Применение обобщенных решений для проектирования балочных элементов конструкций самолета и формирования функциональных сплайнов

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

05.07.02 - Проектирование, конструкция и производство летательных аппаратов

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тема:

Применение обобщенных решений для проектирования балочных элементов конструкций самолета и формирования функциональных сплайнов

Павленко Алексей Петрович

Казань - 2007

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент Снигирев Виталий Филиппович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич;

доктор физико-математических наук, профессор Бадриев Ильдар Бурханович

Ведущая организация:

ОАО «Казанский научно-исследовательский институт авиационной технологии»

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева

Ученый секретарь диссертационного совета Арасланов А.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проектирование авиационной и ракетно-космической техники является наукоемким, трудоемким процессом и невозможно без применения систем автоматизированного проектирования (САПР), которые значительно повышают производительность труда при одновременном увеличении качества проектно-конструкторских работ. В авиастроении особое внимание уделяется оптимизации конструкции по весовым и жесткостным характеристикам, а также оптимизации внешней формы, от которых существенно зависят функциональные и экономические показатели летательного аппарата (ЛА).

При моделировании произвольных поверхностей в авиастроении широко применяются сплайны. В процессе решения геометрических задач и задач инженерного анализа появляется проблема преобразования геометрических моделей обводов и поверхностей, полученных различными методами, в универсальные геометрические модели, в которых применяются параметрические сплайны. Несмотря на существенные достижения теории сплайнов при моделировании обводов и поверхностей с локальными изменениями формы, а также при аппроксимации обводов, сформированных другими признанными математическими методами, сплайны могут приводить к погрешностям аппроксимации: у преобразованных обводов и поверхностей появляется волнистость.

Первая часть диссертации посвящена развитию методов оптимального проектирования силовых конструкций максимальной жесткости, базирующихся на принципе минимума полной потенциальной энергии деформации конструкции. Во второй части диссертации решены задачи формирования функциональных сплайнов, жесткостные коэффициенты которых являются их управляющими коэффициентами. Управляющие коэффициенты таких сплайнов находятся из условия минимума полной энергии оператора определяющего сплайнового уравнения. Разработанные сплайны позволяют существенно уменьшить погрешности аппроксимации волнообразного типа.

В целом диссертация повящена актуальным областям исследования: разработке математического и алгоритмического обеспечения, методов проектирования для выбора оптимальных облика и параметров, компоновки и конструктивно-силовой схемы, агрегатов; разработке методов, моделей для принятия оптимальных решений с целью исследования проектно-конструкторских задач при заданных ограничениях.

Цель работы. Развитие методов: оптимального проектирования авиационных конструкций максимальной жесткости; математического моделирования произвольных обводов и поверхностей ЛА, в которых применяются сплайны. Развитие перечисленных методов ориентировано на повышение качества проектирования и производтва ЛА.

Задачи работы

1. Разработка алгоритма оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости, для вариантов аппроксимации функции изгибной жесткости кусочно-постоянной функцией и непрерывной кусочно-линейной функцией.

2. Разработка алгоритма интерполирования обводов с локальными изменениями формы кубическими управляемыми сплайнами класса и сплайнами класса с непрерывной кусочно-линейной управляющей функцией.

3. Разработка алгоритма математического моделирования поверхностей произвольной формы с применением предлагаемых управляемых сплайнов.

4. Апробация разработанных алгоритмов при решении прикладных задач с реальными исходными данными.

Методы исследования. При выполнении разработки применены: математическая теория обобщенных решений операторных линейных уравнений, метод неопределенных множителей Лагранжа и методы численного анализа: МКЭ, наискорейшего спуска (градиентный метод), а также вычислительные эксперименты на специально сформулированных тестовых задачах с целью сравнения численных решений с точным аналитическим решениями.

Научная новизна. В диссертации представлены следующие новые методы.

1. Метод оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости, базирующийся на результатах теории обощенных решений операторных линейных уравнений.

2. Кубический управляемый сплайн класса минимальной жесткости.

3. Сплайн класса минимальной жесткости, содержащий полиномиальные и логарифмические базисные функции.

4. Оптимизационный метод решения задачи параметризации для функциональных сплайнов.

Практическая ценность. Практическую ценность работы составляют приложения разработанных методов и алгоритмов для решения задач оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости, задания и моделирования произвольных обводов ЛА.

В частности: решены задачи оптимального проектирования балочных элементов конструкций с применением КЭ постоянной и линейной жесткости; выполнены применения сплайнов минимальной жесткости для моделирования реальных обводов самолетов, подтверждающие их эффективность при сравнении с известными методами.

Достоверность результатов. Достоверность задачи оптимального проектирования подтверждена сравнением численных результатов с известными аналитическими решениями и сопоставлением полученных результатов с результатами других авторов; анализом физического смысла тестовых результатов. Достоверность задач получения сплайнов минимальной жесткости обоснована применением теории обобщенных решений операторных уравнений, численными исследованиями сходимости на тестовых задачах и при моделировании реальных обводов.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод и алгоритм оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости.

2. КЭ с линейным изменением жесткости для анализа конструкций балочной расчетной схемы.

3. Метод и алгоритм получения функциональных одномерных сплайнов минимальной жесткости.

4. Метод и алгоритм решения задачи параметризации для таблично заданной кривой.

5. Метод и алгоритм решения задачи параметризации для произвольной поверхности, заданной табличными обводами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на XI Всероссийской молодежной научной конференции "Туполевские чтения" (Казань, 8-10 октября 2003 г.); на XII Международной молодежной научной конференции "Туполевские чтения" (Казань, 10-11 ноября 2004 г.); на VI Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 1-4 октября 2005 г.); на научной конференции - семинаре "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 31 января - 4 февраля 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, в том числе 5 статей и 2 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 185 страницах, включая 41 рисунок, 7 таблиц и список литературы из 140 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы разработки и направление исследований, определено научное и практическое значение решаемых задач.

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации, выделены нерешенные задачи, определены цели и поставлены задачи исследования, намечены пути их решения. В обзоре отмечено, что задачи оптимального проектирования силовых конструкций максимальной жесткости рассматривались в публикациях Б.Д. Аннина, Н.В. Баничука, В.И. Бирюка, В.Г. Гайнутдинова, А.А. Комарова, В.А. Комарова, А.С. Кретова, Л.М. Куршина, Е.К. Липина, К.А. Лурье, Л.В. Петухова, Н.В. Пустового, Г.И. Расторгуева, А.П. Сейраняна, В.А. Троицкого, В.М. Фролова, В.Г. Шатаева и других отечественных и зарубежных ученых. Обзор показал, что одно из наиболее эффективных направлений решения этих задач основано на минимизации энергии деформации оптимизируемой конструкции. Данный вывод позволил сформулировать вариант обобщенной постановки задач оптимизации для процессов, описываемых линейными уравнениями с симметричным положительным оператором. В предлагаемой постановке задача оптимизации ставится формально, без рассмотрения физического смысла задачи. В ней используется условие минимума полной энергии оператора исходного линейного уравнения, аналогичного условию минимума полной потенциальной энергии деформации конструкции. Это позволяет объединить задачи анализа и оптимизации.

В авиастроении методам геометрического моделирования посвящены работы С.Р. Айвазова, Р.Т. Айрапетяна, П.Е. Бабикова, В.Е. Барсукова, В.К. Белкина, В.Д. Вермеля, В.К. Исаева, Е.И. Калитина, Б.И. Квасова, В.А. Леуса, В.В. Мальчевского, В.А. Осипова, В.В. Сонина, В.Ф. Снигирева, А.Д. Тузова, Л.И. Шустовой, В.И. Якунина и других отечественных и зарубежных исследователей. В современных модулях геометрического моделирования САПР, применяемых в авиастроении для моделирования произвольных поверхностей, часто применяются сплайны.

Теория сплайнов развита в трудах В.И. Бердышева, В.А. Василенко, В.В. Вершинина, А.И. Гребенникова, А.А. Женсыкбаева, Ю.С. Завьялова, М.И. Игнатова, Н.Н. Калиткина, Б.И. Квасова, А.П. Колесникова, Н.П. Корнейчука, В.Н. Малоземова, В.Л. Мирошниченко, В.А. Морозова, Н.Н. Павлова, А.Б. Певный, С.Б. Стечкина, Ю.Н. Субботина, Н.И. Черных, Н.Н. Яненко и других отечественных и зарубежных математиков.

Отмечено, что при задании обводов с локальными изменениями аэродинамической поверхности возникают трудности. В настоящее время задачи такого класса решаются путем применения напряженных, рациональных и иррациональных сплайнов, - аппроксимации кусочно-гладкими функциями с разрывом в первой производной, локально сглаживаемой в точке разрыва за счет малого параметра , и некоторыми другими приемами. Каждый из перечисленных методов имеет свою область применения.

Во второй главе рассмотрена постановка задачи оптимизации для линейного процесса, анализ которого сводится к решению операторного уравнения:

,(1)

где - симметричный положительный линейный оператор;

- вектор искомых функций, описывающих рассматриваемый процесс;

- вектор заданных функций.

Для нахождения приближенного обобщенного решения уравнения (1) необходим функционал, стационарная точка которого реализуется при значении ,

где - точное (классическое) решение уравнения (1).

Функционал полной энергии оператора имеет вид:

, (2)

где - вектор проектных параметров;

- скалярное произведение элементов ,

Согласно методу Ритца или МКЭ приближенное обобщенное решение задачи анализа принимается в виде линейной комбинации системы базисных функций, принадлежащих области определения функционала (2):

, (3)

где - произвольные коэффициенты;

- базисные функции из области определения функционала.

В результате подстановки в функционал (2) (3) получается квадратичная форма, зависящая от вектора . Из условий стационарности квадратичной формы следует система линейных алгебраических уравнений относительно вектора коэффициентов :

,(4)

где ;

;

После получения функционала (2) возможна общая постановка задач оптимального проектирования, базирующаяся на отыскании его стационарной точки. Для этого методом неопределенных множителей Лагранжа получен модифицированный функционал:

, (5)

где - вектор функционалов, определяющих условия проектирования для решаемой задачи;

- вектор скалярных множителей Лагранжа.

После подстановки в функционал (5) согласно (3), получается приближенное значение функционала (5): .

Для нахождения стационарной точки функционала получается система нелинейных алгебраических уравнений относительно векторов искомых неизвестных , , :

;

;

. (6)

Таким образом, изложенный метод позволяет формулировать задачи оптимизации для процессов, описываемых линейными операторными уравнениями вида (1), без рассмотрения соответствующих физических законов.

По изложенной постановке разработан метод получения балочных конструкций максимальной жесткости, в котором для решения задачи анализа применен МКЭ. Значения функции изгибной жесткости определяются в расчетных сечениях проектируемого элемента конструкции, внешний контур которого в плоскости изгиба констркции вписывается в заданный плоский контур. Внешняя расчетная нагрузка задана. Во всех расчетных сечениях балки напряжения одинаковые. Интеграл от функции изгибной жесткости по длине силового элемента равен заданной величине. Расчетные значения функции изгибной жесткости больше, либо равны некоторому заданному положительному минимальному значению изгибной жесткости.

Рис. 1. Оптимальное изменение функции изгибной жесткости для консольной балки

Рис. 2. Оптимальное изменение функции изгибной жесткости для статически неопределимой балки

По изложенному методу получены численные решения двух задач: конструкция, моделируемая консольной балкой, конструкция, моделируемая статически неопределимой защемленной в крайних сечениях балкой. На рис. 1 показан график функции относительной изгибной жесткости , однородной консольной балки, имеющей клиновидную форму в плоскости изгиба, под действием постоянной погонной нагрузки, при числе КЭ , где - заданное осредненное значение функции изгибной жесткости балки; - значение функции жесткости - го КЭ. Пунктирной линией показан график функции , вычисленной согласно точному аналитическому решению. Максимальная погрешность численного решения равна 2,69% при значении . Графики функций , полученные при числе КЭ для однородной защемленной в торцевых сечениях балки, имеющей постоянную высоту в плоскости изгиба, под действием постоянной погонной нагрузки, представлены на рис. 2.

В третьей главе на основе соотношений (1) - (6) рассмотрена задача проектирования балочных элементов конструкций максимальной жесткости для варианта непрерывной кусочно-линейной функции изгибной жесткости.

Уравнение поперечного изгиба балки переменной жесткости при действии поперечной внешней погонной нагрузки имеет вид:

, (7)

где - искомая функция прогибов оси балки.

Функционал вида (2), соответствующий уравнению (7), запишется так:

. (8)

Для любой комбинации главных и естественных однородных краевых условий решения уравнения (7) из выражения (8) получается функционал:

. (9)

Принято следующее условие распределения изгибной жесткости балки:

. (10)

Принято условие равенства расчетных напряжений во всех поперечных сечениях балки (условие равнопрочности):

, , (11)

где - расстояние от нейтральной оси до расчетного или наиболее нагруженного элемента в произвольном сечении балки; - модуль упругости расчетного (наиболее нагруженного) элемента в рассматриваемом поперечном сечении; - координата произвольного поперечного сечения балки, принятого в качестве базового сечения для сравнения значений расчетных напряжений.

Согласно методу Лагранжа функционал (9) и условия проектирования (10), (11) позволяют записать модифицированный функционал:

, (12)

где , - множители Лагранжа.

Для получения приближенного решения задачи (7), (10), (11) с однородными краевыми условиями функция представлена в виде непрерывной кусочно-линейной функции:

, , (13)

где - значение функции в - м узле расчетной сетки ;

; : .

Для уравнения (7) с функцией (13) при , известно точное решение (см. Снигирев В.Ф. Построение вырождающихся сплайнов для решения задач интерполирования функций и геометрического моделирования линий // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1992. - 32. - № 7. - С. 1142_1143):

, , (14)

где , , , - постоянные интегрирования;

Применение условий интерполирования Эрмита для нахождения постоянных в (14) позволяет представить функцию на участках балки в виде (3):

, . (15)

С учетом выражений (13), (15) функционал (12) принимает вид:

, (16)

где согласно инженерному алгоритму МКЭ выделены - общая матрица жесткости, полученная из матриц жесткостей балочных КЭ с линейным изменением изгибной жесткости;

- общий вектор эквивалентных узловых нагрузок балки;

- общий вектор узловых переменных, в котором учтены главные краевые условия балки;

- вектор проектных параметров;

- вектор множителей Лагранжа;

, ;

, , ,

Рис. 3. График оптимальной кусочно-линейной функции изгибной жесткости для консольной балки

Рис. 4. Графики оптимальной кусочно-линейной функции жесткости для статически неопределимой балки

После записи условий минимума функционала (16) получается система нелинейных алгебраических уравнений относительно , , , которая аналогична системе (6). Для приближенной минимизации функционала (16) применен метод наискорейшего спуска. При этом для получения решения нулевого приближения принята балка постоянной жесткости . Структура условий минимума функционала (16) позволяет построить несложный итерационный процесс для уточнения - вектора узловых переменных. Если вектор проектных параметров принять известным из предыдущего приближения , то условия минимума функционала дают систему линейных алгебраических уравнений для нахождения . Далее, после нахождения для получения значения с учетом условий (10), (11) можно уточнять только вектор .

Отдельный раздел третьей главы посвящен тестированию полученного балочного КЭ с линейным законом изменения жесткости. При этом для консольной балки переменной жесткости численное решение сравнивалось с решением в квадратурах. Тестирование показало, что КЭ с линейным законом изменения жесткости обеспечивают более высокую скорость сходимости численного решения по сравнению с КЭ постоянной жесткости.

Решены тестовые задачи оптимального проектирования консольной и защемленной балок, рассмотренных во второй главе. Оптимальное распределение жесткости для консольной балки представлено на рис. 3. Полученная функция относительной жесткости практически совпадает с точным решением (см. рис. 1). При этом максимальная погрешность численного решения равна 0,17% при . Для защемленной балки (рис. 4) при числе КЭ наблюдается сходимость численных значений функции к некоторым предельным значениям.

В четвертой главе рассмотрена задача получения функционального управляемого кубического сплайна минимальной жесткости.

Кубический сплайн определяется единственным образом, если заданы его узловые значения и краевые условия. При графическом моделировании поверхности самолета для участка обвода, имеющего локальное изменение формы, уже давно рекомендовано применение плазовой рейки с локальным уменьшением толщины (см. Расчет и построение контуров самолета на плазе / Андреев В.А., Зворыкин В.А., Коноров Л.А. и другие / Под ред. Ленькова С.С. - М.: Оборонгиз, 1960. - 492 с.). При математическом моделировании таких обводов возможность автоматического определения управляющих коэффициентов кубического сплайна появляется при представлении его как функционального сплайна, получаемого из условия минимума функционала полной энергии оператора определяющего уравнения, соответствующего сплайну.

Для получения сплайна определяющее уравнение записывается в виде:

,(17)

где - непрерывная управляющая весовая функция.

Функционал энергии оператора уравнения (17) для получения кубического сплайна класса записывается в виде:

, (18)

где , - вектор значений управляющей функции:

, . (19)

Для элементов вектора принято условие в виде:

, (20)

где - задаваемый коэффициент; , .

После модификации (18) с помощью условия (20) получается функционал:

, (21)

где - искомый множитель Лагранжа.

Для получения кубического сплайна минимальной жесткости далее необходимо рассмотреть задачу о безусловном минимуме функционала (21).

В качестве тестовой задачи для кубических управляемых сплайнов минимальной жесткости рассмотрено интерполирование функции

(22)

на равномерной сетке : , , . Этот тест является одним из признанных "тяжелых" тестов для интерполирующих функций.

Рис. 5. График управляющей функции кубического сплайна минимальной жесткости

На рис. 5 изображен график функции , полученной в результате минимизации функционала (21). На рис. 6 показаны графики: 1 - кубического сплайна; 2 - кубического сплайна минимальной жесткости при ; 3 - интерполируемой функции (22).

Рис. 6. Графики вычисленных функций

Численные результаты показывают, что по сравнению с кубическим сплайном у кубического сплайна минимальной жесткости значительно меньше осцилляции, и заметные отличия от интерполируемой функции (22) имеются только на последнем "сложном" участке.

При увеличении числа узлов интерполяции путем разбиения "сложного" участка на четыре равных участка осцилляции кубического сплайна минимальной жесткости не наблюдаются, при этом общее число промежутков между узлами .

Рис 7. График управляющей функции для профиля

Решена прикладная задача интерполирования параметрическим сплайном минимальной жесткости табличного крылового профиля П 226 _ 9,5, примененного на самолете Ту-214.

Рис. 8. Графики производных первых координатных функций

При этом принималась параметризация по суммарной длине хорд. График управляющей функции , полученной при ; , изображен на рис. 7. На участке графика, соответствующем окрестности носка профиля, получилось значительное уменьшение значений управляющих коэффициентов. На рис. 8, рис. 9 для окрестности носка профиля сплошной линией показаны соответственно графики производных , , где ; . Для сравнения на этих рисунках пунктирной линией изображены графики производных, полученных при применении параметрического кубического сплайна.

Касательная в точке носка теоретического профиля параллельна оси координат. По сравнению с кубическим сплайном, в этой точке кубический сплайн минимальной жесткости обеспечил уменьшение угла между теоретической касательной и касательной к интерполирующей линии на 5,8%.

Рис. 9. Графики производных вторых координатных функций

Для сплайнов, интерполирующих крыловой профиль П 226 - 9,5, вычислены значения функционала

, (23)

который по структуре аналогичен удвоенной потенциальной энергии деформации балки.

Для параметрического кубического сплайна , где в формуле (23) принято , . Для параметрического кубического сплайна минимальной жесткости . Эти численные значения подтверждают факт уменьшения "жесткости" полученного кубического сплайна с управляющей функцией.

В пятой главе рассмотрена задача получения функционального сплайна минимальной жесткости, непрерывного до вторых производных включительно.

Вторая производная кубического сплайна минимальной жесткости имеет разрывы вследствие разрывов управляющей функции в узлах расчетной сетки. Для получения функционального сплайна минимальной жесткости с непрерывными вторыми производными в функционале (18) управляющая функция принята в виде непрерывной кусочно-линейной (аффинной) функции:

, , (24)

где , - узловые значения функции .

При этом уравнение сплайна на участке с линейным изменением жесткости согласно выражению (24) получается из точного решения определяющего уравнения (17), которое представлено формулой (14). Уравнение (14) далее преобразовано к виду, аналогичному по структуре выражению (3):

, , (25)

где - базисные функции для участка сплайна;

, - узловые значения сплайна;

, - неизвестные коэффициенты сплайна.

Функционал вида (18) с управляющей функцией (24) запишется так:

. (26)

где , - вектор узловых значений управляющей функции .

Выражение (26) после преобразований с учетом промежуточных краевых условий, при которых оператор определяющего уравнения (17) симметричен, преобразуется в следующее:

, (27)

где , , , - произвольные постоянные.

Для элементов вектора , записано дополнительное условие:

. (28)

Функционал (27) и условие (28) позволяют записать функционал:

, (29)

где - неопределенный множитель Лагранжа.

Функционал (29) после подстановки в него функций (24), (25) принимает вид:

, (30)

где - вектор узловых переменных - го участка сплайна; - матрица Грама - го участка сплайна.

Для получения сплайна минимальной кусочно-линейной жесткости класса далее аналогично рассматривается задача о безусловном минимуме функционала (30).

Следует отметить, что при выполнении равенства для участка следует принимать полиномиальное уравнение как кубического сплайна. В этом случае получается комбинированный сплайн класса .

Рис. 10. График управляющей функции комбинированного сплайна при

балочный авиационный конструкция сплайн



Рис. 11. Графики вычисленных функций при

Для тестирования рассмотренного комбинированного сплайна решена задача интерполирования функции (22). На рис. 10 изображен график функции , полученной при значениях , . На отрезке , где интерполируемая функция (22) практически не изменяется, управляющая функция получилась постоянной с максимальными узловыми значениями. На этом отрезке получаются участки кубического сплайна.

На последнем "сложном" участке , где функция (22) локально убывает, получается уравнение вида (14). На рис. 11 показаны графики вычисленных функций на "сложном" участке: 1 - кубического сплайна; 2 - комбинированного сплайна (участка сплайна минимальной кусочно-линейной жесткости); 3 - интерполируемой функции (22).

Видно, что комбинированный сплайн хорошо приблизился к интерполируемой функции (22) и, в отличие от кубического сплайна, не имеет осцилляций.

Рис. 12. График управляющей функции комбинированного сплайна при

При разбиении "сложного" участка на четыре равных участка получается график управляющей функции, представленный на рис. 12, при этом .

Рис. 13. Графики вычисленных функций при

На рис. 13 показаны графики функций, вычисленных на "сложном" участке: 1 - кубического сплайна, 2 - комбинированного сплайна. При этом график комбинированного сплайна визуально совпал с интерполируемой функцией, а кубический сплайн заметно отличается от интерполируемой функции (22) и имеет осцилляции (см. рис. 13).

Шестая глава посвящена разработке оптимизационного метода изогеометрической параметризации для функциональных сплайнов.

В модулях геометрического моделирования САПР для задания или аппроксимации произвольных линий, как правило, применяются параметрические сплайны. Это обусловлено, в основном, универсальностью математических моделей таких линий, пригодных в этих модулях для решения инженерных геометрических задач и геометрических задач, необходимых для реализации инженерного анализа проектируемой конструкции, а также для задач машинной графики и визуализации. Для получения параметрического уравнения линии необходима сетка интерполяционных узлов, которая неизвестна. Задачу нахождения этой сетки часто называют задачей параметризации. Анализ обзора известных методов решения задачи параметризации (см. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. - М.: Физматлит, 2006. - 360 с.), показывает, что точность аппроксимации табличных кривых существенно зависит от сетки интерполяционных узлов, а универсальные простые для реализации методы параметризации не обеспечивают достижения максимально возможной точности моделирования табличных кривых. Для повышения точности аппроксимации таблично задаваемых кривых необходимо разрабатывать методы, максимально учитывающие специфику решаемой задачи и требования, предъявляемые к свойствам интерполирующей кривой. Такую постановку решения задачи параметризации позволяет выполнить постановка оптимизационных задач, изложенная во второй главе.

Для решения задачи параметризации шаг узлов интерполяционной сетки принимается в качестве искомых параметров, а условия для их нахождения формулируются как условия минимума функционала вида (5). Условие, обеспечивающее расположение узлов сетки в области определения моделируемой кривой, записано в виде:

,(31)

где - искомый вектор значений шага узлов интерполяционной сетки узлов ;

, ; - назначаемые значения для фиксации узлов сетки в области определения моделируемой кривой; .

С учетом условия (31) функционал вида (27) преобразуется в следующий модифицированный функционал

, (32)

где - неопределенный множитель Лагранжа.

За счет модификации определяющего сплайнового функционала (27) методом неопределенных множителей Лагранжа можно учитывать и другие дополнительные условия распределения узлов интерполяционной сетки .

Условия минимума функционала (32) имеют вид:

, ;

, ;

и дают систему нелинейных уравнений для нахождения .

Решение задачи параметризации целесообразно получать в результате прямой минимизации функционала вида (32).

	1	2	3	4	5
	0,19964	0,19977	0,20119	0,19977	0,19964
	0,19752	0,20031	0,20432	0,20031	0,19752

В качестве теста рассмотрено интерполирование параметрическим кубическим сплайном кусочно-постоянной жесткости дуг окружности и эллипса, заданных уравнением

, (33)

на равномерной сетке :

,

где , , ; .

При генерировании исходных данных в выражении (33) принято: - для окружности; , - для эллипса. Следует отметить, что на дуге окружности заданные точки расположены равномерно по длине дуги, а на дуге эллипса неравномерно. Для обеих кривых приняты три начальные интерполяционные сетки. Итерационный процесс минимизации функционала (32) независимо от начальной сетки интерполяционных узлов с одной точностью приближается к равномерной сетке , принятой при формировании исходных данных согласно уравнению (33).

Результаты вычислений представлены в таблице, где - длины промежутков между узлами интерполяционной сетки , полученной для дуги окружности; - длины промежутков между узлами интерполяционной сетки , полученной для дуги эллипса.

Решена прикладная задача параметризации для крылового аэродинамического профиля П 226-9,5.

Рис. 14. Графики функций изменения параметра от номера точки профиля

На рис. 14 изображены 1 - график функции изменения параметра от номера точки профиля для интерполяционной сетки узлов , полученной при параметризации по суммарной длине хорд; 2 - аналогичный график для интерполяционной сетки узлов , полученной при параметризации предложенным методом. Для сплайнов, интерполирующих рассмотренный крыловой профиль, значения функционала (23) следующие: на сетке ; на сетке , где принято , , так как применялись кубические сплайны. Эти численные значения подтверждают факт уменьшения энергии оператора в уравнении (17), а, следовательно, и "жесткости" полученной кривой.

Решена задача параметризации для внешней поверхности откидной части фонаря истребителя Су-27, заданной точками в плоских базовых сечениях. Поверхность представляет собой криволинейный четырехугольник. В каждом из восьми базовых сечений задано по 25 точек, координаты которых вычислены по некоторому непараметрическому уравнению поверхности.

Основные процедуры алгоритма решения задачи параметризации для поверхности следующие. Сначала по координатам точек в каждом базовом сечении выполнена параметризация по суммарной длине хорд. Далее в пределах отрезка в каждом базовом сечении по изложенному методу находится сетка интерполяционных узлов для параметра . По найденным сеткам интерполяционных узлов выполнена процедура, сходная с процедурой распластывания поверхности. В результате этого получается - предварительная область определения параметрического уравнения поверхности (рис. 15), где - строительная горизонталь самолета. Затем в результате аффинного преобразования из области получена область определения поверхности в виде прямоугольника , у которого длина вертикального отрезка контурной линии области равна длине отрезка (рис. 16). В результате в базовых сечениях определяются параметрические кубические интерполяционные сплайны первого направления (семейства).

Рис. 15. Область изменения параметров с криволинейной верхней границей

Рис. 16. Прямоугольная область изменения параметров

Затем в пределах отрезка выбирается расчетная сетка, в узлах которой по сплайнам первого направления вычисляются координаты точек поверхности для получения параметрических кубических интерполяционных сплайнов второго направления (семейства).

Рис. 17. Параметризованная внешняя поверхность откидной части фонаря

Параметризованная поверхность откидной части фонаря с двумя семействами гладких линий показана на рис. 17.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дисертационной работе получены следующие результаты.

1. Предложен вариант постановки оптимизационных задач, описываемых уравнениями с линейным положительно определенным оператором.

2. Разработан метод оптимального проектирования балочных элементов конструкций максимальной жесткости, основанный на применении условия минимума полной потенциальной энергии деформации конструкции.

3. Разработан балочный конечный элемент с линейным законом изменения жесткости, повышающий точность решения задач анализа конструкций на основе балочной расчетной модели.

4. Разработан функциональный кубический сплайн минимальной жесткости, непрерывный до первых производных включительно, позволяющий моделировать обводы с локальными изменениями формы.

5. Разработан функциональный комбинированный сплайн минимальной жесткости, непрерывный до вторых производных включительно, позволяющий моделировать обводы с локальными изменениями формы.

6. Разработан оптимизационный метод решения задачи изогеометрической параметризации при задании обводов сплайнами.

7. Предложен метод параметризации для поверхностей, заданных табличными обводами.

5. Решены прикладные задачи: на основе предложенных сплайнов решена задача параметризации для крылового профиля П 226-9,5; на онове предложенных алгоритмов и сплайнов выполнено моделирование внешней поверхности откидной части фонаря истребителя Су-27.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Павленко А.П. Численный метод перераспределения жесткостей конечных элементов балочной конструкции для решения задачи проектирования // XI Туполевские чтения: Всероссийская (с международным участием) молодежная научная конференция, Казань, 8-10 октября 2003 года: Тезисы докладов. Том I. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 2003. - С.17.

2. Павленко А.П. Вариационный метод получения кубического интерполяционного сплайна наименьшей кривизны и его применение для моделирования обводов // XII Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция, Казань, 10-11 ноября 2004 года: Материалы конференции. Том I. - Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 2004. - С.29 - 30.

3. Павленко А.П., Кретов А.С., Снигирев В.Ф. Вариационный метод получения кубического интерполяционного сплайна наименьшей приведенной кривизны // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Шестого Всероссийского семинара. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2005. - С. 153-157.

4. Павленко А.П., Кретов А.С., Снигирев В.Ф. Функциональный кубический интерполяционный сплайн минимальной приведенной кривизны // Известия Института математики и информатики. Вып. 2 (36). - Ижевск: УдГУ, 2006. - С. 189-192.

5. Павленко А.П., Снигирев В.Ф., Завьялов О.Ю. Точные общие решения для балок с полиномиальными законами изменения изгибной жесткости // Проектирование и исследование технических систем: Межвузовский научный сборник. Вып. 8. - Набережные Челны: Изд-во ИНЭКА, 2006. - С.142-147.

6. Павленко А.П., Кретов А.С., Снигирев В.Ф. Вариант постановки задач оптимального проектирования силовых конструкций // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. - 2007. - №1. - С. 9-14.

7. Павленко А.П., Кретов А.С., Снигирев В.Ф. Интерполяционный кубический сплайн минимальной жесткости // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2007. - №2. - С. 5-8.

Размещено на Allbest.ru

...