Прямозубые цилиндрические зубчатые передачи

С и D - уменьшенный зазор;

В - нормальный зазор;

А - увеличенный зазор.

При работе передач любого вида сопряжения в результате погрешностей изготовления, в частности, из-за неточности шага зубьев, может быть нарушено чередование однопарного и двухпарного зацепления, а именно, двухпарное зацепление может отсутствовать. То есть, в то время, когда в зацеплении должны теоретически находиться две пары зубьев, в контакте будет только одна пара, а между второй парой зубьев будет зазор из-за неточности шага.

Если передача выполнена достаточно точной, то при работе передачи под нагрузкой, в результате деформаций зубьев, этот зазор может быть выбран и в контакте окажутся две пары зубьев. Такие передачи называются «передачи точные под нагрузкой» [1] - в них погрешность изготовления меньше, чем деформация зубьев под нагрузкой. Используются в самолетостроении, где высока точность расчетов и изготовления, а запас прочности невелик, что объясняется стремлением максимально облегчить конструкцию. На рис. 2.2 показано состояние зубьев такой передачи при увеличении нагрузки: напряжения, деформации и изменение зазора.

Технический ресурс.

Как известно из §1.1, технический ресурс - это период времени, в течение которого узел (механизм) сохраняет работоспособность, то есть это - срок службы узла (механизма). Ресурс зубчатой передачи зависит, в частности, от области ее использования. Так, для зубчатых механизмов общего машиностроения (редукторы и коробки передач транспортных машин, коробки скоростей технологических машин) ресурс составляет около 30 тыс. часов. Срок службы авиационных редукторов на порядок меньше - (3000 ч 4000) час. Срок службы связан с суммарным числом циклов напряжений зуба:

где: t_У - ресурс в часах;

n - частота вращения колеса в об/мин;

С - число зацеплений зуба за один оборот (обычно в редукторах с

неподвижными осями колес С = 1, в планетарных редукторах

это число равно количеству сателлитов, то есть, С = k).

А б

В г

Рис. 2.2

Из проектного расчета на прочность будут определены главные параметры передачи: материалы зубчатых колес, межосевое расстояние а_W, ширина зубчатых колес b и модуль зубьев m. По модулю и числам зубьев зубчатых колес передачи могут быть рассчитаны их геометрические параметры - диаметры делительных окружностей d, диаметры вершин d_a и впадин d_f.

2. Материалы и термообработка зубчатых колес

Зубчатые колеса силовых передач машин изготавливаются из конструкционной стали. Поверхности зубьев этих зубчатых колес должны обладать определенной твердостью. По этому признаку колеса делятся на две группы: с твердостью поверхностей зубьев НВ350 и с твердостью поверхностей зубьев НВ350. Колеса с НВ350 изготавливаются из нормализованной или улучшенной стали. Колеса с НВ350 после предварительной обработки зубьев (зубофрезерование, зубодолбление) подвергаются термообработке - это или объемная закалка или поверхностная закалка зубьев (в том числе и с предварительной цементацией). После термообработки производится окончательная (отделочная) обработка зубьев путем шлифования, шевингования и пр.

Заметим, что меньшее колесо передачи - шестерня, делается более твердым, чем большее колесо передачи, так как зуб шестерни за срок службы испытывает большее число контактов при зацеплении, чем зуб колеса. Разная твердость зубьев шестерни и колеса в передаче необходима также для лучшей приработки.

Приведем некоторые марки сталей, из которых изготавливаются зубчатые колеса, и необходимую термообработку.

Если зубчатые колеса изготовлены из сталей 45, 40Х, 40ХН, то они подвергаются объемной закалке или поверхностной закалке зубьев в специальных индукторах до твердости НRC 45ч55.

Если материалом зубчатых колес являются стали 15, 20, 12ХН3А (малоуглеродистые стали), то поверхности зубьев сначала подвергаются цементации (науглераживанию) до (0,8ч0,9)% содержания углерода, а затем закалке до твердости НRС 58ч63.

Для зубчатых колес авиационных редукторов используются легированные стали 12Х2Н4А, 38ХМЮА, 40ХНМА и аналогичные.

3. Виды напряжений в зубе при работе передачи

Из курса «Теория механизмов и машин» известно, что контакт зубьев сопряженных зубчатых колес происходит в полюсе зацепления, то есть, теоретически - это высшая кинематическая пара: точка или линия, если учесть ширину зубчатых колес. На рис. 2.3 показана картина контакта зубьев при наличии крутящих моментов Т₁ на нижнем колесе и Т₂ - на верхнем.

Сила взаимодействия звеньев, сопряженных в высшей кинематической паре располагается вдоль общей нормали к профилям этих звеньев, то есть, в данном случае - вдоль нормали к эвольвентным профилям контактирующих зубьев. Эта сила называется нормальной -

Рис. 2.3

F_n на рис. 2.3. В результате действия этой силы и при наличии относительного скольжения профилей зубьев при работе передачи возникает сила трения F_тр. Эта сила учитывается при помощи коэффициента полезного действия в расчете силовых моментов, приложенных к зубчатым колесам.

Рассмотрим действие силы F_n на зуб нижнего колеса на рис. 2.3. Во-первых, эта сила вызывает упругое контактное сжатие зубьев, в результате чего вместо контактной точки (или линии) возникает площадка контакта, на которой поверхности зубьев испытывают контактные напряжения у_H. Во-вторых, нормальная сила изгибает зуб и в его основании возникают напряжения изгиба у_F. Возможные эпюры этих напряжений показаны на рис. 2.3. Заметим, что индекс Н при контактном напряжении происходит от фамилии основоположника теории контактных напряжений - немецкого ученого Herz. Индекс F при изгибающем напряжении связан с обозначением изгибающей силы. Эти индексы - H и F - присваиваются всем необходимым параметрам расчета на контактную и изгибную прочность, в частности - эмпирическим коэффициентам, уточняющим расчеты.

Нагрузка действует на зуб не постоянно, а периодически (или циклически). В передачах с неподвижными осями колес зуб нагружается один раз за один оборот колеса, а в планетарных передачах количество нагружений зубьев центральных колес за один оборот соответствует числу сателлитов. Такая нагрузка вызывает, так называемый, отнулевой цикл напряжений (контактных и изгибных). На рис. 2.4 показан возможный график этих напряжений. Понятно, что t₁ - время цикла, а t₂ -время действия нагрузки на зуб. Время t₂ соответствует времени зацепления одной пары зубьев и зависит от частот вращения и геометрических параметров передачи.

Рис. 2.4

4. Критерии работоспособности и расчета

Переменные напряжения в зубьях передач являются причиной их усталостного разрушения. Различают два вида этих разрушений: повреждение поверхности зубьев и поломка зубьев. У работоспособной передачи должны быть не только целы все зубья, но и поверхности этих зубьев не должны иметь повреждений. Таким образом, критериями работоспособности и прочностного расчета зубчатой передачи являются повреждение поверхности зубьев и поломка зубьев. Рассмотрим эти критерии подробнее.

Повреждение поверхности зуба возникает в результате действия контактных напряжений и трения. Различают три вида поверхностного износа зубьев: усталостное выкрашивание, абразивный износ и заедание.

Усталостное выкрашивание возникает на зубьях закрытых, хорошо смазываемых передач при работе вне пределов технического ресурса или при нарушении режима работы передачи (перегрузка, перегрев, превышение допустимой скорости). В этом случае появляются явления усталости в поверхностных слоях зуба: на поверхности возникают небольшие углубления (оспинки), которые растут и превращаются в раковины (рис. 2.5а). Это происходит обычно вблизи полюсной линии зуба, когда вся нагрузка передается одной парой зубьев (однопарное зацепление). Масло, разделяющее сопряженные зубья, запрессовывается в микротрещины и способствует выкрашиванию частиц металла (рис. 2.6.). При дальнейшей работе такой передачи нарушаются условия образования сплошной масляной пленки, возникает непосредственный контакт поверхностей зубьев с последующим быстрым износом и задиром поверхностей.

Рис. 2.5

Для увеличения стойкости поверхностей зубьев на усталостное выкрашивание следует повышать твердость материала путем термообработки, а также повышать степень точности изготовления зубчатых колес.

Рис. 2.6

Абразивный износ является главной причиной выхода из строя, в основном, открытых передач при плохой смазке. Прочность изношенного зуба снижается из-за уменьшения площади его поперечного сечения (рис. 2.5б). Для уменьшения износа надо повышать твердость поверхности зубьев, защищать передачу от загрязнения и использовать специальные масла.

Заедание может происходить в высоконагруженных и высокоскоростных передачах при их перегреве. Свойства масла изменяются, в месте контакта зубьев масляная пленка разрывается и наступает непосредственный контакт поверхностей зубьев. В результате большой контактной нагрузки и трения происходит микросваривание частиц металла с последующим их отрывом от поверхности зуба. Образовавшиеся наросты задирают рабочие поверхности зубьев в направлении скольжения (рис. 2.5в). Для предупреждения заедания следует повышать твердость поверхности зубьев, охлаждать передачу во избежание перегрева и использовать специальные противозадирные масла.

Поломка зубьев связана с напряжениями изгиба. Обычно зубья ломаются с краев. Различают два вида поломки: поломка от больших перегрузок и усталостная поломка. Поломка от больших перегрузок в основном происходит от непредусмотренных ударных нагрузок на передачу и предупреждается установкой специальных предохранительных устройств. Усталостная поломка происходит от действия переменных напряжений в течение времени, превышающего технический ресурс. Общие меры для предупреждения поломки - увеличение модуля, использование положительных колес, уменьшение концентрации нагрузки по краям зубьев (жесткие валы, зубья со срезанными углами, бочкообразные зубья).

Из всех перечисленных видов разрушения зубьев наиболее изучено поверхностное выкрашивание, как следствие контактных нагрузок. Соответственно, в современной методике расчета из двух напряжений у_Н и у_F за основные в большинстве случаев приняты контактные напряжения, так как в пределах заданных габаритов колес у_Н остаются постоянными, а у_F можно уменьшить путем увеличения модуля.

5. Основы расчета зубьев на контактную прочность

Контактные напряжения образуются в месте соприкосновения двух тел, когда размеры площадки касания малы по сравнению с размерами тел. Теоретически в контакте зубьев имеет место высшая кинематическая пара, то есть контакт, учитывая ширину колес, происходит по линии. Однако вследствие упругости материала звеньев, в месте контакта происходит упругое сжатие поверхностей зубьев и образуется площадка контакта, нагруженная контактными напряжениями. Теория контактных напряжений подробно рассматривается в курсе «Теория упругости». Здесь приведем лишь краткие сведения о теории контактных напряжений.

Как было сказано в §2.3, основоположником теории контактных напряжений является немецкий ученый Герц. Рассмотрим его теорию на примере сжатия двух тел, имеющих цилиндрические закругления; контакт тел происходит по этим цилиндрическим поверхностям, оси которых параллельны (рис. 2.7). Теоретически контакт этих тел происходит в высшей кинематической паре, то есть по линии. Однако после приложения удельной нагрузки q, в результате упругой деформации контактирующих поверхностей, контакт тел происходит по узкой площадке. Значения максимальных контактных напряжений у_Н находятся на продольной оси симметрии контактной площадки. Значение этих напряжений вычисляется по формуле:

(2.1)

где: Е₁ и Е₂ - модули продольной упругости (модули Юнга) контактирующих тел;

м₁ и м₂ - коэффициент Пуассона (отношение поперечной деформации к продольной);

r₁ и r₂ - радиусы контактирующих цилиндров.

Для упрощения формулы (2.1) введем обозначения приведенного модуля упругости Е_пр и приведенного радиуса кривизны контактирующих поверхностей с_пр:

(2.2)

(2.3)

Рис. 2.7

Кроме того, приблизим формулу (2.1) к расчету стальных зубчатых колес, так как в §2.2 сказано, что в силовых передачах общего машиностроения, а также в самолетостроении, используются только стальные зубчатые колеса. Модуль упругости для стали Е_пр = Е₁ = Е₂ = 2,1·10⁵ Н/мм² (МПа). Коэффициент Пуассона для стали м₁ = м₂ = 0,3. Подставляя эти значения и формулу (2.3) в выражение (2.1) после извлечения числовых значений из-под корня, получим:

(2.4)

Эта формула справедлива для любых цилиндров с постоянными или переменными радиусами кривизны, в том числе для цилиндров с образующими в виде эвольвент, то есть, для поверхностей зубьев. В этом случае, r₁ и r₂ - радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке контакта. Знак минус в формуле (2.3) относится к случаю внутреннего контакта, когда поверхность одного из цилиндров вогнутая (внутреннее зацепление).

6. Основы расчета зубьев по напряжениям изгиба

Зуб под нагрузкой имеет сложное напряженное состояние. Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Для упрощения расчетов и выделения главных параметров, влияющих на прочность зуба, введем следующие допущения.

1. Вся нагрузка в зацеплении передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Практически это может быть из-за погрешности шага зубьев, в результате которого возникает однопарное зацепление у вершины зуба (рис. 2.8).

2. Будем рассматривать зуб как консольную балку переменного сечения и использовать для него методы сопротивления материалов. Фактически же зуб подобен выступу с соизмеримыми длиной и шириной и должен рассчитываться методами теории упругости.

Согласно теории зацепления сила, приложенная в данном случае к вершине зуба будет нормальной силой F_n, которая располагается по общей нормали к эвольвентам двух контактирующих зубьев и по общей касательной к основным окружностям сопряженных колес (рис. 2.8). Чтобы связать величину этой силы с геометрическими параметрами колеса и приложенным к нему крутящим моментом, перенесем ее по линии действия таким образом, чтобы точка ее приложения находилась на линии центров в точке касания делительных окружностей. Теперь разложим эту силу на две составляющие: окружную F_t и радиальную F_r.

Рис. 2.8

Тогда справедливы следующие выражения.

(2.5)

(2.6)

где б_w - угол зацепления.

Теперь перенесем эту силу на ось симметрии зуба, на который она действует (рис. 2.8) и разложим ее на две составляющие: тангенциальную F_t' перпендикулярную оси симметрии зуба и радиальную F_r', направленную к центру колеса:

(2.7)

(2.8)

где б' - угол, определяющий направление нормальной силы F_n к оси симметрии зуба (рис. 2.8).

Сила F_t, действуя на зуб (рис. 2.9.), вызывает в его основании появление изгибающих напряжений у_ИЗ, а сила F_r - напряжений сжатия у_СЖ.

Рис. 2.9

Суммируя эпюры напряжений изгиба и сжатия, получим результирующую эпюру напряжения у_F, действующего в опасном сечении, то есть, в основании зуба (рис. 2.9). За расчетную принимают величину напряжения на растянутой стороне зуба (правой на рис. 2.9), так как именно здесь возникают трещины усталостного напряжения (для стали растяжение опаснее сжатия):

(2.9)

где: W - момент сопротивления сечения основания зуба;

А - площадь сечения основания зуба.

(2.10)

(2.11)

В формулах (2.9), (2.10) и (2.11) обозначения l, b_w и s понятны из рис. 2.9, причем b_w - это ширина зацепления зубчатых колес; как правило, это ширина более узкого колеса.

7. Расчетная нагрузка и уточняющие коэффициенты

В формулы расчета на прочность деталей машин, в том числе и зубчатых передач, наряду с теоретическими значениями, полученными из соотношений геометрических, кинематических и динамических параметров передачи, вводятся расчетно-эмпирические коэффициенты, то есть, коэффициенты, полученные расчетным и опытным путем при испытаниях передач в различных режимах работы. Эти коэффициенты уточняют расчет и приближают его к реальным условиям функционирования передачи.

За расчетную нагрузку в зубчатой передаче принимают максимальное значение удельной нагрузки, распределенной по линии контакта зубьев:

(2.12)

где К = К_вК_v - коэффициент расчетной нагрузки; K_в - коэффициент концентрации нагрузки по длине зуба; К_v - коэффициент динамической нагрузки.

При расчете на контактную прочность эти коэффициенты имеют дополнительный индекс Н - К_Н, К_Нв и К_Нv, а при расчете на изгиб - дополнительный индекс F: К_F, К_Fв и К_Fv. Рассмотрим эти коэффициенты подробнее.

Коэффициент концентрации нагрузки по длине зуба К_в. Концентрация нагрузки в данном случае связана с неравномерностью ее распределения по длине зуба и зависит от погрешностей изготовления и монтажа передачи, а также от упругих деформаций валов, корпусов, опор и самих зубчатых колес. Покажем, как это зависит от прогиба валов.

На рис. 2.10а показана цилиндрическая прямозубая зубчатая передача, нагруженная крутящими моментами. При этом валы передачи деформируются, они прогибаются в противоположные стороны под действием сил в зацеплении. Взаимное расположение сопряженных зубчатых колес зависит от места, которое занимают эти зубчатые колеса относительно опор вала.

При симметричном положении колеса относительно опор (рис. 1.10б) прогиб валов не вызывает перекоса зубчатых колес и, следовательно, почти не нарушает распределения нагрузки по длине зуба. Это самый благоприятный случай. При несимметричном (рис. 2.10в) или консольном (рис. 2.10г) расположении колес относительно опор вала зубчатые колеса перекашиваются на угол г, что приводит к нарушению правильного касания зубьев.

Рис. 2.10

Если считать зубья абсолютно жесткими, то в этом случае они будут соприкасаться только своими концами (рис.2.10д). Деформация зубьев уменьшает влияние перекосов и в большинстве случаев сохраняет их соприкасание по всей длине (рис. 2.10е). Однако при этом нагрузка перераспределяется по длине зубьев в соответствии с деформацией их отдельных участков (рис. 2.10ж). Отношение

где q_ср - средняя интенсивность нагрузки.

При прочих равных условиях влияние перекоса зубьев на величину коэффициента концентрации нагрузки растет с увеличением ширины колеса b_w, поэтому ее ограничивают.

Концентрация нагрузки увеличивает контактные напряжения и напряжения изгиба. Для уменьшения влияния концентрации нагрузки обычно принимают следующие меры.

1. Используют колеса из прирабатывающихся материалов (например, стали с твердостью НВ < 350), если это допустимо с точки зрения прочности и долговечности.

2. Для уменьшения опасности выламывания углов зубьев используют колеса со срезанными углами, то есть выполняют фаски.

3. При высокой твердости поверхностей зубьев и высоких скоростях применяют относительно неширокие колеса и выполняют зубья таким образом, чтобы они по длине имели бочкообразную форму.

4. Валы, опоры и корпуса передач должны иметь максимально жесткую конструкцию.

В зависимости от конструкции передачи и твердости поверхностей зубьев значения коэффициента К_в находятся в пределах от 1 до 1,9. При постоянной нагрузке, НВ < 350 и v < 15 м/с можно принимать К_в = 1.

Коэффициент динамической нагрузки К_v. Дополнительные динамические нагрузки при работе передачи связаны с погрешностями изготовления зубчатых колес, а именно, с погрешностью шага зубьев, что является причиной непостоянства мгновенных значений передаточных чисел. Это значит, что при щ₁ = const, щ₂ ? const и dщ₂/dt ? 0. В зацеплении появляется дополнительный динамический момент

где I - момент инерции ведомых масс.

Неточность шага вызывает также появление кромочных ударов при входе зубьев в контакт, так как геометрия зацепления нарушается.

Значения дополнительных динамических нагрузок зависит от величины ошибки шага, окружной скорости, величин присоединенных масс, упругости звеньев и пр.

Коэффициент К_v определяют по формуле

где: q_v - удельная динамическая нагрузка;

q - удельная расчетная рабочая нагрузка.

В зависимости от степени точности передачи и твердости поверхностей зубьев коэффициент К_v может принимать значения от 1,01 до 1,5.

8. Проектный расчет на прочность

В результате проектного расчета цилиндрической передачи должны быть определены ее главные геометрические параметры: межосевое расстояние, ширина колес и модуль зубьев.

Определение межосевого расстояния.

Главный габаритный размер передачи - межосевое расстояние - определяется из расчета по контактным напряжениям.

Исследования работы зубчатых передач показали, что наименьшим сопротивлением контактной усталости обладает околополюсная зона рабочей поверхности зубьев, где имеет место однопарное зацепление. Поэтому расчет контактных напряжений производится при контакте зубьев в полюсе зацепления (рис. 2.11).

Контакт зубьев можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами с₁ и с₂, равными радиусам кривизны эвольвент в точке контакта зубьев в полюсе. При этом контактные напряжения определяются по формуле (2.4), приведенной в §2.5:

где: q - распределенная нагрузка по длине зуба;

с_пр - приведенный радиус кривизны контактирующих цилиндров.

Выразим q и с_пр через параметры передачи. Согласно формуле (2.12) из §2.7, распределенная (или удельная) нагрузка q зависит от нормальной силы F_n, коэффициента расчетной нагрузки К_H и ширины зацепления b_w, то есть,

Нормальная сила F_n зависит от тангенциальной силы F_t и от угла зацепления б_w (см. формулу (2.6)). Можно приближенно считать, что угол зацепления равен профильному углу б, то есть при расчете по контактным напряжениям можно считать, что любая передача является нулевой. Тогда

(2.13)

Тангенциальная сила F_t зависит от силового момента Т, приложенного к колесу и начального диаметра d_w этого колеса (см. формулу (2.5)). Определим эту силу из момента Т₁, приложенного к первому колесу, приближенно считая, что его начальный диаметр равен делительному d₁. Тогда

(2.14)

Подставим (2.13) и (2.14) в формулу распределенной нагрузки и получим:

(2.15)

Рис. 2.11

Обратную величину приведенного радиуса кривизны контактирующих цилиндров (или приведенного радиуса кривизны эвольвент в точке контакта) найдем по формуле (2.3) с учетом рис. 2.11:

Напомним, что знак минус в этой формуле относится к случаю внутреннего контакта, когда поверхность одного из цилиндров вогнутая (внутреннее зацепление). Введя передаточное число

(2.16)

и вынеся общий множитель за скобки получим:

(2.17)

Подставляя (2.15) и (2.17) в формулу контактного напряжения и заменяя

получаем:

(2.18)

Чтобы из этой формулы вывести значение межосевого расстояния a_w, сделаем следующие преобразования и упрощения.

1. Так как б = 20°, то sin2б = 0,6428.

2. Как уже было сказано, коэффициент расчетной нагрузки по длине зуба К_Н есть произведение двух коэффициентов: коэффициента концентрации нагрузки по длине зуба K_Нв и коэффициента динамической нагрузки К_Нv. Последний коэффициент зависит от окружной скорости, которая пока не известна, поэтому принимают некоторое среднее значение К_Нv =1,15. Теперь К_Н = 1,15 К_Нв.

3. Заменяем Т₁ на Т₂:

4. Выражаем d₁ через межосевое расстояние и передаточное число:

5. Выражаем b_w через коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния ш_а:

6. Обычно крутящий момент выражается в Нм, поэтому в числитель добавляем 10³ для уравнивания размерностей.

Получаем:

Решаем относительно a_w и заменяем у_H на допускаемое напряжение [у_H] для материала второго зубчатого колеса:

(2.19)

Напомним, что здесь Т₂ в Нм, а [_Н] в МПа.

Знак «больше или равно» указывает на то, что межосевое расстояние проектируемой передачи должно быть не меньше рассчитанного по формуле (2.19). Напомним, что знак «минус» в скобках используется при расчете передач внутреннего зацепления.

Заметим, что формулы проектного расчета цилиндрической прямозубой передачи могут иметь и другой вид, например, есть формулы для расчета диаметров колес. Но именно формула (2.19) представлена в приложении к ГОСТ 21354-85 (Стандарты зубчатых колес).

Значение К_Нв выбирается из справочника в зависимости от расположения колеса относительно опор, твердости поверхностей зубьев и относительной ширины зацепления. Эти параметры могут быть объединены в графиках или таблицах. Здесь показан пример подобной таблицы (таблица 2.2).

Таблица 2.2

Коэффициент ш_d, приведенный в этой таблице называется коэффициентом ширины колеса по диаметру. Его значения колеблются от 0,2 до 1,6. При проектном расчете следует учитывать, что чем больше величина этого коэффициента, тем больше концентрация нагрузки по длине зуба, то есть, значение К_Нв растет. Из таблицы, в частности, видно, что широкие колеса при их консольном расположении не используются. Обратим внимание также на то, что значения коэффициента концентрации растет с увеличением твердости поверхности зубьев колес.

Коэффициент ш_а в формуле (2.19) - это коэффициент ширины колеса по межосевому расстоянию:

(2.20)

В зависимости от расположения колеса относительно опор можно принимать следующие значения этого коэффициента:

- симметричное: ш_а = 0,3 0,5;

- несимметричное: ш_а = 0,2 0,4;

- консольное: ш_а = 0,2 0,25.

Допускаемое контактное напряжение [у_H] находится так:

(МПа) (2.21)

где: у_Н0 - предел выносливости материала зубчатого колеса при отнулевом цикле напряжений (находится по эмпирическим формулам); для нормализованных и улучшенных сталей:

(МПа)

для закаленных сталей:

(МПа)

s_H - коэффициент безопасности; для нормализованной, улучшенной стали и стали с объемной закалкой (то есть, для сталей с однородной структурой по объему) s_H = 1,1; для сталей с поверхностной закалкой (неоднородная структура по объему) s_H = 1,2;

К_НL - коэффициент долговечности:

здесь N_H0 - число циклов напряжений, соответствующее пределу выносливости; зависит от твердости поверхностей зубьев; например, для HB = 350 N_H0 = 35·10⁶;

для HRC = 50 N_H0 = 85·10⁶;

для HRC = 55 N_H0 = 110·10⁶.

N - число циклов напряжений за срок службы. Если N > N_H0, то К_Нl = 1.

Расчет ширины зубчатого колеса и выбор модуля.

Напомним, что проектный расчет передачи по контактным напряжениям позволил определить нижнюю границу межосевого расстояния. Что касается ширины зубчатых колес, то в формуле (2.19) присутствует только коэффициент ширины по межосевому расстоянию ш_а, выбранный предварительно. Из формулы этого коэффициента и рассчитывается окончательно ширина зацепления (как правило, это ширина второго, то есть, большего зубчатого колеса передачи):

(мм) (2.22)

Модуль зубьев в формуле проектного расчета непосредственно не участвует. В этой формуле главными являются радиусы кривизны эвольвент в контактной точке. Эти радиусы практически не зависят от модуля, но только от габаритов колес и передачи. Можно считать, что модуль входит в формулу проектного расчета косвенно, так как зависит от межосевого расстояния, передаточного отношения и чисел зубьев колес. Из этого следует, что величина контактных напряжений у_Н не зависит от модуля, а определяется габаритами передачи, то есть, произведением модуля на сумму чисел зубьев сопряженных колес. Значит, с точки зрения контактной прочности, модуль зубьев может быть сколь угодно малым, так как с уменьшением модуля можно увеличить сумму чисел зубьев колес, чтобы их произведение не изменилось.

Минимально допустимое значение модуля можно определить из условий прочности зуба на изгиб с учетом формулы (2.9). Однако, при таком расчете в большинстве случаев получают передачи с очень мелкими зубьями, применение которых практически ограничено. Поэтому значение модуля обычно выбирают по рекомендациям, выработанным практикой, а затем делают проверочный расчет зуба по напряжениям изгиба.

Несмотря на некоторые преимущества мелкомодульных передач (например, большая плавность работы из-за бульшего коэффициента перекрытия) их использование ограничивается приборами, измерительными системами и механизмами управления.

В силовых передачах используются крупномодульные колеса, так как дольше противостоят износу и выкрашиванию поверхностей зубьев, а также способны выдерживать перегрузки. Для таких передач рекомендуется принимать m 1,5 мм.

При выборе модуля руководствуются значениями коэффициента ширины колеса по модулю:

(2.23)

Рекомендации по выбору ш_m даны в таблице 2.3.

Таблица 2.3

После выбора этого коэффициента производится расчет величины модуля из формулы (2.23):

(мм) (2.24)

Полученное значение округляется до ближайшей стандартной величины - вот предпочтительный ряд этих значений: 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25.

При известном модуле определяются геометрические параметры передачи, исходя из заданной величины передаточного числа и из предварительной величины межосевого расстояния а_w, рассчитанной по формуле (2.19) и округленной до значения рекомендуемого ряда.

Делительный диаметр первого колеса (предварительно):

Число зубьев первого колеса (округляется до ближайшего целого числа):

Делительный диаметр первого колеса (окончательно):

Число зубьев второго колеса (округляется до ближайшего целого числа):

Делительный диаметр второго колеса:

Межосевое расстояние (окончательно):

При этих расчетах должно быть z₁ z_min. Здесь следует заметить, что минимальное число зубьев колеса z_min = 17, известное из курса ТММ, рассчитано только из условия отсутствия подреза эвольвентной части у основания зуба. Практически, для большей плавности и уменьшения шума при работе рекомендуют брать z₁ 20.

Если окончательная величина межосевого расстояния получается меньше, чем значение, определенное из условия контактной прочности (2.19), то следует увеличить модуль или числа зубьев.

Заметим, что возможен и другой путь расчета геометрических параметров передачи при выбранном модуле, например, числа зубьев могут быть известны из предварительного кинематического расчета. Но в любом случае величина межосевого расстояния должна быть больше значения, рассчитанного из условия контактной прочности.

9. Проверочный расчет по контактным напряжениям

Проверочный расчет зубчатой передачи производится после ее проектирования и определения действительных геометрических параметров для уточнения величин действующих контактных напряжений и сравнения их с допускаемым напряжением. Кроме того, проверочному расчету должна быть подвержена существующая передача для определения возможных максимальных нагрузок. Формула проверочного расчета выводится из выражения (2.18) при следующих подстановках.

1. Из формулы (2.5) имеем:

2. Из формулы (2.7) имеем:

3. sin2б = 0,6428.

После сокращения получим:

Учитывая, что К_Н = К_Нв·К_Нv получим окончательно:

(2.25)

Коэффициент динамической нагрузки выбирается из справочников в зависимости от степени точности передачи, твердости поверхностей зубьев и окружной скорости. В таблице 2.4. показан пример для передач с твердостью поверхностей зубьев HRC 45 и более.

Таблица 2.4

10. Проверочный расчет по напряжениям изгиба

Спроектированная передача после удовлетворительной проверки по контактным напряжениям может быть подвержена проверочному расчету по напряжениям изгиба.

Рабочая формула выводится из общей формулы (2.9), приведенной в §2.6:

где: W - момент сопротивления сечения основания зуба;

А - площадь сечения основания зуба.

Значения l и s неудобны для расчетов. Их заменяют безразмерными коэффициентами, связанными с модулем зубьев:

;

Силы F_t' и F_r' определяются по формулам (2.5) и (2.6)

После подстановки в исходное выражение и введения расчетных коэффициентов получим:

где: К_F - коэффициент расчетной нагрузки;

К_Т - теоретический коэффициент концентрации напряжений в основании зуба.

Введем обозначение коэффициента формы зуба:

(2.26)

В результате получим рабочую формулу проверочного расчета:

(2.27)

Из формулы (2.26) следует, что Y_F - это безразмерный коэффициент, значения которого зависят только от формы зуба. Действительно, форма зуба зависит от его относительной высоты l', относительной толщины у основания зуба s' и профильного угла б. Кроме того, имеет значение и форма галтели у основания зуба (коэффициент К_Т). Легко заметить, что форма зуба колеса, при прочих равных условиях, зависит от числа зубьев. При большом числе зубьев колеса кривизна эвольвентного профиля боковой поверхности зуба невелика, зуб имеет пологую форму и широк в основании. С уменьшением числа зубьев кривизна эвольвентного профиля боковой поверхности зуба увеличивается, его толщина у основания уменьшается, что приводит к уменьшению изгибной прочности зуба. Значения коэффициента формы зуба нулевых колес приведены в таблице 2.5.

Таблица 2.5

Форма зуба положительных и отрицательных колес отличается от формы зуба нулевого колеса: у положительных колес зуб более широкий в основании, то есть, более прочный, а у отрицательных колес зуб менее прочный, чем у нулевых. Соответственно меняются и значения коэффициента формы зуба [6].

Коэффициент расчетной нагрузки:

Коэффициент концентрации нагрузки по длине зуба К_Fв выбирается из графиков или таблиц в справочниках также, как это было показано для коэффициента К_Нв. Однако, в большинстве случаев без большой погрешности можно принимать К_Fв = 1,15K_Hв.

Значения коэффициента динамической нагрузки К_Fv зависят от степени точности передачи, твердости поверхностей зубьев ее колес и окружной скорости. В таблице 2.6 дан пример выбора этого коэффициента для передач с твердостью поверхностей зубьев HRC 45 и более.

Таблица 2.6

Допускаемое напряжение изгиба в МПа или Н/мм²:

(2.28)

где: _F0 - предел выносливости при изгибных напряжениях: (2.29)

В этой формуле _в - предел прочности; для конструкционных легированных сталей _в = (1000 1200) МПа.

S _F - коэффициент безопасности; для нормализованной, улучшенной и закаленной стали s _F = 1,75; для стали с цементацией и поверхностной закалкой s _F = 1,55.

К _Fc - коэффициент, учитывающий влияние двустороннего приложения нагрузки; Например, зубья сателлитов планетарных редукторов подвергаются знакопеременной (двусторонней) нагрузке, так как контактируют и с зубьями солнечного колеса, и с зубьями коронного колеса. В этом случае К _Fc = 0,7 0,8. При односторонней нагрузке К_Fc = 1.

К _Fl - коэффициент долговечности; методика его расчета аналогична расчету К _Нl (см. выше).

Рассчитанная по формуле (2.27) величина напряжения изгиба у_F может быть значительно меньше допустимого [у_F]. Это вполне возможно, так как нагрузочная способность большинства передач ограничивается контактной прочностью, а не прочностью на изгиб.

11. Пример расчета

Исходные данные.

Рассчитать зубчатую передачу нереверсивного одноступенчатого редуктора общего машиностроения по следующим данным.

Мощность на входном валу редуктора Р₁ = 100 кВт.

Частота вращения входного вала редуктора n₁ = 710 об/мин.

Частота вращения выходного вала редуктора n₂ = 355 об/мин.

Редуктор имеет отдельный корпус с масляной ванной.

Ресурс t_У = 30 тыс. часов.

Проектный расчет зубчатой передачи на прочность.

1. Определение межосевого расстояния.

Минимальное межосевое расстояние передачи рассчитывается по формуле (2.19). Для этого необходимо предварительно определить передаточное число редуктора, крутящий момент на выходном валу, назначить материал зубчатых колес и найти величины допускаемого контактного напряжения и уточняющих коэффициентов.

1. Передаточное число редуктора:

2. Крутящий момент на выходном валу определим с учетом к.п.д. передачи з = 0,98:

Нм

3. Назначаем материал зубчатых колес - сталь 40Х с поверхностной закалкой зубьев до твердости HRC 48 ч 52 (стр. 21).

4. Допускаемое контактное напряжение рассчитывается по формуле (2.21), для которой предварительно найдем предел выносливости, коэффициент безопасности и коэффициент долговечности. Предел выносливости для закаленных сталей вычисляется по формуле (стр. 37) с учетом среднего значения твердости поверхности зубьев:

МПа

Коэффициент безопасности s _H = 1,2 для стали с поверхностной закалкой (стр. 37).

Коэффициент долговечности К_НL требует предварительного определения числа циклов напряжений, соответствующего пределу выносливости, и числа циклов напряжений за срок службы. Число циклов напряжений, соответствующее пределу выносливости, для НRС = 50 (стр. 37):

Число циклов напряжений за срок службы (cтр. 20):

Так как N > N _H0, то согласно примечанию на стр. 37, значение коэффициента долговечности К_НL = 1.

Допускаемое контактное напряжение (2.21):

МПа

5. Коэффициент концентрации нагрузки по длине зуба К _Hв выбирается по таблице 2.2. Для рассчитываемого редуктора принимаем симметричное расположение колеса относительно опор. Так как твердости поверхностей зубьев велика, то согласно рекомендации 3 на стр. 32 зубчатые колеса должны быть относительно неширокими, поэтому выбираем коэффициент ширины колеса по диаметру ш _d = 0,6. Для твердости НВ > 350 находим, что К _Нв = 1,04.

6. Коэффициент ширины колеса по межосевому расстоянию ш _а принимаем по рекомендациям на стр. 37: для симметричного расположения колеса относительно опор ш _a= 0,4

Межосевое расстояние (2.19):

мм

Напомним, что величина крутящего момента подставляется в формулу в Нм, а допускаемое напряжение в МПа; коэффициент 490 уравнивает размерности.

Полученное значение является минимально допустимым межосевым расстоянием передача с точки зрения ее контактной прочности. Фактическое межосевое расстояние, которое будет найдено после определения модуля зубьев, должно быть больше этого значения, но возможно ближе к нему для соблюдения условия минимальных габаритов конструкции.

2. Определение ширины зубчатых колес.

Ширина зубчатых, колес находится по формуле (2.20), для которой значение ш_a принимается прежним, то есть, 0,4:

мм

Принимаем b = 78 мм. Это значение является окончательным.

3. Определение модуля зубчатых колес.

Модуль находим по формуле (2.24), для которой, согласно рекомендациям на стр. 39 (таблица 2.3), принимаем значение коэффициента ширины зубчатого колеса по модулю ш _m = 17:

Полученное значение округляем до стандартного большего и получаем m = 5 мм.

4. Расчет чисел зубьев колес передачи.

Так как известна формула:

,

то суммарное число зубьев передачи определится так:

Принимаем z_У = 77.

C учетом передаточного числа рассчитываем число зубьев входного колеса:

Принимаем z₁ = 26.

Число зубьев выходного колеса:

Фактическое передаточное число редуктора:

Отклонение фактического передаточного числа от заданного:

Допускается отклонение до 5 %.

5. Действительные геометрические параметры передачи.

Входное колесо:

мм

мм

мм

Выходное колесо:

мм

мм

мм

Межосевое расстояние

мм

Проверочный расчет на усталость по контактным напряжениям.

Этот расчет выполняется по формуле (2.25), для которой надо определить величину окружной силы F_t и значение коэффициента динамической нагрузки К_Hv.

Окружная сила на колесе (диаметр колеса переводим в м):

Н

Значение коэффициента динамической нагрузки определяется из таблицы 2.4 в зависимости от степени точности передачи и окружной скорости.

Так как рассчитываемый редуктор по условию задачи является редуктором общего машиностроения, то по таблице 2.1 назначаем восьмую степень точности передачи.

Окружная скорость (диаметр колеса переводим в м):

м/с

Методом интерполяции из таблицы 2.4 находим К_Hv = 1,11.

Контактное напряжение (2.25):

МПа

Проверка удовлетворительна, так как у_Н < [у_H] = 875 МПа.

Проверочный расчет на прочность по напряжениям изгиба.

Расчет выполняется по формуле (2.27), для которой сначала определяются значения коэффициентов формы зуба Y_F и расчетной нагрузки К_F, а также величина допускаемого напряжения изгиба [у_F].

Расчет выполняется для того колеса передачи, у которого меньше отношение [у_F]/Y_F.

Коэффициент формы зуба выбираем по таблице 2.5: для z₁ = 26 находим Y_F1 = 3,88, а для z₂ = 51 - Y_F2= 3,65.

Допускаемое напряжение изгиба зубьев шестерни и колеса принимаем одинаковым, так как они выполнены из одной и той же марки стали, и рассчитываем по формуле (2.28), для чего сначала находим величину предела выносливости при изгибных напряжениях и значения коэффициентов.

Предел выносливости при изгибных напряжениях (2.29):

МПа,

так как для конструкционных легированных сталей _в = (1000 1200) МПа.

Значение коэффициента безопасности принимаем по рекомендации на стр. 43: для стали с поверхностной закалкой S_F = 1,55.

При односторонней нагрузке (по условию задачи редуктор нереверсивный) К_Fc = 1. (стр. 43).

Коэффициент долговечности определяется также, как при расчете по контактным напряжениям (стр. 44), поэтому K_FL = 1.

Допускаемое напряжение изгиба (2.28):

МПа

Для входного колеса передачи:

Для выходного колеса передачи:

Так как это отношение меньше для входного колеса (для шестерни), то расчет выполняем для входного колеса.

Коэффициент расчетной нагрузки определяется по формуле:

Коэффициент распределения нагрузки по длине зуба К_Fв рассчитывается в соответствии с указанием на стр. 42:

Коэффициент динамической нагрузки K_Fv выбирается по таблице 2.6: для восьмой степени точности и окружной скорости 4 м/с

K_Fv = 1,11.

Следовательно:

Напряжение изгиба в основании зуба шестерни (2.27):

МПа

Проверка удовлетворительна, так как у_F < [у_F] = 425,81 МПа.

12. Ключевые слова и выражения

1. Главные исходные данные при расчете зубчатой передачи на прочность: передаточное число, крутящий момент на входном колесе и коэффициент полезного действия.

2. Второстепенные исходные данные при расчете зубчатой передачи на прочность: условия работы передачи, частота вращения входного колеса и технический ресурс.