Случайные процессы в автоматических системах управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский университет

«Московский институт электронной техники»

Факультет Интеллектуальные технические системы

Кафедра Системы автоматического управления и контроля

РЕФЕРАТ

«СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ»

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ»

Работу выполнил К.В. Смольникова

Преподаватель В.И.Демкин

Москва, 2016 г.



Содержание

Введение

1. Случайные процессы и их вероятностные характеристики

1.1 Вводные замечания

1.2 Случайные процессы

2. Стационарные процессы

3. Корреляционная функция

4. Спектральная плотность случайных процессов

Заключение

Список литературы



Введение

В теории принято считать, что все внешние воздействия (управляющие и возмущающие), приложенные к системе, являются определенными известными функциями времени. В этих случаях состояние системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, в любой момент времени однозначно определяется состоянием системы в предшествующий момент времени .

Обычно выбирают и говорят, что состояние системы однозначно определяется начальными условиями и может быть точно предсказано для любого момента времени . Такие системы называют детерминированными.

Однако на практике часто встречаются воздействия, закон изменения которых носит случайный характер и не может быть заранее точно определен. Такими случайными воздействиями являются, например, суточные изменения нагрузок энергосистемы; порывы ветра, действующие на самолет; удары волн в гидродинамических системах; сигналы радиолокационных установок, отраженные от цели; флуктуационные шумы в радиотехнических устройствах и т. д. При случайных воздействиях данных о состоянии системы в момент недостаточно для того, чтобы сколь-либо полно можно было судить о ее состоянии в последующий момент времени

Случайные воздействия могут прикладываться к системе извне (внешние воздействия) или, возникать внутри некоторых ее элементов (внутренние шумы). Случайные изменения свойств системы обычно можно свести к эквивалентному влиянию некоторых случайных помех, воздействующих на нее, поэтому в дальнейшем будем считать, что на систему действуют только внешние случайные воздействия.

Исследование системы при наличии случайных воздействий в принципе можно проводить обычными методами, обеспечивая, например, заданную точность системы при самом неблагоприятном (максимальном) значении случайного возмущения. Однако, поскольку максимальное значение случайной величины наблюдается редко, в этом случае к системе будут предъявляться заведомо более жесткие требования, чем это вызвано сутью дела. Поэтому, в подавляющем большинстве случаев расчет системы при случайных воздействиях ведут не по максимальному, а по наиболее вероятному значению случайной величины. В этих случаях получают более рациональные технические решения (меньший коэффициент усиления системы, меньшие габариты усилительных и исполнительных устройств, меньшие источники питания и т. д.), хотя мы преднамеренно допускаем ухудшение качества работы системы для некоторого числа маловероятных ситуаций. Расчет систем автоматического управления при случайных воздействиях проводят с помощью специальных статистических методов, вводя в рассмотрение определенные количественные оценки случайных воздействий - статистические характеристики случайных воздействий, которые, характеризуя случайные воздействия, сами по себе являются уже неслучайными зависимостями. Система автоматического управления, спроектированная на основе статистических методов, будет обеспечивать удовлетворение предъявляемых к ней требований не для одного определенного (детерминированного) воздействия, а для целой совокупности воздействий, заданных с помощью статистических характеристик.

Так как предсказать ход единичного явления теория вероятностей не может, то статистические методы позволяют выяснить лишь закономерности, присущие случайным явлениям массового характера. Например, если ошибка системы носит случайный характер, то точное ее значение в какой либо момент времени с помощью статистического расчета предсказать невозможно. Однако если произвести множество измерений ошибки в одинаковых условиях, то, например, среднее значение ошибки, выявляющееся в результате таких массовых измерений, может быть путем статистического расчета предсказано с достаточной для практики точностью.



1. Случайные процессы и их вероятностные характеристики

1.1 Вводные замечания

Случайное событие - это такое событие, которое может произойти или не произойти, причем это можно выяснить только в результате опыта. Основная характеристика случайного события - это его вероятность, то есть, частота появления события в большой серии опытов. Вероятность события - это знания, которые у нас есть до проведения опыта. Если в большой серии из опытов событие случилось раз, можно говорить о том, что вероятность появлении события примерно равна

Говоря о случайных событиях, мы рассматриваем только два варианта, «случилось» или «не случилось». Однако часто результаты эксперимента можно выразить в виде числа, количественно. Предположим, что нас интересует сопротивление резисторов, купленных в магазине. Номинальное значение сопротивления, равно, например, 100 Ом. Однако, при изготовлении всегда есть допуски, то есть, разрешенные отклонения от номинала. Например, при допуске ± 3% сопротивление взятого наугад резистора может быть любым числом в интервале от 97 до 103 Ом. Это - случайная величина. В общем случае интервал может быть и бесконечным, например, от 0 до бесконечности.

Чтобы полностью знать дискретную случайную величину, надо иметь следующие данные:

· все возможные значения, которые она может принимать при данных условиях задачи или опыта;

· вероятность появления каждого из этих значений.

При этом должно выполняться условие

Случайная величина полностью определяется законом распределения. Существует огромное количество различных распределений, но в технике применяются лишь некоторые из них.

Плотность распределения случайной величины ( - одно из допустимых значений случайной величины):

Характеристики случайной величины:

Среднее значение или математическое ожидание случайной величины

Момент ого порядка

Центральный момент ого порядка

Отклонение случайной величины от ее среднего значения

Среднее отклонение случайной величины от ее среднего значения ?

Дисперсия - средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения

Среднеквадратичное отклонение случайной величины от ее среднего значения

Рассмотрим простейшие типовые законы распределения непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение случайной величины.

Равномерное распределение случайной величины на интервале описывается плотностью распределения:



Рис.1 - График равномерного распределения случайной величины

Математическое ожидание

Дисперсия

2.Нормальное распределение (распределение Гаусса) Самое важное распределение в практических задачах - нормальное распределение (распределение Гаусса), для которого график плотности распределения имеет форму колокола:

Рис. 2 - График распределения Гаусса случайной величины.

Распределение Гаусса обладает несколькими замечательными свойствами:

· сумма (и любая линейная комбинация) случайных величин с нормальными распределениями тоже имеет нормальное распределение;

· если на величину действует множество независимых помех, ее плотность вероятности стремится к нормальному закону;

· при прохождении случайного сигнала с нормальным распределением через линейную систему сигнал на выходе тоже имеет нормальное распределение.

1.2 Случайные процессы

Случайная величина , изменяющаяся во времени , называется случайным или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая , а является множеством возможных кривых , так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (множеством) возможных значений. Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

Итак, в случайном процессе нет определенной зависимости х (t). Каждая кривая множества является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс.

Рис.3 - Случайный процесс

Итак, в случайном процессе нет определенной зависимости . Каждая кривая множества является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс. Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками.

В моменты времени и наблюдаются случайные величины и , каждая из которых имеет свой закон распределения. Поскольку это -- непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности. По этим данным можно найти среднее значение (математическое ожидание), дисперсию, СКВО и другие характеристики случайного процесса. Процессы с нулевым средним значением называются центрированными.

- закон распределения случайных величин. В общем случае он будет меняться с течением времени, для каждого момента времени будет свой закон распределения , и т.д. при чем

Для каждого момента времени можно найти характеристики случайных величин, в результате будем иметь среднее по множеству (математическое ожидание)

и дисперсию

.

Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую, около которой группируются все возможные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия или среднеквадратичное отклонение характеризуют рассеяние отдельных возможных реализаций процесса около этой средней кривой. Кроме этих осредненных характеристик , которые для каждого данного момента времени являются средними по множеству, введем понятие среднего значения случайной величины для отдельной реализации случайного процесса , которое определяется из выражения

.

Случайный процесс полностью определяется видом функций и т.д. и связью между ними. Простейшим типом случайного процесса является полностью случайный процесс, в котором все значения случайной величины в отдельные моменты времени никак не зависят друг от друга. Тогда появления значений случайной величины будут независимыми событиями. для них будет справедливо соотношение:

.

Подобные соотношения - самые простые соотношения в теории случайных процессов и применяются для описания случайных хаотических помех.

Для характеристики полезных входных сигналов систем регулирования и следящих систем эти соотношения практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени. И если в момент времени процесс пошел точку , то его следующее возможное положение в момент времени ограничено предыдущим. То есть появления значений случайной величины будут зависимыми событиями, а, следовательно, будет справедливо соотношение:



,

где - условная вероятность того, что, пройдя точку , случайный процесс пройдет вблизи точки . Таким образом, зная плотности вероятностей и , мы можем найти условную плотность вероятности

.

Основные плотности вероятности также связаны между собой следующим соотношением:

.

Высшие плотности вероятностей содержат в себе больше информации о случайном процессе и таким образом любые низшие плотности вероятности могут быть получены из высших плотностей вероятности.

Написанные соотношения справедливы для любых типов случайных процессов. В отличие от чисто случайных процессов рассматриваются различные типы случайных процессов, которые различают на:

· Стационарные

· Нестационарные

А также принимая во внимание различные гипотезы о формах связи между и то, до какого порядка принимаются плотности вероятности.



2. Стационарные процессы

Стационарным случайным процессом называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Иначе процесс - нестационарный, его свойства со временем изменяются. Строго говоря, все реальные процессы - нестационарные, они когда-то начались и когда-то закончатся. Однако часто на практике можно считать, что на интересующем нас интервале времени (например, во время перехода судна из одного порта в другой) свойства случайных процессов (волнения, ветра) не изменяются. Это допущение позволяет существенно упростить решение многих задач.

Стационарность - это очень сильное допущение. Чтобы доказать его справедливость, нужно знать все плотности распределения в любой момент времени, а они чаще всего неизвестны. К счастью, стационарность (в узком смысле) совсем не требуется в инженерных задачах. Вместо этого достаточно рассматривать процессы, стационарные в широком смысле, для которых математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение постоянны вдоль всего случайного процесса. Задание всех функций плотности распределения определяет случайный процесс, однако, для удобства целесообразно использовать некоторые осредененные характеристики. Однако, вначале отметим два важных свойства:

· Ограничиваясь рассмотрением только стационарных процессов, мы сможем определить лишь установившиеся динамические ошибки автоматических систем при случайных воздействиях.

· Стационарные процессы обладают свойством, известным под названием эргодичной гипотезы.

Поскольку вероятностные характеристики для стационарных процессов с течением времени постоянны, то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).

Математическое ожидание для стационарного процесса:

случайный процесс автоматический корреляционный

Таким же образом можно записать и моменты более высоких порядков.

Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты. Важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями. Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса.



3. Корреляционная функция

Пусть, например, имеются две непрерывные случайные величины и . Для них может быть введена двумерная плотность вероятности . Если величины и независимы, то

.

Вводится понятие смешанного момента m-го порядка, где ,

и смешанного центрального момента

Если q = s = 1, то центральный момент второго порядка имеет особое значение и носит название корреляционного момента:

.

В случае независимости случайных величин и можно легко показать, что корреляционный момент . Иногда употребляется понятие коэффициента корреляции, представляющего собой относительное значение корреляционного момента:



.

где и -- дисперсии величин и . Для совокупности случайных величин в приближенных расчетах часто ограничиваются заданием матрицы-столбца (вектора) математических ожиданий и матрицы корреляционных моментов. Составляющие корреляционной матрицы показывают степень связи между отдельными случайными величинами, причем . На диагонали корреляционной матрицы находятся собственные центральные моменты второго порядка, т. е. дисперсии .

Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции и , взятых в моменты времени и носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Она может быть найдена из выражения

,

где -- двумерная плотность вероятности.

Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени от предшествующего значения в момент времени . Это есть мера связи между ними. Рассмотрим основные свойства корреляционных функций:

· Свойство симметрии:

· При корреляционная функция дает средний квадрат отклонения

· Прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дисперсии. Таким образом корреляционная функция, в таком случае будет суммой корреляционных функций случайной и неслучайной функций. С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведения и или и :

Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени от предшествующего значения в момент .

Основные свойства корреляционной функции стационарного процесса относительно величины :

· - это средний квадрат случайного процесса, поэтому всегда ; для центрированных процессов (с нулевым средним) эта величина совпадает с дисперсией

· при корреляционная функция имеет наибольшее значение, в том числе и наибольшее по модулю, то есть при всех ф

· , то есть - симметричная (четная) функция



4. Спектральная плотность случайных процессов

В теории управления существуют и взаимно дополняют друг друга два подхода:

· временной - исследование процессов во времени;

· частотный - исследование частотных свойств сигналов и систем (с помощью передаточных функций и частотных характеристик).

Основная временная характеристика стационарного процесса - корреляционная функция, основная частотная характеристика - спектральная плотность. Спектральная плотность - это функция, которая показывает распределение мощности сигнала по частотам. Такая информация о полезных сигналах, помехах и возмущениях очень важна для разработчика систем управления. Для перехода от временного описания детерминированных (не случайных) процессов к частотному, используют преобразования Фурье и Лапласа. Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье, следовательно, спектральная плотность случайного процесса может быть найдена как преобразование Фурье от корреляционной функции и наоборот:

Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, то иногда их представляют в более простом виде:



Это следствие того, что существуют равенства:

Мнимые части можно отбросить, так как слева стоят вещественные функции.

Спектральная плотность чем-то похожа на плотность распределения вероятностей, только она характеризует плотность распределения мощности сигнала по частотам.

Свойства спектральной плотности:

· Это неотрицательная, четная функция угловой частоты щ (график расположен выше оси абсцисс и симметричен относительно вертикальной оси); Интеграл от на некотором интервале частот дает мощность, которая связана с этими частотами; поскольку функция - четная, результат интегрирования на нужно удвоить, чтобы учесть также и полосу ;

· Площадь под кривой определяет средний квадрат случайного процесса (для центрированного процесса он равен дисперсии):



Множитель нужен для согласования единиц измерения, поскольку угловая частота измеряется не в герцах, а в рад/с. Учитывая, что функция ) четная, можно интегрировать ее только при , а результат удвоить:



Заключение

В ходе работы были рассмотрены такие темы как:

· Теория вероятностей

· Случайные процессы

· Стационарные процессы

· Корреляция и ее функция

· Спектральная плотность

Итак, подводя итоги можно сказать следующее: насколько бы ни были непредсказуемыми случайные воздействия на систему, есть методы, с помощью которых становится возможным в какой-то мере их прогнозировать, описывать и с достаточной для практики точностью учитывать при моделировании систем автоматического управления. Так, каждая из упомянутых тем является частью методики максимального уточнения и минимизации количества неизвестных ошибок и случайных воздействий, так как будь они ожидаемыми, проще было бы их предупредить и устранить последствия. Для этого мы обращаемся к теории вероятности и математической статистике, чтобы с их помощью максимально точно предсказать возникновение того или иного случайного процесса. Также вводится понятие стационарных процессов - допущение, которое позволяет довольно точно описывать плотность распределения вероятностей возникновения случайного воздействия и довольно точно решать задачи относительно него. Корреляционная функция и спектральная плотность позволяют охарактеризовать стационарный процесс с точки зрения временного и частотного представления. Эти две характеристики связаны между собой преобразованием Фурье, зная их, можно достаточно точно описать случайный процесс в системе автоматического управления.



Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. - Москва, 1975

2. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. / А. А. Воронов, Д. П. Ким, В. М. Лохин и др.; Под ред. А. А. Воронова.-- 2-е изд., перераб. и доп. -- М.: Высш. шк., 1986

3. Теория автоматического управления для «чайников» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы К.Ю. Поляков Санкт-Петербург, 2009

Размещено на Allbest.ru

...