Исследование напряженно-деформированного состояния внецентренно сжатого стержня большой гибкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование напряженно-деформированного состояния внецентренно сжатого стержня большой гибкости

Проблема формализации упругой линии тонкой стальной полосы большой гибкости возникла в процессе создания упругих элементов с нелинейной характеристикой для применения в различного рода демпфирующих устройствах. Такие упругие стержни испытывают большие перемещения при работе материала в пределах упругости, в частности, при осевом нагружении в закритической области, когда осевая нагрузка превышает Эйлерову силу, однако в докритической области перемещения недостаточно значительны для получения регрессивно-прогрессивной характеристики. В работе исследуются возможности смягчения упругой характеристики при осевом нагружении в начальный период путем применения жесткого консольного плеча, установленного на конце упругого стержня с приложением к нему вертикальной нагрузки. Одновременно исследуется влияние на упругую характеристику круговой траектории точки приложения вертикальной силы. Для формализации напряженно-деформированного состояния тонкой стальной пластины большой гибкости применяется метод эллиптических параметров.

Ключевые слова: упругая линия, тонкая полоса, большая гибкость, формализация, внеосевое нагружение, эллиптические параметры, регрессивно-прогресивная характеристика.

Проблема формализации упругой линии тонкой стальной полосы большой гибкости возникла в процессе создания упругих элементов с нелинейной характеристикой для применения в различного рода демпфирующих устройствах [1,2]. Такие упругие стержни испытывают большие перемещения при работе материала в пределах упругости, в частности, при осевом нагружении в закритической области, когда осевая нагрузка превышает Эйлерову силу, однако в докритической области перемещения недостаточно значительны для получения регрессивно-прогрессивной характеристики [1].

В настоящей работе исследуются возможности смягчения упругой характеристики при осевом нагружении в начальный период путем применения жесткого консольного плеча, установленного на конце упругого стержня с приложением к нему вертикальной нагрузки. Одновременно исследуется влияние на упругую характеристику круговой траектории точки приложения вертикальной силы. Методы расчета внецентренно сжатых железобетонных стоек анализировались, в частности, в работе [3], но для формализации напряженно-деформированного состояния тонких стальных пластин большой гибкости перспективным представляется использование метода эллиптических параметров [4-7].

На рис. 1,а приведена система в начальном положении. Рассматриваемая система, состоит из упругого стержня «ОА», жёсткого плеча «АВ» и жёсткого рычага «ВD». Упругий стержень «ОА» одним концом закреплён шарниром в точке «О», а другим концом жёстко соединён под прямым углом с плечевой консолью «АВ», соединённой шарниром в точке «В» с рычагом «ВD», который другим концом шарнирно закреплён в точке «D». К шарниру «В» прикладывается направленная вертикально сила G рис. 1, б. Деформированное состояние системы определяется величиной силы G и геометрическими параметрами стержней. Система в нагруженном состоянии показана на рис. 1,б.

стальной пластина консольный

Рис. 1. Расчетная схема упругой системы

Согласно [4] для решения задачи методом эллиптических параметров используются правые системы координат. Одна из этих систем xOy неподвижна, а другая ориентирована так, что ось совпадает всё время с направлением сжимающей упругий стержень силы F, приложенной всё время в начале координат т. «О» рис. 1,б.

На рис.1,б обозначены углы:

д - угол между осями х и

ж_А - угол между касательной (ф_А), проведённой в концевой точке «А» упругой линии стержня и осью ,

г - угол отклонения рычага «ВD» от вертикали.

Обязательное расположение шарниров «О» и «D» на одной вертикали необходимо для того, чтобы в заданном диапазоне нагрузок система при любом возмущении под действием реакции упругого стержня возвращалась в первоначальное положение.

Методика расчета предложена Е.П. Поповым [4] на основе решения точного дифференциального уравнения упругой линии гибкого стержня (1).

где l - длина гибкого стержня «ОА» (рис. 1,а),

ж - угол между касательной, проведённой в текущей точке упругой линии гибкого стержня и осью ,

в - силовой коэффициент подобия, который в зависимости от сжимающей стержень силы определяется по формуле (2), а в зависимости от конфигурации упругой линии - по формуле (3):

здесь H = EJ_min - изгибная жёсткость, E - модуль упругости, J_min - минимальный момент инерции гибкого стержня,

ш_A и ш_o- эллиптические амплитуды в конечной и начальной точках гибкого стержня (точка А и точка О на рис. 1),

F(ш_A) и F(ш_o) - эллиптические интегралы Лежандра первого рода.

Для произвольного значения эллиптической амплитуды эллиптические интегралы Лежандра первого рода F(ш) и используемые в дальнейшем эллиптические интегралы Лежандра второго рода E(ш) определяются соответственно по формулам (4) и (5):

здесь k = sinб - модуль, б - модулярный угол эллиптического интеграла.

Так как эллиптические интегралы не берутся в элементарных функциях, то они должны определяться либо по таблицам, приведённым в [6] , либо по приближённым формулам [8,9]. В настоящее время для определения эллиптических интегралов можно использовать ПО Mathcad.

Зависимость между модулем k и углом касательной к упругой линии с осью х^', и эллиптической амплитудой ш имеет вид

Связь между кривизной изогнутой оси стержня ч и упругими параметрами в [6] установлена в виде

Координаты точки «А» в системе определяются по формулам

,

В неподвижной системе xOy - по формулам:

;

.

Изгибающий момент в любом сечении стержня определяется по формуле

,

где ч₀ - начальная кривизна упругого стержня. В рассматриваемой задаче предполагается, что первоначальное положение стержня «ОА» является прямолинейным, поэтому ч₀ = 0.

Вертикальное перемещение точки приложения силы G (т. «В»)

где h - длина рычага ВD (рис. 1).

Уравнения равновесия сил, действующих на систему ОАВ (рис. 2,а):

Из (14) определяется зависимость

Для определения напряжённо-деформированного состояния упругого стержня в рассматриваемой задаче используем следующие граничные условия.

Первое граничное условие: при s = 0 в точке «О» изгибающий момент равен нулю и из равенства (12) следует cosш₀ = 0. Тогда согласно [6] при кривизне ч < 0 и > 0 начальная эллиптическая амплитуда принимается равной ш₀ = р/2. При переходе от точки «О» к точке «А» значение эллиптической амплитуды должно возрастать.

В характерной точке (на рис. 1,б это точка сжатия «С») эта амплитуда должна быть кратной р/2, то есть ш_C = р.

Рис. 2. К выводу уравнения равновесия упругой системы

Значение эллиптической амплитуды в точке «А» неизвестно. Это значение может быть определено из второго граничного условия (рис. 2,б): при s = l изгибающий момент в сечении «А» равен

,

где t = АВ - длина плечевой консоли.

Момент принимает отрицательное значение, так как кривизна упругой линии ч < 0. Используя для концевой точки «А» равенства (2), (12) и (16), получим

С учётом того, что второе граничное условие (17) представим в виде

.

Алгоритм решения задачи с использованием ПО Mathcad состоит в следующем. Для положения системы, когда при первоначальном угле отклонения поводка г₀ гибкий стержень прямолинеен и заданы геометрические размеры t, l, h, а также изгибная жёсткость гибкого стержня H и координата точки «D» задаётся модулярный угол эллиптического интеграла б (0? б ? р/2) и вычисляется значение модуля k. Эллиптическую амплитуду ш_А (в точке А) определяем в Mathcad с помощью функции root из трансцендентного уравнения (18) (начальное значение ш_А задаем равным р, так как в точке сжатия «С» ш_C = р). При этом с учетом (4) и приближённых формул, полученных в работе [6] силовой коэффициент подобия (3), в зависимости от конфигурации упругой линии в конечной точке А (см. рис. 1) и начальной точке О гибкого стержня определяется по формуле

Полученное значение ш_A позволяет проводить все дальнейшие расчёты и исследования деформированного гибкого стержня.

ПРИМЕР. Исследуется стальной упругий стержень ОА (рис. 1) в виде полосы длиной ОА = l = 0,4 м с поперечным прямоугольным сечением 0,6 х 5,1 мм, у которого: осевой момент инерции J_min = 9,18·10^-14 м⁴, момент сопротивления W = 3,06·10^-10 м⁴ и изгибная жёсткость H = 0,01836 Нм². Длина плеча АВ = t = 0,04 м, длина рычага ВD = h = 0,08 м., длина стойки ОD = 0,3216 м,.

Решение. Для определения эллиптической амплитуды ш_А используя ПО Mathcad решаем трансцендентное уравнение (18) в соответствии с исходными данными. Силовой коэффициент в определяем также с помощью ПО Mathcad по формуле (3), взяв интеграл (4) в пределах от ш₀ до ш_А. Далее определяем угол ж_А между касательной к упругой линии в точке А и осью х^' из формулы (6). Угол получается отрицательным всегда, в данной схеме нагружения, так как ч < 0. Зная силовой коэффициент в, силу F сжимающую стержень, определяем из формулы (2). Длина хорды «ОВ» равна: ОВ=, где координата точки «А» в системе . Определяем с помощью ПО Mathcad по формуле (8), взяв интеграл (5) в пределах от ш₀ до ш_А. Угол между осями х и по теореме косинусов равен

.

Угол отклонения поводка ВD от вертикали , где угол ВDО определяем также по теореме косинусов:

,

Из (15) определим величину силы G, соответствующую полученной конфигурации рассматриваемой системы. Вертикальное перемещение h_B точки приложения силы G (т. «В») определяем по формуле (13).

Согласно теоретическим предпосылкам максимальный прогиб упругого стержня имеет место в точке сжатия; при соответствующих заданных параметрах прогиб определим по формуле:

Максимальный изгибающий момент будет также в сечении, где находится точка сжатия, согласно (12) момент равен:

.

где - фактическая кривизна упругого стержня.

Знак изгибающего момента при использовании метода эллиптических параметров [4] должен совпадать со знаком кривизны упругого стержня, которая в данной задаче отрицательна.

Максимальное нормальное напряжение определим по формуле:

В таблице №1 приведены результаты расчётов для схемы на рис.1 с приведенными параметрами.

Таблица 1. Расчетные параметры упругой системы

На рис. 3 приведены зависимости вертикального перемещения точки «В» от нагрузки G, действующей на упругий стержень с плечом, полученные экспериментально (1), теоретически (2) и с помощью расчетного комплекса ANSYS (3).

Рис. 3. Зависимости вертикального перемещения точки В от нагрузки G

Результаты, полученные с помощью расчетного комплекса ANSYS [10] для системы с данными геометрическими параметрами достаточно хорошо коррелируются как с выведенными теоретическими зависимостями, так и с опытными данными, полученными экспериментально. Из диаграммы следует, что внецентренное сжатие упругого элемента формирует регрессивный участок упругой характеристики, а круговая траектория точки приложения вертикальной силы формирует прогрессивный участок. Некоторое расхождение теоретических зависимостей с экспериментальными связано с использованием в расчетах табличного значения модуля упругости.

Литература

стальной пластина консольный

1. Личковаха А.С., Шемшура Б.А., Кузнецов С.А. Исследование деформации стержня большой гибкости при осевом нагружении // Известия высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Технические науки. 2016. №3. С. 71-76.

2. Языев Б.М., Смирнов И.И., Захарова К.В. Методика расчета силовой характеристики ленточного упругопластического элемента // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2140/.

3. Маилян Д.Р, Мурадян В.А. К методике расчета железобетонных внецентренно сжатых колонн // Инженерный вестник Дона, 2012, № 4. URL: ivdon.ru /magazine/archive/n4p2y2012/1333/.

4. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1986. 296с.

5. Kollbrunner Curt F, Meister Martin. Knicken, Biegedrillknicken, Kippen: Theorie und Berechnung von Knickstдben Knickvorschriften. Berlin: Springer-Verlag, 1961. 320 s.

6. Анфилофьев А. В., Замятин В. М. Геометрическое представление эллиптических интегралов // Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ]. 2005. Т. 308. № 5. С. 11-14.

7. Mises R. Ausbiegung eines auf Knicken beanspruchten Stabes // Z. angew Math. Mech. 1924. Bd 4. ss. 435-436.

8. Пономарёв С.Д., Бидерман В.Л., Феодосьев В.И. Расчёты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1956. Т.1. 886с.

9. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1973. 400с.

10. Басов К.А. ANSYS: Справочник пользователя. М.: ДМК. 2005. 640с.

Размещено на Allbest.ru