Характеристика сопротивления материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Сопротивление материалов

2016 г.



1. Расчет составного бруса на прочность при растяжении-сжатии

Стальной составной брус , заделанный на левом конце и нагруженный внешними силами 1 , 2 , направленными вдоль оси бруса , состоит из трех частей. Длина а каждой из частей равна 0,4 м. Площадь F поперечного сечения средней части вдвое меньше площадей сечений крайних частей.

Требуется при известном модуле Е упругости, равном 2*105 Мпа,

1) построить эпюру внутренних продольных сил;

2) построить эпюру нормальных напряжений;

3) проверить условие прочности бруса при допускаемом растягивающем напряжении [p], равном 240 Мпа;

4) найти полное удлинение (укорочение) бруса при выполнении условия прочности.

F=400 мм2 ; Р1=30 кН ; Р2=20 кН

Решение

1 разобьем брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений и места изменения поперечного сечения.

2 определим по методу сечений продольную силу для каждого участка(ординаты эпюры N) .

N1= P1= 20 кН ; N2=P2 - P1 =20 - 30 = -10 кН ; N3= P2 - P1= - 10 кН.

3 вычислим значения нормальных напряжений:



1= = 20*103 /(2*400*10-6)= 50 МПа

2= = - 10000/0.004= - 25 МПа

3= = - 10/0.008= - 12,5 МПа

Построим эпюры продольных сил и нормальных напряжений:

4 Проверим брус на прочность из условия:

= N/F < [p],

50*106/800*10-6 =0.0625*1012=62,5 МПа <240 МПа ,

10*106/400*10-6=0,025*1012= 25 Мпа <240 МПа

10*106/800*10-6=0,0125*1012=12,5 Мпа <240 МПа,

условия прочности выполняются.

5 Найдем перемещение свободного конца бруса:

??= ?l1 +?l2 +?l3

?l1= = = =0.5*10-4 м =0,05 мм ;

?l2= = = = -0.5*10-4 м =-0,05 мм ;



?l3= = = =-0.5*10-4 м ==0,05 мм ;

??= 0.05= 0.05 мм.

2. Расчет сплошного круглого вала на прочность при кручении

На горизонтальном стальном валу, вращающемся со скоростью n=240об/мин., насажено четыре шкива . Шкивы 1,3,4 передают рабочим органам машины мощности Р1,Р3,Р4 соответственно. Шкив 2 служит для отбора мощности Р2 от двигателя:

Р2= Р1+Р3+Р4 .

При расстоянии а между шкивами, равном 0,4 м, диаметре d,круглого сечения вала, равном 60 мм, и модуле G сдвига (упругости) стали, равном 8*104 МПа, требуется

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) найти опасное сечение и наибольшее касательное напряжение;

3) проверить условие прочности вала при допускаемом касательном напряжении [], равном 60 МПа;

4) найти угол поворота шкива 4 относительно шкива 1.

Р1=30кВт, Р3=15кВт, Р4=15кВт.

Решение

Выразим угловую скорость вращения вала в радианах в секунду:

240*р/30= 25 рад/с ; 

Определим значения внешних скручивающих моментов:

М1=Р1/30/25 =1,2 кН*м ; М3 =Р3/15/25 = 0,6 кН*м ;

М4=Р4/ 15/25 = 0,6 кН*

Скручивающие моменты внешних сил сопротивления, приложенных к шкивам, направлены в сторону, противоположную моменту М2 внешних сил.

По методу сечений : крутящий момент Мк в поперечном сечении равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов слева. При этом знак крутящего момента в сечении положительный, если при взгляде на торец отсеченной части он стремится вращать брус вокруг продольной оси по ходу часовой стрелки; знак внешнего скручивающего момента слева от сечения положительный, если при взгляде со стороны правой части он стремится вращать брус относительно продольной оси против хода часовой стрелки.

Скручивающие моменты внешних сил сопротивления, приложенных к шкивам, направлены в сторону, противоположную моменту М2 внешних движущих сил.

Участок АВ: Мк =0 кН*м;

Участок ВС: Мк =М1=1,2 кН*м;

Участок CD: Мк=М1- М2=1,2 - 2,4 = -1,2 кН*м;

Участок DE: Мк=М1 - М2 +М3= -1,2+0,6= - 0,6 кН*м;

Участок ЕК: Мк= М1 - М2 +М3 +М4 = -0,6+0,6=0 кН*м;

Абсолютная величина крутящего момента Мк достигает максимума в любом сечении участков ВС и CD. Mmax=1.2 кН*м;

Так как диаметр вала постоянный, то полярный момент инерции сечений и полярный момент сопротивления сечений вала также постоянные.

Касательные напряжения максимальны на внешней границе круглых сечений

Касательные напряжения на внешней границе круглого вала достигают максимума max в тех сечениях, в которых абсолютная величина крутящего момента наибольшая . Mmax=1.2 кН*м;

max= Mmax *d/2Jp , Jp=рd4/32 , max = Mmax *16/(рd3);

max =1.2*103*16/(р*216*10-6) =28.3 *106=28.3 МПа ;

Так как max =28,3 Мпа < []= 60 МПа, то условие прочности выполняется.

Вычислим искомый угол поворота шкива 4 относительно шкива 1.

=Мк*3а/(G*Jp)= 32*Мк*3а/(Gрd4) =32*0.6*103*3*0.4/(8*1010*3.14*64*10-12)=0.015 рад0,750

3. Расчет бруса на прочность при поперечном изгибе

Горизонтальная балка AD со свободным концом А опирается на неподвижный шарнир В и подвижный D. Балка нагружена парой сил с моментом М пары на конце А и распределенной на участке CD нагрузкой интенсивности q в вертикальной плоскости. М=12кН, q=2кН/м., при постоянных значениях АВ=1 м. ; ВD=7 м. ; СD =4 м. и сечение балки в форме квадрата со стороной а. брус сжатие вал стержень

1) построить эпюру поперечных сил;

2) построить эпюру изгибающих моментов;

3) найти опасное сечение;

4) Определить предельный размер а сечения балки, из условия прочности по допускаемому нормальному напряжению []=160 МПа .

Решение

1 определим реакции опор:

?MD= -(8-1)*RA +2*4*2-12=7*RA +4 =0RA = 4/7 0.571кН ;

?MB= 7*RB -2*4*5-12 = 7*RB -52 =0 RB =52/7 7.429 кН ;

Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:

0,571 +7,429-2*4= 0 (вычисления верны).

2 построение эпюр:



Составим аналитические выражения для каждого из участков 1(АВ), 2(ВС), 3(СD)

Участок 1 (01)

Поперечная сила Q(z) = 0 ; значение Q на краях отрезка Q(0) = 0; Q(1)=0

Изгибающий момент М:

М1(z)= M1 =12кНм; на концах отрезка: М1(0)=М1(1)=12 кНм

Участок 2 (1 4)

Поперечная сила Q(z) =RB=Q(1)=Q(4)=0.571 кН;

Изгибающий момент М:

M2(z)=RB(z-1)+M1=0.571*z+11.429 ;

Значение М на концах отрезка :

М2(1)=0,571+11,429=12 кНмМ2(4)=0,571*4+11,459=13,714 кНм

Участок 3 (8)

Поперечная сила Q3(z)=RB-q(z-4)= -2z+8.571; Значение Q3(z) на концах отрезка: Q3(4)= -2*4+8,571=0,571 кН ; Q3(8)=-2*8+8,571=-7,429 кН ;

На этом участке эпюра Q(z) пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения: -2z+8.571=0 ; z1=4.286 м.

Изгибающий момент М:

М2(z)=0.571(z-1)-2(z-4)2/2+12=-z2+8.571z-4.571 ;

Значение М на краях отрезка:

М3(4)=-1*42+8,571*4-4,571=13,714кНм ; М3(8)=-1*82+8,571*8-4,571=0

Локальный экстремум в точке z1= 4.286 м.; М3(4,286)=13,796 кНм -это и есть опасное сечение балки.

4 Определим предельный размер а сечения балки, из условия прочности по допускаемому нормальному напряжению []=160 МПа

Wmin =Mmax//[]= 13.796*104 /160*106 =86.25 см2

Для квадрата а2 =86,25 см2 ; а = =9,25 см.

4. Расчет бруса круглого сечения на прочность при кручении с изгибом

Стальной опирающийся на подшипники вал круглого сечения радиуса r вращается с постоянной угловой скоростью , Привод шкива с радиусом R на валу осуществляется двигателем. Через шкив с переброшены вертикальные приводные ремни с натяжением ведущей и ведомой ветвей Т и t. На вал также насажены два ведомых шкива 1,2 с радиусами R1 и R2 , передающие мощность Р1 и Р2 . Натяжение приводных ремней 1,2 равны

Т1, t1 и Т2, t2 , а углы наклона к горизонту - 1 и 2 . Найти опасное сечение вала и проверить его прочность по третьей теории прочности, если r=20мм; R=4r , R2=R; R1=2R; 1=300; 2=21; T=t; T1=2t1 ; T2=2t2 ; P1=2P; P2=P;

OA=AB=BD=DE=l, допускаемое напряжение []=80 Мпа.

=110 рад/с, Р=20кВт, l=0.4 м.



Решение

1 Определим мощность Р1, передаваемую на вал двигателем.

Р1= 2Р=2*20*103= 40 кВт

2 Определяем абсолютные значения внешних крутящих моментов М, М1, М2, передаваемых шкивами с, 1, 2 по формулам:

М= Р1/ = 2Р/, М1=2Р/, М2= Р/;

Момент, прилагаемый к валу в месте ведущего шкива, равен сумме моментов, которые передаются рабочим станкам

Мс= М1+ М2=0,36+0,18=0,54 кН*м

Направления моментов на ведущем с и на ведомых 1, 2 шкивах противоположны.

Определяем усилия натяжения ремней шкивов, исходя из формул

М=(Т- t)R; М1=(Т1- t1)R1; М2=(Т2- t2)R2;

Отсюда Т= 2t= 4P/(R) ; Т1= 2t1= 2M1/R1= P/(R) ;

Т2= 2t2= 2M2/R2= 2P/(R) .

3 Определим мoдули FA, FB, FE главных векторов внешних сил A , B , E , приложенных к точкам А, В, Е оси вала и действующих со стороны шкивов 1, 2, с

FA= T1 + t1 =1.5P/(R); FB=T +t =6P/(R); FE= T2 +t2 =3P/(R)

4 Выбираем прямоугольную систему координат 0xyz с осью 0х по оси вала и вертикальной осью 0у. раскладываем силы A , B , Е на составляющие, параллельные осям 0х, 0у, 0z;

A =A + A + A ; B =B + B + B ; E = E + E + E .

5 Определяем модули составляющих сил:

Освобождаемся от связей, приложив в точках 0, D оси вала реакции подшипников 0 и D

0 =0 + 0 + 0 ; D =D + D + D ;

Подшипник 0 представим как неподвижный , а подшипник D как подвижный вдоль оси 0х цилиндрический шарнир ( D = ).

Выбранные направления сил 0 , D , 0 , D , отметим при построении эпюр.

7 Составляем условия равновесия вала в координатном виде, выбрав точку 0 в качестве центра приведения:



Очевидно, наиболее опасное сечение в точке D :

MD= = *(Pl /(R)=

=1.686*2*40*103/(4*20*10-3*110)=15.327*103 Bт=15,327 кН*м

Строим эпюру полного изгибающего момента М по формуле

М=

и эпюру скручивающего момента Мк.

Определяем опасное сечение . по третьей теории прочности разрушение наступает на тех площадках, на которых касательные напряжения достигают опасного значения [].

При изгибе с кручением бруса круглого сечения с осевым моментом сопротивления W, равным рr3 /4. Максимальные касательные напряжения определяются по формуле:

= / (2W) ;

Значит опасным будет сечение D, в котором полный изгибающий и скручивающий моменты достигают максимальных значений. При этом условие прочности принимает вид



* +1 , или

* +1 ,

2*20*103 /(3.14*203*10-9*110)*22*106 Па < 80 МПа ,

Следовательно вал удовлетворяет условиям прочности.

5. Расчет стержня на устойчивость

Вертикальная балка длиной l с заделанным нижним и свободным верхним концами сжимается продольной силой N. Определить предельный радиус r круглого сечения балки, изготовленной из стали Ст5, при котором балка не теряет устойчивость.

N=200 кВт, l=2,0 м.

Решение

Допускаемое напряжение на сжатие []=160Мпа, допускаемое напряжение на устойчивость [у]= [], где - экспериментальный коэффициент, зависящий от материала и формы сечения стержня(гибкости ).

Гибкость определяется формулой:

= ,

где - коэффициент приведения длины, равный 2 (для жесткой заделки нижнего конца балки).

Jmin- минимальный момент инерции относительно оси сечения. Для круглого сечения Jmin =рd4/64 = рr4/4. F=рr2 - площадь сечения.

Подставляя данные в формулу дляи преобразовывая, получим: =8/r

Из формулы N/F=[] , подставляя данные и проводя преобразования имеем:

= 160*106*; =2512 ; ; =50.1 ;

Исключая из равенств : =8/r и =50.1 радиус r, получим

/8=50.1 ; =400,8;

Используя последнее равенство и таблицу 3,6 , подбираем столбец:

(0,19+0,21)/2=0,2 для

(180+170)/2=175 для ; 175/8=1/r отсюда r=8/1750.0457 м.

Ответ: r мм.



Использованная литература

1.Костенко Н.А. и др. Сопротивление материалов: учеб. для втузов.3-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 2007.-488с.

2. Волков А.Н. Сопротивление материалов: учеб. для вузов /А.Н. Волков.-М.:Колосс,2004,-295 с.

Размещено на Allbest.ru

...