от давления окружающей среды, что и позволяет вводить безразмерное давление делением истинного давления p на давление окружающей среды . В газодинамических подшипниках и подъемная сила, и жесткость несущего слоя существенно зависят от давления окружающей среды. Поэтому

,

где - атмосферное давление.

Выражение (21) для безразмерной жесткости сохраняет силу, но связь между K и выглядит несколько иначе

. (27)

Нелинейные уравнения (25) содержат неизвестную величину . И хотя ее, казалось бы, нетрудно найти, минимизируя невязку , однако это возможно только при условии, что начальное приближение мало отличается от истинного. В противном случае при численном решении уравнений (25) возникнут серьезные проблемы. Попробуем найти начальное приближение , аппроксимировав функции и сплайнами

, (28)

где , , , - неизвестные константы. Как видно, условия на открытых границах рабочего зазора в выражениях (28) уже соблюдены.

Необходимо найти еще пять уравнений для определения четырех коэффициентов (28) и безразмерного расхода .

Первое уравнение следует из условия равенства функций (28) при (рис.1). это уравнение выглядит так:

. (29)

Еще два уравнения получим, записав дифференциальные уравнения (25) на открытых границах, т.е. при и соответственно.

. (30)

Четвертое и пятое уравнения найдем, записав дифференциальные уравнения (25) по обе стороны от ступени

. (31)

Здесь и - безразмерные давления при . Поскольку они равны, то, умножив второе уравнение на , а затем сложив его с первым, получим:

.

Подставив сюда и (30), получаем простое уравнение, связывающее коэффициенты и

. (32)

Совместное рассмотрение уравнений (29) и (30) приводит к другому уравнению, связывающему эти же коэффициенты

. (33)

Из уравнений (32) и (33) находим , которое нам вскоре понадобится

. (34)

Во втором уравнении (31)

,

поэтому оно приводится к виду

. (35)

Вторая скобка этого уравнения преобразуется с использованием равенства (34) и выражения (30) и принимает вид

. (36)

Совместное рассмотрение уравнения (35) и первого равенства (36) позволяет получить начальное приближение отношения , содержащегося в уравнениях (30)

.

Итак, алгоритм нахождения интегральных характеристик газодинамического ступенчатого подшипника включает в себя численное решение двух дифференциальных уравнений первого порядка (25). Различные попытки линеаризовать нелинейные уравнения для давления в смазочных слоях любых газодинамических подшипников давно исчерпали себя, оказавшись малоэффективными. Однако прямые численные методы решения двумерных краевых задач газовой смазки [6, 7] чрезвычайно трудоемки и до сих пор не годятся для решения задач оптимизации с большим числом оптимизируемых параметров.

Рис.2. - Геометрия узкого ступенчатого подшипника с четырьмя автономными опорными элементами

Многочисленные преимущества подшипников со спиральными канавками [1, 5, 6, 7-12] не означают, что они всегда могут применяться вместо опор другого типа. Например, если конструктивные особенности изделия требуют использовать узкую кольцевую опору, то спиральные канавки окажутся малоэффективными. В этом случае ступенчатая опора будет работать лучше. Но она должна иметь вид, изображенный на рис.2. Глубокий слой выделен темным фоном. Ширина его должна уменьшаться по мере приближения к ступени, чтобы боковые выступы расширялись и сокращали утечки сжатого газа из области повышенного давления.

Заключение