Размещено на http://www.allbest.ru/

Сложное сопротивление

1. Эквивалентные напряжения

В предыдущих лекциях были рассмотрены случаи расчета бруса на прочность, когда это брус находится только в одном из возможных деформированных состояний - растяжения, сжатия, сдвига, кручения или изгиба. Однако, в реальных конструкциях нередки случаи, когда в поперечных сечениях бруса возникают сразу несколько внутренних силовых факторов. Например, на вал машины, несущий на себе зубчатые колеса, шкивы, муфты, одновременно действуют крутящий и изгибающий моменты.

Такие случаи сложного напряженного состояния принято называть сложным сопротивлением. Расчеты на прочность при сложном сопротивлении основываются обычно на принципе суперпозиции, то есть, независимости действия сил. Например, если брус одновременно находится в деформированных состояниях изгиба и кручения, то есть, на брус одновременно действуют силы и моменты, изгибающие его, и моменты его скручивающие, то можно отдельно определить напряжения, возникающие в брусе от изгибающих нагрузок и от крутящего момента. Однако влияние этих нагрузок на общую картину сложного сопротивления может быть различным, то есть, при прочих равных условиях, различные факторы (деформированные состояния) по-разному влияют на процесс перехода материала в предельное состояние, за которым происходит разрушение.

Все существующие теоретические методы расчета сложного сопротивления основаны на гипотезах о преимущественном влиянии того или иного фактора (деформированного состояния) на процесс перехода материала в предельное состояние. Суть применения этих гипотез для оценки прочности материала заключается в замене фактического напряженного состояния равноопасным (эквивалентным) ему линейным напряженным состоянием. Равноопасными называют такие напряженные состояния, у которых при пропорциональном увеличении напряжений одновременно наступает предельное состояние.

Итак, эквивалентное напряжение _экв - это такое линейное (одноосное) напряжение растяжения, которое равноопасно сложному напряженному состоянию.

Приведение сложного напряженного состояния к равноопасному ему линейному осуществляется заменой действительных напряжений эквивалентным напряжением, которое надо создать в растянутом брусе, чтобы получить напряженное состояние равноопасное заданному. Прочность оценивается при помощи сравнения эквивалентного напряжения с предельным при растяжении (с учетом запаса прочности), или непосредственно с допускаемым напряжением.

2. Теории прочности

Гипотезы о преимущественном влиянии на прочность материала при сложном сопротивлении того или иного фактора (деформированного состояния) называют теориями прочности.

Известны пять теорий прочности:

1) теория наибольших нормальных напряжений;

2) теория наибольших линейных деформаций;

3) теория наибольших касательных напряжений;

4) энергетическая теория формоизменения;

5) теория прочности Мора.

Подавляющее большинство деталей машин, которые при работе могут находиться в сложном напряженном состоянии, изготовлены из пластичных и малопластичных материалов - это конструкционные материалы, начиная от алюминия и кончая легированными сталями. Для таких материалов наиболее подходят третья и четвертая теории прочности, так как они хорошо подтверждаются экспериментальными данными. Здесь коротко рассмотрим третью теорию прочности, как наиболее простую, но дающую достаточную точность для инженерных расчетов.

По теории наибольших касательных напряжений в качестве фактора, определяющего прочность материала, принимается величина наибольшего касательного напряжения. Предполагается, что предельное состояние при сложном сопротивлении наступит тогда, когда наибольшее касательное напряжение _max достигнет опасного значения, соответствующего предельному состоянию данного материала при растяжении. Условие прочности в этом случае имеет вид:

В соответствии с общей теорией прочности, которая здесь не рассматривается, после преобразований можно переписать это условие прочности для эквивалентного напряжения в следующем виде:

(1)

Таким образом, брус, в материале которого при сложном сопротивлении возникают нормальное и касательное напряжения, может быть заменен брусом, подверженным только линейному растяжению. Напряженные состояния этих брусьев будут равноопасны, когда напряжение в растянутом брусе достигнет значения, определяемого формулой (1).

сложный сопротивление вал прочность

3. Изгиб с кручением

Рассмотрим случай сложного сопротивления вала, нагруженного изгибающим и крутящим моментом. При подобных расчетах происходит замена реальной конструкции и нагрузок расчетной схемой.

На рис. 1 показана эта замена и необходимые для расрасчета эпюры напряжений. Вал 1 (рис. 1а) вращается на двух конических подшипниках и нагружен крутящим и изгибающим моментами, возникающими при передаче движения от косозубого цилиндрического зубчатого колеса 2 к полумуфте 1, служащей для соединения с другим соосным валом. На рис. 1б приведена расчетная схема этой конструкции. Вал представлен в виде двухопорной балки с поперечным выступом, имеющим размер равный радиусу делительной окружности зубчатого колеса (d/2) и расположенный по оси симметрии этого колеса. Подшипники вала заменены шарнирно-неподвижными опорами, так как практически можно считать, что подшипники качения (даже роликовые конические) вследствие упругих деформаций тел качения и колец допускают весьма малые деформативные повороты вала при изгибе.

Действительные распределенные нагрузки в зацеплении, ступицах колеса и полумуфты и в подшипниках заменены сосредоточенными силами. Нагрузки в зацеплении заменяются силами, действующими в полюсе зацепления, то есть на конец поперечного выступа балки:

F_t - окружная сила, F_r - радиальная сила и F_a - осевая сила. Крутящий момент Т действует на полумуфте. Поперечная сила F_М, действующая на конце вала со стороны муфты - это сила, возникающая из-за неизбежной несоосности соединяемых валов.

На рис. 1в силы, действующие на конец поперечного выступа F_t, F_r и F_a приведены к оси вала (балки) и показаны раздельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Перенос радиальной силы F_r не вызывает никаких изменений. Перенос осевой силы F_a привел к возникновению момента М_а = 0,5F_ad в вертикальной плоскости, а перенос окружной силы F_t - к возникновению момента Т = 0,5F_td в горизонтальной плоскости.

Определим реакции в опорах от действующих сил и моментов. Осевая сила F_a вызывает появление осевой реакции Н₁ в левом подшипнике.

Чтобы построить эпюры изгибающих моментов и определить величины этих моментов по методу сечений, надо найти составляющие радиальных реакций опор от действия каждой силы и момента. Рассмотрим сначала вертикальную плоскость.

Реакция А₁ левой опоры в вертикальной плоскости (рис. 1в) складывается из составляющей А₁₁ от радиальной силы F_r и составляющей А₁₂ от действия момента М_А:

Составляющую А₁₁ найдем из условия статики: сумма моментов относительно точки В равна нулю, причем момент, направленный против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелке - отрицательным (учитываем только силу F_r):

Отсюда:

Максимальную величину эпюры моментов от радиальной силы (рис. 1г) найдем, как действие реакции А₁₁ на плече а:

Составляющую А₁₂ найдем из такого же условия статики, но при учете только момента М_а в вертикальной плоскости:

Отсюда:

Максимальную положительную величину эпюры от действия момента М_а (рис. 1г) найдем как действие реакции А₁₂ на плече а:

Максимальную отрицательную величину эпюры от действия момента М_а (рис. 2г) найдем, произведя аналогичные действия, но с учетом реакции В₁₂ на плече b:

Перейдем теперь к горизонтальной плоскости.

Реакция А₂ левой опоры в горизонтальной плоскости (рис. 1в) складывается из составляющей А₂₁ от окружной силы F_r и составляющей А₂₂ от действия поперечной силы F_M:

Составляющую А₂₁ найдем из условия статики: сумма моментов относительно точки В равна нулю, причем момент, направленный против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелки - отрицательным (учитываем только силу F_t):

Отсюда:

Максимальную величину эпюры моментов от окружной силы (рис. 1д) найдем, как действие реакции А₂₁ на плече а:

Максимальную величину эпюры моментов от поперечной силы (рис. 1д) найдем как действие силы F_M на плече с:

На рис. 1е показана эпюра крутящего момента Т.

Эпюры изгибающих моментов дают возможность определить суммарный момент, действующий в любом сечении вала. Для расчета на прочность следует находить изгибающие моменты в опасных сечениях, то есть там, где нагрузка может быть максимальной. Судя по внешнему виду эпюр, опасными являются сечения I и II (рис. 1б).

Найдем максимальный изгибающий момент в сечении I. При этом учтем, что на рис. 1г показаны эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости, на рис. 1д - в горизонтальной. Величина момента в сечении I от поперечной силы F_M определяется из пропорции, понятной из рис. 1д. В результате, суммарный изгибающий момент в сечении I:

(Нм)

Затем определяется суммарный изгибающий момент в сечении II. Величины моментов в сечениях I и II сравниваются и, если диаметры вала в этих сечениях одинаковые, то в дальнейших расчетах учитывается максимальный момент. Если диаметры разные, то следующие расчеты надо сделать для двух опасных сечений.

Рассмотрим действие моментов в сечении I.

Во-первых, в этом сечении имеет место прямой изгиб от действия результирующего изгибающего момента М. Нормальные напряжения от этого момента достигают наибольших значений в крайних волокнах вала и определяются по формуле:

(2)

Во-вторых, в этом же сечении действует крутящий момент Т. Поэтому в крайних волокнах вал по всему периметру сечения возникают максимальные касательные напряжения от этого момента, определяемые по формуле:

(3)

Согласно формулам полярного и осевого моментов инерции для круглого сечения (см. §13.3 и §14.3) полярный момент инерции круглого сечения в два раза больше, чем осевой, то есть, W_p = 2W. Тогда:

Чтобы найти эквивалентное напряжение по третьей теории прочности, подставим выражения (2) и (3) в (1):

После преобразований получим:

(4)

Можно считать, что числитель предыдущего выражения является эквивалентным моментом:

Тогда:

(5)

где W - осевой момент сопротивления сечения I:

(6)

Подставим (6) в (5). Для получения условия прочности при этом надо учесть, что эквивалентный момент рассчитан в Нм, а диаметр вала определяется в мм. Поэтому надо уравнять размерности. Кроме того, обычно принимают р/32 = 0,1. Тогда условие прочности будет иметь следующий вид:

(7)

Допускаемое напряжение принимают близким к пределу текучести:

Для конструкционных углеродистых и легированных сталей значение допускаемого напряжения колеблется в следующих пределах:

МПа

Конкретное значение выбирается по справочникам (см., например, [17]) в зависимости от марки стали и диаметра вала.

Рекомендуемая литература

1. Авиационные зубчатые передачи и редукторы. Справочник. Под редакцией Булгакова Э.Б. Москва, «Машиностроение», 1981.

2. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. В трех томах. Москва, «Машиностроение», 1982.

3. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. Том III. Зубчатые механизмы. М., Наука, 1973.

4. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М., Наука, 1975.

5. Бернштейн С.А. Сопротивление материалов. М., «Высшая школа», 1961.

6. Гавриленко Б.А. и др. Гидравлический привод. М., Машиностроение, 1968.

7. Детали машин. Атлас конструкций. Под ред. Решетова Д.Н. Москва, «Машиностроение», 1989.

8. Иванов М.Н. Детали машин. Москва, «Высшая школа», 1991.

9. Коловский М.З. Динамика машин. Л., Ленинградский политехнический институт, 1980.

10. Основы расчета и конструирования деталей летательных аппаратов. Под ред. Кестельмана В.Н. Москва, 1989.

11. Пневмопривод систем управления летательных аппаратов. Под ред. Чашина В.А. М., Машиностроение, 1987.

12. Прикладная механика. Под ред. Осецкого В.М. М., «Машиностроение», 1977.

13. Пятаев А.В. Теория механизмов и машин. Учебное пособие. Ташкент, Ташкентский государственный авиационный институт, 2001.

14. Пятаев А.В. Динамика машин. Ташкентский политехнический институт. Ташкент, 1990.

15. Пятаев А.В. Детали машин. Учебное пособие. Ташкент, Ташкентский государственный авиационный институт, 2004.

16. Справочник машиностроителя, том 3. Под редакцией Ачеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1963.

17. Справочник машиностроителя, том 4, книги I и II. Под редакцией Ачеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1963.

18. Теория механизмов и машин. Под ред. Фролова К.В. М., Высшая школа, 1987.

19. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959.

20. Трение, изнашивание и смазка. Справочник. Под редакцией Крагельского И.В. и Алисина В.В. Москва, «Машиностроение», 1978.

Размещено на Allbest.ru