Структурно-кинематический синтез многосвязных зубчатых механизмов на основе методов комбинаторики

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

СТРУКТУРНО-КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ МНОГОСВЯЗНЫХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ КОМБИНАТОРИКИ

Муллабаев Адунис Абдуллинович

Специальность 05.02.18 - Теория механизмов и машин

ИЖЕВСК - 2008

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет».

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Фот Андрей Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Кунивер Аркадий Семенович

доктор технических наук, доцент

Кулешов Виталий Валентинович

доктор технических наук, доцент

Поляков Александр Николаевич

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет»

Защита состоится «__6___» _июня_2008 г на заседании диссертационного совета Д 212.065.01 ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет» по адресу: 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7, ГОУ ВПО Иж ГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ижевского государственного технического университета.

Автореферат разослан «_____ »_______________ 200____ года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук, профессор А.В. Щенятский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В современных машинах широко используются передаточные механизмы в виде коробок передач и гитар сменных элементов (шестерен, шкивов, звездочек). В связи с отсутствием теории оптимального проектирования механизмов со сменными элементами комплекты сменных элементов в существующих машинах далеки от оптимальных (количество сменных элементов в них завышается до двух раз).

В приводах различных станков, транспортных и других машинах широко распространены дорогостоящие передаточные механизмы в виде коробок передач с зубчатыми колесами. Проведенный анализ показал, что существующие коробки передач в большинстве случаев имеют неоправданно большое число колес и завышенные габариты. Значительного сокращения числа колес, габаритов и улучшения динамических характеристик этих коробок можно добиться применением связанных шестерен.

В приводах машин для реализации медленных перемещений (например, разрывные машины для коррозионно-механических испытаний) требуемые значения скоростей исполнительных органов обеспечиваются последовательным соединением большого числа зубчатых редукторов. Снижение габаритов и массы таких приводов может быть достигнуто применением редукторов с замкнутыми дифференциалами.

В связи с большим объемом производства зубчатых колес снижение их количества в упомянутых выше объектах позволяет обеспечить существенную экономию материальных ресурсов и финансовых средств в машиностроительных отраслях промышленности, что делает проблему оптимизации передаточных механизмов весьма актуальной.

Работа выполнена в рамках общего направления научных исследований кафедры теоретической механики и теории механизмов и машин, кафедры деталей машин и прикладной механики и кафедры металлообрабатывающих станков и комплексов Оренбургского государственного университета по темам «Технико-технологическое совершенствование машин, элементов конструкций и методов их расчета» и «Оптимальный синтез передаточных механизмов» (номер государственной регистрации №01200316419)

Целью работы является расширение возможностей синтеза структурных и кинематических схем многосвязных зубчатых механизмов путем разработки теории оптимального проектирования на основе методов комбинаторики.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

-выполнить анализ и разработать классификацию многосвязных зубчатых механизмов;

-обосновать комбинаторный анализ как основной математический аппарат оптимального проектирования многосвязных зубчатых механизмов;

-разработать методы оптимального проектирования многосвязных зубчатых механизмов: «метод перемещающихся стрелок» и «метод половинного шага для функций многих переменных»;

-адаптировать методы оптимального проектирования многосвязных зубчатых механизмов для синтеза передаточных механизмов со сменными элементами, коробками передач со связанными шестернями, механизмов сверхмедленных перемещений;

-разработать практические методы синтеза оптимальных многосвязных зубчатых механизмов;

-решить практические задачи синтеза оптимальных многосвязных зубчатых механизмов применительно к станкостроению и оборудованию для проведения экспериментальных исследований.

Объект исследования - обширная группа многосвязных зубчатых механизмов, применяемых в различных отраслях машиностроения, в том числе передаточные механизмы со сменными элементами, коробки передач со связанными шестернями, зубчатые механизмы сверхмедленных перемещений.

Методы исследований - методы теории множеств, комбинаторики, математического анализа, целочисленного нелинейного программирования, методы синтеза передаточных механизмов.

Научная новизна полученных результатов заключается в разработке теории оптимального проектирования многосвязных зубчатых механизмов на основе методов комбинаторики.

В рамках выполненного исследования предложено и выполнено:

-классификация механизмов со сменными элементами с выделением трех основных типов - с постоянными межосевыми расстояниями, с переменными межосевыми расстояниями и комбинированных;

-классификация механизмов со связанными шестернями;

-разработано математическое обеспечение оптимизационного структурно-кинематического синтеза многосвязных зубчатых механизмов, в том числе:

-математическая модель задачи оптимизации структуры передаточных механизмов со сменными элементами (зубчатыми колесами, звездочками, шкивами);

-метод «перемещающихся стрелок» для решения задачи оптимизации структуры передаточных механизмов со сменными элементами и механизмов коробок скоростей со связанными шестернями;

-метод «половинного шага для функции нескольких переменных» при решении оптимизационных задач;

-метод построения структурных сеток для многосвязных коробок передач;

-разработан метод структурно-кинематического синтеза зубчатых механизмов для сверхмедленных перемещений;

-разработан метод построения неравномерных структурных сеток для коробок передач;

-получены новые зависимости для определения общего количества равномерных и неравномерных структурных сеток коробок передач;

-предложены новые структурные сетки для механизмов со сменными элементами и связанными шестернями;

-синтезированы новые схемы многосвязных коробок передач и зубчатых механизмов для сверхмедленных перемещений.

Практическая ценность результатов работы заключается:

- в синтезе оптимальных комплектов сменных элементов для различных передаточных механизмов;

- в выявлении зон целесообразности применения различных механизмов со сменными элементами;

- в разработке оптимальных коробок передач с двумя и более связанными шестернями.

Результаты исследований использованы при разработке коробок передач токарных станков-автоматов 1А240, 1265М и 1А290 на Киевском заводе многошпиндельных автоматов, одношпиндельных токарных станков-автоматов моделей 1А225-В и МР505А на Московском станкостроительным заводом им. Серго Орджоникидзе, внедрены в конструкциях стендов для экспериментальных исследований лаборатории «Надежность» АНО «Технопарк ОГУ», а также в курсах лекций по металлорежущим станкам и теории машин и механизмов в учебном процессе Оренбургского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения работы представлялись на научно-технических конференциях, семинарах, технических советах: в Уфимском авиационном институте (г. Уфа); в Самарском государственном техническом университете (г. Самара); в специальном конструкторском бюро многошпиндельных автоматов (г. Киев); на станкостроительном заводе имени Серго Орджоникидзе (г. Москва); в экспериментальном научно-исследовательском институте металлорежущих станков (ЭНИМС) (г. Москва); в центральном экономико-математическом институте АН СССР (г. Москва); в Московском станкостроительном институте (г. Москва); на Международном научном конгрессе (г. Москва); на Оренбургском станкостроительном заводе (г. Оренбург); на 3-ей Международной НТК «Концепция развития и высокие технологии производства и ремонта транспортных средств в условиях постиндустриальной экономики» (г. Оренбург); на 4-ой, 5-ой, 6-ой, 7-ой и 8-ой НТК «Прогрессивные технологии в транспортных системах» в Оренбургском государственном университете (г. Оренбург); на НТК «Динамика и прочность материалов и конструкций» (г. Орск); в Ижевском государственном техническом университете (г. Ижевск).

Публикации. Результаты выполненных исследований освещены в 52 печатных работах, в том числе в 3 монографиях, 9 статьях, опубликованных в центральных научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ, в 12 сборниках докладов международных и российских конференций, в 5 патентах РФ на изобретения.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, шести глав, общих выводов и заключения, списка использованных источников из 210 наименований и приложений. Содержит 407 страниц, в том числе 330 страниц текста, 72 рисунка, 20 таблиц, 77 страниц приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

синтез зубчатый механизм комбинаторика

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показана научная новизна и практическая ценность, приведена краткая аннотация работы.

В первой главе приведены анализ состояния вопроса и определены задачи исследования. В известной литературе практически нет сведений об оптимальном проектировании узлов настройки со сменными элементами. Лишь в отдельных известных источниках (работы Ачеркана Н.С., Тарзиманова Г.А., Рабиновича А.Н. и др.) даются рекомендации по выбору оптимальных комплектов сменных шестерен для простейшего случая - двухвалового механизма с постоянным межосевым расстоянием аw =const. Диапазон регулирования, обеспечиваемый в приводе станка однопарной гитарой с аw =const, в большинстве случаев недостаточен для обработки большого разнообразия деталей. Поэтому почти во всех случаях переходят на трехваловые (с аw1= а w2=const) и четырехваловые (с аw1= аw2= аw3=const) механизмы, в которых посадочные участки валов для возможности перестановки колес выполняются одинаковыми.

При переходе на трех- и четырехваловые механизмы с постоянными и равными межосевыми расстояниями резко усложняется задача оптимизации комплекта сменных шестерен. В известных работах по исследованиям приводов станков и в математических исследованиях эта задача не решена, есть попытки ее решения трудоемким методом «проб и ошибок» и редкие приближения к оптимальному решению. Решение задачи оптимизации комплекта сменных элементов перебором всех возможных вариантов не под силу (в обозримом будущем) даже самым современным ЭВМ (ввиду огромного числа необходимых вычислений).

В металлорежущих станках широко применяются также механизмы со сменными элементами с переменными межосевыми расстояниями. Задача оптимизации комплектов сменных элементов для этих механизмов еще сложнее, чем для механизмов с постоянными межосевыми расстояниями. В известных публикациях не найдена методика оптимального проектирования даже для самой простой однопарной гитары с переменным аw .

При сравнении механизмов со сменными элементами установлено, что во всех внешних кинематических цепях выгодны только двух-, трех- и четырехваловые механизмы с постоянными межосевыми расстояниями при различных диапазонах регулирования. Применение механизмов с переменными межосевыми расстояниями оправдано только во внутренних кинематических цепях, где требуется очень большое число ступеней частот вращения.

Гитары для внутренних кинематических цепей должны обеспечить очень большое число ступеней частот вращения. Например, теоретическое число ступеней Q частот вращения для двухпарной гитары с переменными межосевыми расстояниями можно определить по формуле:

, (1.1)

где: q - число зубчатых колес в комплекте; - число сочетаний из «q» по два колеса; - число сочетаний из (q-2) по два колеса.

Необходимо отметить, что приведенная в работах Петрика М.П. формула для определения Q ошибочна.

Теория оптимального проектирования классических коробок передач (с равномерными структурными сетками и без связанных шестерен) приводится в работах С.Г. Ананьина, Н.С. Ачеркана, Н.В. Игнатьева, В.К. Тепинчикиева, Л.В. Красниченко, А.А. Тихонова, А.Н. Рабиновича, Ю.И. Свирищевского, Г.А. Тарзиманова, К.Е. Трондина, А.М. Хаймовича, Г. Шлезингера и др. Приведены рекомендации: по выбору чисел передач в группах (теоретически оптимальное число передач в группах, дающее минимальное значение числа колес, равно трем, однако при этом получаем завышенное число валов); по выбору оптимальной диаграммы частот вращения, причем для получения минимальных радиальных габаритов и веса коробки передач нижняя граница диаграммы частот вращения по форме должна быть близка к убывающей квадратичной параболе. Однако классические коробки передач всегда имеют неоправданно большое число колес и большие осевые (а иногда и радиальные) габариты. Поэтому эти коробки на практике почти не применяются.

В работах Н.С. Ачеркана говорится о неравномерных структурных сетках, в которых передаточные отношения в некоторых группах передач подчиняются не чисто геометрическим, а так называемым «ломаным» (Гоциридзе Г.Д.) геометрическим прогрессиям. Исследования показывают, что очень часто оптимальные структурные сетки находятся среди неравномерных. Нахождение таких сеток осложнено тем, что в известных исследованиях есть формула только для определения количества равномерных структурных сеток, но нет формулы для вычисления общего количества равномерных и неравномерных структурных сеток (задача сводится к задаче определения количества перестановок с некоторыми ограничениями). В комбинаторике такая задача также не решена.

Теория оптимального проектирования приводов со «сложенными» структурами изложена в работах А.Л. Воронова, И.А. Гребенкина, Н.В. Игнатьева, Б.П. Заверняева, Э.В. Куриса, Р.В. Попова, М.В. Щеглова.

В известных публикациях мало сведений об оптимальном проектировании механизмов с двумя связанными шестернями, применение которых уменьшает количество колес и длину коробки передач и улучшает динамические характеристики станка, так как валы коробки становятся более жесткими. Вопросам применения двух связанных шестерен в коробках передач посвящены некоторые работы немецких ученых Р. Гермара, Криспин-Экснера, В. Риделя, румынского ученого В. Рохони, а так же советских ученых Н.С. Ачеркана, А.Л. Воронова, Б.И. Гурьева, М.Е. Казанцева, П. Кондратьева. Рекомендации работ А.Л. Воронова и Б.И. Гурьева (выполнены с участием автора) позволяют синтезировать двухсвязные коробки передач на число ступеней частот вращения в интервале от 4-х до 16-и. В работе М. Е. Казанцева показаны возможности сокращения радиальных габаритов двухсвязных механизмов за счет нарезания зубьев колес со смещением исходного контура с использованием блокирующих контуров И.А. Болотовского. Работа весьма трудоемкая и реализуется в основном методом «проб и ошибок».

Практически нет данных о применении трех и более связанных шестерен в коробках передач. Только в работе А.Л. Воронова и И.А. Гребенкина дан пример применения трехсвязной коробки скоростей в токарно-винторезном станке ТВ-320 с рядом частот вращения, приближающимся к «ломаному» геометрическому. В некоторых работах Н.С. Ачеркана говорится о том, что механизм на (Z=3x3) ступеней не может дать «чистый» геометрический ряд частот вращения, что также доказано и автором настоящей работы, но, как показали исследования, некоторые механизмы на 12 и 16 ступеней могут дать требуемый «чистый» геометрический ряд.

Нет сведений об оптимальном проектировании механизмов со связанными шестернями на узловом валу (термин «узловой вал» введен автором и означает вал, который связан более чем с двумя валами).

В работах В.Н. Кудрявцева есть упоминание о том, что редукторы с замкнутым дифференциалом на базе планетарных передач (РЗДПП) могут дать сверхмедленные перемещения. Сверхмедленные перемещения нужны в машинах для коррозионно-механических испытаний. Но в работах В.Н. Кудрявцева и работах других авторов мы не нашли примеров структурно-кинематического синтеза РЗДПП.

В связи с этим основные задачи работы направлены на восполнение вышеизложенных пробелов и создание новых эффективных методов структурного и параметрического синтеза многосвязных зубчатых механизмов.

Во второй главе предложена классификация передаточных механизмов (рис.1).

В разработанной классификации показано место исследованных механизмов (жирная рамка). Исследованы механизмы с зубчатыми передачами (рядовыми и планетарными) и с передачами винт-гайка. Особое внимание уделено механизмам с переменным передаточным отношением, в частности, коробкам передач со связанными шестернями (с плоскими и пространственными зубчатыми передачами).

В разделах главы дано обоснование подходов и разработаны основные положения теории оптимального проектирования передаточных механизмов.



Рисунок 1 - Классификация передаточных механизмов

Несмотря на различие трех исследуемых в предлагаемой работе совокупностей объектов (механизмов со сменными элементами, коробок передач со связанными шестернями и механизмов сверхмедленных перемещений), общим для этих объектов является то, что все три совокупности объектов являются передаточными механизмами для ступенчатого регулирования. Выполненный анализ методов проектирования указанных механизмов показал, что эффективным инструментом решения поставленной задачи являются методы комбинаторики.

В основу разработанной теории оптимального проектирования положены новые (более общие) формулы для определения количества перестановок с различными ограничениями, полученные на базе известных формул комбинаторики, и новый метод численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений, сопровождающих формализацию задачи оптимизации различных объектов.

Существует множество методов численного решения этих уравнений, например, метод «скорейшего спуска», характеризующийся большими объемами вычислительной работы, а при реализации на ЭВМ требующим разработки сложных программ. Известен также метод «половинного шага», но он использовался ранее только при исследовании функций одной переменной. Автор обобщил этот метод для функции нескольких переменных, предложив вычислять скалярное произведение двух соседних градиентов в многомерном пространстве (см. ниже), что значительно упрощает машинные программы и уменьшает объем вычислительной работы. Алгоритм метода «половинного шага» включает совокупность определенных процедур, как показано ниже.

Постановка задачи. Дана целевая функция U нескольких аргументов xi.

Требуется найти оптимальное значение вектора , обеспечивающего максимум (минимум) U с точностью по градиенту U.

Расчет выполняется по следующему алгоритму:

а) в программу вводятся значения постоянных коэффициентов: вектор начального приближения ; допустимая погрешность градиента ; начальный шаг 0 ;

б) вычисляется начальное значение градиента ;

в) вычисляется новое значение компонентов по формуле:

, (2.1)

где 0 ;

г) вычисляется новое значение градиента ;

д) если новое значение градиента по модулю меньше , то значения компонентов оптимальны, их значения распечатываются и расчет заканчивается;

е) если новое значение градиента по модулю больше , то вычисляется скалярное произведение А градиентов

(2.2)

где U0 -целевая функция первого приближения.

ж) Если А 0 (мы «проскочили» искомое оптимальное решение в n-мерном пространстве), то шаг уменьшается в два раза =0,50 , присваивается новое значение и вычисления продолжаются, начиная с пункта «в».

В известном методе «скорейшего спуска» на каждом шаге приходится определять функцию в направлении градиента и исследовать эту функцию на экстремум, что, в свою очередь, выполняется численным методом. В предлагаемом методе «половинного шага» эта необходимость отпадает.

На практике часто возникает задача получения некоторой последовательности (например, частот вращения шпинделя станка), которая должна быть достаточно плотной (то есть разница между любыми соседними числами не должна превышать определенное заданное значение) при использовании ограниченного числа сменных элементов из некоторой совокупности, которые обеспечивают и максимум целевой функции, равной разнице между максимальным и минимальным значениями чисел .

К указанной задаче (назовем её первой или обратной задачей) сводятся задачи оптимизации комплектов сменных шестерен, звездочек, шкивов), структурных сеток для многосвязных коробок передач и др. На практике почти всегда возникает не первая, а вторая (или прямая) задача - минимизация количества сменных элементов при заданных числах Nm и Nt. Вторая задача намного сложнее и может быть решена только после получения способа решения первой.

Постановка первой задачи может быть представлена следующим образом.

Пусть известно, что неубывающая последовательность действительных положительных чисел ()

(2.3)

содержит фиксированное число элементов q. Эта последовательность порождает другую последовательность , каждый элемент которой определяется с помощью оператора (2.4):

, (2.4)

где - члены оператора (2.4), в котором могут быть члены со знаком «+» и со знаком «-».

Расположим члены последовательности (2.4) в порядке возрастания (могут встречаться и равные друг другу члены):

, (2.5)

где Q - теоретическое число членов последовательности (2.5) может быть определено по формулам комбинаторики для каждого конкретного оператора (2.4).

Потребуем, чтобы выполнялось следующее условие:

. (2.6)

Задача заключается в нахождении таких значений членов последовательности (2.3), чтобы значение целевой функции было максимальным, т.е.

. (2.7)

Сформулируем более общую постановку первой задачи. Потребуем, чтобы неравенство (2.6) выполнялось не во всем диапазоне последовательности, а лишь на ее участке от элемента с номером t до элемента с номером m:

. (2.8)

Тогда целевая функция определится следующим выражением:

. (2.9)

В этом случае используется достаточно плотная часть одного участка, и допускаются пробелы на других участках последовательности . Числа m и t могут совпасть с числами Q и 1 соответственно.

Первая задача оптимизации поставлена давно и в настоящее время решается трудоемким методом «проб и ошибок». Решение задачи перебором всех возможных вариантов не под силу даже современным ЭВМ. Для решения задач подобного рода автором разработан метод, который можно назвать методом «перемещающихся стрелок». Суть метода заключается в следующем.

Из последовательности получим другую последовательность , где

(2.10)

(что означает отображение некоторой области в область n-мерного пространства).

Очевидно из легко обратно получить :

(2.11)

Назовем (а также, в силу (2.11) и ) оптимальными и , если в разность максимальна, где DQ - область значений .

Расположим члены последовательности (2.10) между элементами последовательности (2.11) и стрелками укажем, какие члены из (2.11) взяты для получения некоторого элемента Nk последовательности (2.5).

 (2.12)

Для получения различных элементов необходимо перемещение стрелок (что соответствует выбору различных ai из (2.3)). Согласно (2.4) положения двух стрелок не могут совпасть.

Рассмотрение передвижения стрелок с учетом (2.6) позволяет установить взаимосвязь между членами последовательности в области . Действительно, число в, через которое перескакивает стрелка, показывает, на сколько единиц изменилось при этом число (дополнительно введем понятия «грубые» и «точные» перемещения, соответствующие приближенным и точным зависимостям между числами в).

Доказаны следующие свойства последовательностей чисел (в дальнейшем выделяются группы, обозначаемые римскими цифрами I, II, III, IV и т.д., где значения чисел в имеют один порядок):

-если (в допустимой области), то среди членов последовательности имеется по крайней мере один, не превосходящий единицу. Здесь - вектор, компонентами которого являются числа «в» (назовем часть последовательности, где в1, группой I);

-если , то в последовательности все числа одной группы стоят рядом друг с другом (здесь «П» и «М» - количество плюсов и минусов в операторе (2.4));

-при достаточном большом q в последовательности имеется столько групп, сколько элементов в операторе (2.4) .

Доказаны также следующие топологические свойства допустимых областей аргумента , выделяемых неравенствами (2.6):

-если в операторе (2.4) имеется элемент с двумя знаками, то область компактна (обозначим ее ) и является невыпуклым звездным многогранником;

-если в операторе (2.4) нет элементов с двумя знаками, то область не компактна и является наклонным цилиндром с основанием, получаемым пересечением области с любым из подпространств

, (2.13)

причем область сечения наклонного цилиндра с подпространством (2.13) можно назвать областью .

Для определения максимума целевой функции U необходимо исследовать только выпуклые вершины многогранника или (где ребра образуют внутренние углы, меньшие 1800). Число ребер (одномерных граней), отходящих от выпуклых вершин допустимых областей аргумента , равно размерностям , либо , т.е. от каждой упомянутой вершины отходят «q» или «q-1» линейно независимых векторов.

Теперь поставленную ранее первую задачу можно решить следующим путем. Найти все выпуклые вершины области или из системы

(2.14)

и соответствующие им значения U= и выбрать из них наибольшее. Но при этом методе потребуется большое количество вычислений, если учесть, что вершины области придется искать для каждого значения q в отдельности, а каждая область содержит много вершин.

Можно найти более короткий путь решения задачи. Рассматривая передвижения стрелок, можно установить зависимости чисел в от количества чисел их в каждой группе Х и от q при определенном порядке групп (определяется порядком следования чисел в в общей числовой последовательности) в последовательности . Тогда найдется целевая функция (для конкретного случая с существующими значениями )

, (2.15)

которую можно исследовать на максимум. Вычислив максимальные значения U для различных порядков групп, выберем из них наибольшее. Это и будет решением поставленной задачи.

Кроме того, в большинстве случаев предварительным рассмотрением передвижения стрелок в можно определить наилучший порядок групп, что избавит от необходимости подробного исследования всех порядков групп.

Порядок решения первой задачи будет следующим:

а) определить Q - теоретическое число элементов последовательности по формулам комбинаторики;

б) определить наилучший порядок групп в при грубом передвижении стрелок. Если на этот вопрос невозможно ответить однозначно, то дальнейшие исследования вести для нескольких предварительно отобранных порядков;

в) вывести точные зависимости между числами в (точное перемещение стрелок);

г) вывести формулу (2.15);

д)исследовать целевую функцию U на максимум и определить оптимальные значения ;

е) рассчитать значения всех элементов оптимальной последовательности по точным формулам;

ж) если исследования велись для нескольких порядков в последовательности , то определить, при каких значениях q какой из порядков групп дает большее значение целевой функции U;

з) сравнить, намного ли отличаются величины Q-1 и U.

Решение поставленной задачи на этом заканчивается.

Заметим, что целевая функция U в уравнении (2.15) является функцией целочисленного аргумента.

Рассмотренная первая задача оказалась своеобразной задачей нелинейного программирования, где допустимая область аргумента представляет невыпуклый многогранник с множеством «шипов», а целевая функция линейна. В данной главе даны только пути решения первой задачи. Вид оператора (2.4) зависит от того, какой принят объект исследования (вид гитары сменных шестерен, шкивов, звездочек, количество использованных концевых мер и щупов для составления каждого размера, количества используемых гирь при каждом взвешивании и т.д.).

В третьей главе приведены результаты исследования механизмов со сменными элементами (шестернями, шкивами, звездочками) для наиболее часто употребляемых на практике схем.

Произведена классификация механизмов со сменными элементами (рис.2). По особенностям кинематического синтеза все множительные механизмы со сменными элементами разделены на три основные совокупности: с постоянными межосевыми расстояниями; с переменными межосевыми расстояниями; комбинированные.

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рисунок 2 - Классификация механизмов со сменными элементами

Рисунок 3 - Схемы механизмов со сменными элементами

На рис.3 показаны примеры механизмов со сменными элементами зубчатых и ременных передач (арабскими цифрами 1…4 обозначены валы, несущие элементы передач dj и Dj) (М - постоянная шестерня).

На основе проведенных исследований предложена методика построения структурных сеток для различных механизмов со сменными элементами.

Решена первая задача оптимизации для трехваловых механизмов с постоянными и равными межосевыми расстояниями без учета пределов частных передаточных отношений. Методом «перемещающихся стрелок» установлено, что оптимальная последовательность для порядка групп I - II имеет вид:

(3.1)

При порядке групп II - I оптимальная последовательность имеет вид:

(3.2)

Решена также первая задача оптимизации при допущении выпадения средней ступени для порядков групп I - II и II - I в последовательности .

Проведено сравнение двух порядков групп, причем установлено, что порядок групп I - II дает большее значение целевой функции (U=9) только при числе сменных пар шестерен q=3. Во всех остальных случаях предпочтителен порядок групп II - I, который дает и меньшие радиальные габариты.

Разработан метод нахождения оптимального комплекта сменных шестерен для трехвалового механизма с равными межосевыми расстояниями аw1=аw2=const с учетом пределов частных передаточных отношений.

Разработанным методом синтезированы оптимальные комплекты для цепей главного движения и для цепей подач станков при знаменателях геометрической прогрессии =1,06; 1,12; 1,26; 1,41. Большие значения знаменателей не рассматривались, так как они привели бы к неоправданно большой потере производительности станка. При составлении таблиц диапазоны регулирования доведены до своих максимально возможных значений.

Часто даже указанных диапазонов регулирования бывает недостаточно для обработки большого разнообразия деталей. В этих случаях конструкторы переходят на четырехваловый механизм с аw1= аw2= аw3=const. Иногда требуется реверсирование подачи. Собирая гитару как четырехваловую или как трехваловую, получают подачи в разные стороны. Поэтому решение первой задачи оптимизации для четырехваловых механизмов с постоянными и равными межосевыми расстояниями представляет не только теоретический, но и практический интерес. Оператор (2.4) для этих механизмов имеет вид

. (3.3)

Разработанным методом синтезированы оптимальные комплекты для этих механизмов при указанных выше значениях знаменателей с учетом пределов частных передаточных отношений. При этом диапазоны регулирования также доведены до своих максимально возможных значений: R=2343=512 - для цепей главного движения и R==2,838353=2828 - для цепей подач.

Решена первая задача оптимизации для механизма с двумя сменными элементами при переменном межосевом расстоянии. В этом случае два возможных порядка групп I - II и II - I в последовательности оказались равнозначными (с точки зрения получения максимума целевой функции U).

Решена также первая задача оптимизации для механизма с двумя сменными элементами с аw=Var при допущении выпадения средней ступени.

Решена первая задача оптимизации для механизма с тремя сменными элементами при переменных межосевых расстояниях. В этом случае оператор (2.4) имеет вид:

, (3.4)

где М - постоянная шестерня, которую невозможно заменить по каким-либо (например, конструктивным) соображениям.

В этом случае, согласно свойствам последовательности «в» имеем три группы чисел в последовательности . Возможны 3!=6 порядков групп. Рассмотрением «грубого» передвижения стрелок установлено, что при достаточно больших q оптимальным является порядок групп I - III - II.

Синтезированы оптимальные комплекты механизма с тремя сменными элементами без учета пределов частных передаточных отношений с использованием разработанного автором метода «половинного шага».

Решена первая задача оптимизации для механизма с четырьмя сменными элементами при переменных межосевых расстояниях. В этом случае в последовательности имеем четыре группы чисел. Тогда возможны 4!=24 порядка групп. Но в этом случае последовательность , записанная в обратном порядке, дает то же значение U. Рассмотрением указанных 12 порядков групп установлено, что при достаточно больших q оптимальным является порядок групп I - IV - III - II.

Решение задачи сводится к исследованию функции трех переменных на максимум. Разработанным методом синтезированы оптимальные комплекты для двухпарных гитар при аw=Var без учета пределов частных передаточных отношений.

После определения оптимальных комплектов сменных шестерен для различных механизмов появилась возможность сравнения этих механизмов по количеству шестерен, т.е. решить прямую задачу оптимизации. При этом затраты на заводе-изготовителе и заводах-потребителях выражены в условных шестернях qусл. Сравнение показывает, что при малых условных диапазонах регулирования выгодно применение двухвалового механизма с аw=Const, при средних диапазонах регулирования выгоден трехваловый механизм с аw1=аw2=Const, а при больших диапазонах регулирования (U>16) выгодны четырехваловые механизмы с постоянными межосевыми расстояниями (на рис. 4 граница оптимума выделена жирно). Применение механизмов с переменными межосевыми расстояниями во внешних кинематических цепях не оправдано. Зона над ломанной кривой - экономически нецелесообразные механизмы, под кривой - нереализуемые механизмы.

Рисунок 4. Номограмма выбора рациональных механизмов со сменными элементами (цепь главного движения, ц=1,26)

В четвертой главе исследованы коробки передач со связанными шестернями. Даны краткий обзор литературы по применению связанных шестерен и общая классификация механизмов со связанными шестернями. Дана общая методика построения равномерных и неравномерных структурных сеток.

На рис. 5 приведен механизм без связанных шестерен и механизмы с одной (рис. 5,б), двумя (рис.5, в) и тремя (рис.5, г) связанными шестернями (связанные шестерни заштрихованы). Видно, что классическая коробка передач на девять ступеней (рис.5, а) имеет наибольшее число шестерен и наибольшую строительную длину L= 14В.

Рисунок 5 - Механизмы на 9 ступеней

Автором разработана общая методика построения равномерных и неравномерных структурных сеток. Построением сеток или аналитически можно доказать, что неравномерные сетки получаются только в случае, когда кинематические порядки подгрупп в какой-либо группе (или в нескольких группах) одновременно отличаются больше, чем на единицу (например, рис. 5, в, г; рис. 6, а, б).

Рисунок 6 - Некоторые структурные сетки для механизма Z = 44=16

Рисунок 7 - Дополнительные структурные сетки для механизма

Если числа передач Р в какой-либо группе или в нескольких группах одновременно раскладываются на сомножители, то возможны неравномерные структурные сетки.

Нами показано, что неравномерные структурные сетки обладают рядом преимуществ по сравнению с равномерными:

-преимущество А - позволяет более равномерно распределить общий диапазон регулирования между отдельными группами передач, тем самым можно значительно уменьшить радиальные габариты обычных механизмов без связанных шестерен;

-преимущество Б - делает возможными механизмы, невозможные при равномерных структурных сетках по значениям пределов частных передаточных отношений (где частные передаточные отношения выходят за допустимые пределы);

-преимущество В - значительно сокращает радиальные габариты двухсвязных механизмов;

-преимущество Г - позволяет получать чистый геометрический ряд частот вращения при трех связанных шестернях, что отрицается сегодня в известных источниках.

Для обоснования утверждения о том, что мы выбрали наилучший вариант структурной сетки, нужно знать общее число структурных сеток, тем более, что, как нами установлено, их не так много. Нами доказано, что перестановка соседних кинематических порядков подгрупп с различными количествами передач внутри одной группы не дает нового варианта структурной сетки. Доказано также, что перестановка любых кинематических порядков одинаковых подгрупп внутри одной группы тоже не дает нового варианта сетки. Поэтому, если кинематические порядки этих подгрупп являются соседними, то их следует писать в определенном порядке, например в порядке возрастания.

Предложено задачу определения количества кинематических вариантов решать поэтапно.

На первом этапе, который является первым уровнем сложности, предположим, что числа передач Р в группах не раскладываются на сомножители. В этом случае имеем равномерные структурные сетки.

На втором этапе (второй уровень сложности) предположим, что числа передач Р в группах или простые числа или они раскладываются на одинаковые сомножители. В этом случае можно воспользоваться формулой (4.1) Якова Бернулли, переписав ее в новых обозначениях:

(4.1)

где: q - количество всех подгрупп (простых сомножителей числа ступеней Z);

К11, К12 и т.д. - количества одинаковых подгрупп в группах.

На третьем этапе (третий уровень сложности) предположим, что числа передач Р в группах или простые числа или они раскладываются на два разных сомножителя. Если кинематические порядки двух разных подгрупп оказались соседними, то их надо писать только в определенном порядке. Это ограничение резко усложняет задачу нахождения допустимого числа перестановок. В известной литературе по исследованиям приводов станков и по комбинаторике автор не нашел решения данной задачи.

В комбинаторике существуют два основных метода вывода формул для новых задач: метод исключений и включений; метод производящей функции.

Автор решил задачу третьего уровня сложности первым методом и получил формулу:

, (4.2)

где: n - число групп, в которых числа «Р» раскладываются на два разных сомножителя;

- число сочетаний из «n» по «i».

При выводе формулы (4.2) получена следующая промежуточная формула, которая позволяет решать большое количество разных комбинаторных задач:

(4.3)

На четвертом уровне сложности предположим, что числа передач Р в группах или представляют простые числа, или раскладываются на два разных сомножителя, или раскладываются на одинаковые сомножители. Переход от третьего уровня сложности к четвертому уровню очень прост. Для этого в формуле (4.2), полученной на третьем уровне сложности, достаточно приписать знаменатель из формулы (4.1). Тогда получим (4.4):

. (4.4)

Более общую формулу, чем формула (4.4), для случая, когда числа передач в группах раскладываются на сколько угодно разных сомножителей, получить не удается. Вполне возможно, что и не существует более общей формулы и задачу в этих случаях придется решать только численными методами на ЭВМ. С другой стороны, формула (4.4) пригодна для определения количества кинематических вариантов структурных сеток, когда числа передач Р в группах равны одному из чисел ряда: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 19 и т.д.(ряд не содержит чисел 12 и 18, так как они раскладываются на три сомножителя, среди которых есть разные). Формулу (4.4) можно считать вполне пригодной для коробок передач, так как в них не применяется Р > 11. Формула (4.1) является частным случаем полученной формулы (4.4), когда n равно нулю.

Выведена также формула для определения количества вариантов связывания (вариант связывания показывает, какие конкретно передачи взяты в качестве связанных).

Исследованы широко применяемые на практике механизмы с одной связанной шестерней. Разработаны методики построения равнопрочных односвязных коробок скоростей и подач. Оказалось, что равнопрочные односвязные коробки передач имеют наименьшие радиальные габариты.

Разработана общая теория оптимального синтеза двухсвязных коробок передач. Даются рекомендации по выбору оптимального варианта связывания, минимизированы радиальные габариты. При этой минимизации за целевую функцию принята сумма Sz = Sz` + Sz``, где Sz`, Sz`` - суммарные числа зубьев первой и второй групп передач соответственно. Заметим, что осевые габариты коробки передач при применении двух связанных шестерен сокращаются на ширину четырех шестерен по сравнению с классическими коробками. Предложены новые (для двухсвязных коробок передач) структурные сетки: неравномерные сетки, сетки с совпадениями ступеней, сетки с ломаным геометрическим рядом частот вращения. Эти сетки позволяют значительно сократить радиальные габариты коробки передач.

Дана методика построения двухсвязных коробок передач с учетом пределов частных передаточных отношений и определены правила выбора оптимальных вариантов связывания для двухсвязных коробок скоростей быстроходных станков.

Разработана теория синтеза коробок передач с тремя и более связанными шестернями. Оказалось, что построение таких коробок возможно только в случае наложения ограничений на структурную сетку, в частности:

. , (4.5)

где: - знаменатель геометрической прогрессии ряда частот вращения; m1, m2,..., mh-1 - числа клеток между концами низшего и данного связанного лучей на структурной сетке (для первой группы передач); n1, n2,..., nh-1 - то же для высшего и данного лучей второй группы передач; h - число связанных шестерен.

Исследование различных вариантов связывания показывает, что механизм Z=3 3 = 9 с тремя связанными шестернями построить нельзя, на что указывается в некоторых работах Н.С. Ачеркана. Но оказалось, что некоторые варианты связывания механизмов на Z=12 и Z=16 ступеней могут дать «чистый» геометрический ряд частот вращения при некоторых (нестандартных) знаменателях , найденных из формулы (4.5). Механизмы с четырьмя и более связанными шестернями не могут дать «чистый» геометрический ряд, так как отсутствует общее решение уравнения (4.5) относительно «».

Из формулы (4.5) видно, что при mi=ni (i=1, 2, h-1) система имеет бесконечно большое число решений относительно «». Исходя из этого, предложены новые многосвязные механизмы: с равными межосевыми расстояниями, с цилиндроконическими передачами и двойные механизмы Нортона. Задача построения оптимальных структурных сеток для этих механизмов свелась к одной из первых задач оптимизации комплектов сменных элементов. Оказалось, что, при неограниченном числе связанных шестерен, возможно получение геометрического ряда частот вращения без выпадений ступеней (совпадения неизбежны).

Разработаны методики синтеза предложенных многосвязных механизмов. Механизмы с равными межосевыми расстояниями имеют малые радиальные габариты (даже по сравнению с классическими коробками).

Механизмы с цилиндроконическими передачами (рис. 8) имеют весьма малое число шестерен по сравнению с классическими.

Двойные механизмы Нортона (рис. 9), где вместо одной накидной шестерни применены две, имеют малое число шестерен и наименьшие осевые габариты. Кроме того, двойные механизмы Нортона имеют наименьшие осевые габариты.

Приведены результаты синтеза механизмов со связанными шестернями на узловом валу. Дана классификация этих механизмов в структуре общей классификации механизмов со связанными шестернями. Решена задача минимизации радиальных габаритов механизма при применении двух и более связанных шестерен на узловом валу.

Рисунок 8 - Механизм с цилиндроконическими передачами

В известной литературе не найдены методы синтеза механизмов со связанными шестернями на узловом валу, хотя на практике их используют достаточно часто. Механизмы с одной связанной шестерней на узловом валу встречаются почти в каждом станке, а в токарно-револьверном станке модели 1П365 применен механизм с тремя связанными шестернями на узловом валу. Кинематический и прочностной расчеты механизмов со связанными шестернями на узловом валу имеют определенные отличия от расчета обычных механизмов со связанными шестернями. Основные отличия:

-используются специальные формулы для кинематического синтеза;

-связанная шестерня на промежуточном валу получает движение от предыдущего вала одной боковой поверхностью зуба и передает движение на следующий вал другой боковой поверхностью, а связанная шестерня на узловом валу работает всегда одной боковой поверхностью зуба и является более нагруженной;

-зубья связанных шестерен на промежуточных валах работают на изгиб по симметричному циклу, а на узловых валах - по «отнулевому» (пульсирующему) циклу.

Рисунок 9 - Двойной механизм Нортона

В пятой главе приведены основы методологии синтеза еще одного класса многосвязных зубчатых механизмов механизмов для сверхмедленных перемещений, применяемых, в частности, в машинах для коррозионно-механических испытаний. В некоторых работах В.Н. Кудрявцева имеются сведения о том, что механизмы с замкнутым дифференциалом на базе планетарных передач РЗДПП могут дать сверхмедленные перемещения. Но в его работах и работах других авторов отсутствует теория структурно-кинематического синтеза РЗДПП. За целевую функцию в данной задаче принято передаточное отношение. Эта задача решена с помощью аналитических зависимостей (названных «версиями») следующего вида (на примере редукторов с замкнутым дифференциалом (РЗД) схемы «В» класса II):

(5.1)

где: ; а, с - целые числа.

Предлагается аналитический метод подбора чисел зубьев РЗД, суть которого заключается в нахождении математических зависимостей (версий) между числами зубьев, обеспечивающими максимальные значения передаточных отношений («сильные» версии). Метод допускает подбор версий, обеспечивающих требуемое значение передаточного отношения, причем первым этапом реализации метода является нахождение выборки сочетаний пар чисел зубьев, обеспечивающих получение различных версий (с помощью ЭВМ), а вторым - определение значений чисел зубьев РЗД и определение его передаточного отношения.

Для упомянутого РЗД передаточное отношение вычисляется по формуле:

(5.2)

Версии позволяют целенаправленно искать механизм с максимальным передаточным отношением (отбрасывается огромное количество ненужных вариантов, а из оставшегося количества вариантов ЭВМ подбирает оптимальный).

Предложен новый класс РЗДВГ редукторов с замкнутым дифференциалом на базе передачи винт-гайка. Математическая постановка задачи для РЗДВГ такая же, что и для РЗДПП.

В шестой главе освещено практическое применение разработанных методов, алгоритмов, структурных схем при создании рассматриваемых групп передаточных механизмов.

Использование возможностей механизмов со сменными шестернями часто дает существенный экономический эффект. Например, в станке 1261П для получения Z=39 ступеней подач применён двухваловый механизм с постоянным межосевым расстоянием и для получения 39 ступеней подач потребовалось 42 шестерни (q=21). Условное число шестерен в существующем комплекте (приведенные затраты на заводе-изготовителе и заводах-потребителях) равно

(6.1)

При использовании трехвалового механизма с постоянными межосевыми расстояниями оптимальным будет комплект из q=7 пар шестерен, где последовательность имеет вид:

. (6.2)

Значение целевой функции данного комплекта:

клеток. (6.3)

Тогда кажущееся число ступеней

(6.4)

Фактическое число ступеней гораздо больше.

Условное число шестерен для предлагаемого комплекта:

(6.5)

Таким образом, за счет правильного выбора схемы механизма и оптимизации комплекта затраты можно сократить с 43 до 20 условных шестерен. Дополнительно получаем более тонкое регулирование, а, следовательно, большую производительность станка.

На Киевском заводе многошпиндельных автоматов выпускались токарные автоматы 1А240, 1265М и 1А290 легкой, средней и тяжелой гамм с различными количествами шпинделей. В указанных станках для регулирования частот вращения шпинделей и для цепей подач применены трехваловые механизмы с постоянными межосевыми расстояниями, что является наиболее удачным решением. Тем не менее, расчеты автора показали значительные возможности сокращения количества сменных шестерен: в станке 1А240 - на 6 шестерен, в станке 1265М - на 4 шестерни, в станке 1А290 - на 2 шестерни. Одновременно с уменьшением количества шестерен новые комплекты позволили увеличить количество ступеней скоростей и подач: в цепи главного движения станка 1А240 число ступеней скоростей увеличилось с 17 до 18, в станке 1265М - с 12 до 13, в станке 1А290 - с 5 до 9; в цепи подач станка 1А290 число ступеней увеличилось с 16 до 24, в станках 1265М - с 10 до 20. С учетом специальных заказов сокращение количества шестерен составляет: в станке 1А240 - 16 шестерен, в станке 1265М - 13 шестерен, в станке 1А290 - 8 шестерен.

При переходе на новые комплекты сменных шестерен конструктивные изменения в станках не потребовались (потребовались лишь небольшие затраты на изменение таблиц настройки станков). Поэтому предложенные комплекты были приняты заводом для внедрения.

Были также найдены оптимальные комплекты сменных шестерен для одношпиндельных токарных автоматов моделей 1А225-В и МР505А. Расчеты показали следующие возможности сокращения количества сменных шестерен: в станках мод. 1А225-В - с 15 до 12; в станках мод. МР505А - с 14 до 12.

Указанные сокращения возможны без изменения количества получаемых ступеней скоростей и подач, а также без конструктивных изменений. Поэтому указанные комплекты были приняты для внедрения Московским станкостроительным заводом им. Серго Орджоникидзе.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В итоге выполненных исследований получены следующие основные результаты.

1. Предложена классификация зубчатых механизмов со сменными элементами. Выделены три основных группы механизмов, отличающиеся способом достижения требуемого передаточного отношения. К первой группе отнесены зубчатые механизмы со сменными элементами, ко второй - механизмы со связанными шестернями, к третьей - механизмы для сверхмедленных перемещений.. Показано, в частности, что для известных механизмов со сменными элементами комплекты указанных элементов далеки от оптимальных.

2. Предложена общая классификация коробок передач со связанными шестернями и классификация механизмов со связанными шестернями на узловом валу, включающая девять отличных друг от друга вариантов механизмов, причем кинематический и прочностной расчеты механизмов со связанными шестернями на узловом валу, по сравнению с обычными механизмами со связанными шестернями, имеют принципиальные отличия, поскольку требуют специфичных зависимостей для кинематического синтеза и имеют особый характер нагружения зубьев связанных шестерен.

...