Исследование напряженно-деформированного состояния уплотнителя поршня и системы "уплотнитель-цилиндр"

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПЛОТНИТЕЛЯ ПОРШНЯ И СИСТЕМЫ «УПЛОТНИТЕЛЬ-ЦИЛИНДР»

Душко О.В.,

Воронкова Г.В.,

Рекунов С.С.

Надёжность и безопасность производственных объектов в машиностроении и нефтехимии зависит от совершенства и долговечности объёмных гидроагрегатов возвратно-поступательного действия, в которых уплотнители являются наиболее уязвимым местом, особенно в их опорной части. В данной работе исследуется напряжённо-деформированное состояния уплотнителя и системы «уплотнитель-цилиндр» для заданных произвольной начальной геометрии уплотнителя и рабочего давления жидкости, а также предложена методика определения оптимальных геометрических параметров уплотнителя.

Уплотнитель находится в осесимметричном относительно оси z напряжённом состоянии. При этом напряжения и деформации изменяются только вдоль двух координатных осей z и r (уплотнитель рассматривается в разрезе) (рис. 1). Деформации уплотнителя малы (е < 10 %), вследствие этого связь между напряжениями и деформациями может быть описана линейной зависимостью (закон Гука).

Рис. 1 - Начальная геометрия манжеты в свободном состоянии

уплотнитель поршень трение генетический

Для определения напряжённо-деформированного состояния уплотнителя используются уравнения теории упругости, связывающие между собой линейные и угловые перемещения с модулем упругости. При определённой интерпретации применительно к уплотнителю поршня, для осесимметричной задачи согласно [1] имеем:

где ц - неизвестная функция перемещений; х - коэффициент Пуассона; - модуль сдвига; Е - модуль упругости; U, W - линейные перемещения в направлении соответственно осей r и z; - нормальные напряжения соответственно кольцевые, радиальные и направленные вдоль оси z (все напряжения сжатия); ф - касательное напряжение.

Функции перемещений и оператор Лапласа

(2)

Для повышения устойчивости вычислительного процесса и точности вычислений вводятся безразмерные параметры:

(3)

где у₀ - напряжение, численно равное модулю упругости материала; l₀ - линейный размер, имеющий порядок размера исследуемой области.

Функция напряжений по [1] является решением уравнения

(4)

и при этом должны выполняться граничные условия.

Для решения поставленной задачи и введённых безразмерных параметров (3) принята следующая функция напряжений:

где А₁, А₂, а_i, b_i - постоянные коэффициенты, определяемые из граничных условий;

(6)

где r, z - текущие координаты; J_n - функция Бесселя 1-го рода n-го порядка.

Принятая функция напряжений (5) является решением уравнения (4). Для решения поставленной задачи необходимо определение постоянных коэффициентов для удовлетворения граничных условий.

Функция (5) позволяет полностью описать напряжённо-деформированное состояние уплотнителя. Использование в уравнениях (5) функции Бесселя 1-го рода объясняется особенностями решения данной осесимметричной задачи (применительно к резиноёмкому уплотнителю поршня). Как известно, функция Бесселя 1-го рода является убывающей (в данном случае по координате r), что обеспечивает получение устойчивого вычислительного процесса.

Подстановка функции (5) в исходные уравнения (1), с учётом введённых безразмерных параметров (3), приводит к следующим выражениям для напряжений и перемещений:

Решение (7) и (8) должно удовлетворять граничным условиям на контуре. Для геометрии исследуемой области и нагрузок эти граничные условия будут следующими [2]:

Участок АВ (свободный контур): (9)

Участок ВС (нет перемещений): (10)

Участок СD (давление р жидкости):

(11)

где l, m - направляющие косинусы (рис. 2.7, а) - уравнение контура СD.

Участок DА (контакт с цилиндром):

(12)

где f - коэффициент трения;

Вторым граничным условием являются деформации вдоль оси r - от до , а с учётом безразмерных параметров:

(13)

где - уравнение контура в недеформированном состоянии.

Неизвестные коэффициенты функции напряжений (5) определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений. Граничные условия (9) - (13) удовлетворяются на каждом контуре приближённо. Их точное соответствие выполняется лишь в отдельных точках контура, число которых может быть произвольным. Увеличение числа этих точек приводит к повышению точности решения задачи; расстановка точек показана на рис.1.

Количество неизвестных коэффициентов в (5) и порядок системы уравнений равен удвоенному числу точек контура. Полученное решение достаточно точно удовлетворяет всем уравнениям теории упругости при приближённом выполнении граничных условий.

В области контакта на границе DA, в случае модифицирования уплотнителя, модуль упругости материала изменяется вдоль координаты r - на толщине t - от значения Е₁ на поверхности до значения Е упругого тела [3]. Это изменение аппроксимируется следующей зависимостью:

(14)

где - расстояние от поверхности тела.

Выражение (14) хорошо описывает изменение модуля упругости от толщины модифицированного слоя, определённое экспериментально [4]. При этом коэффициент б в (14) определяется по значению толщины t слоя:

(15)

где - модуль упругости основного объёма (в сердцевине уплотнителя).

Влияние модифицированного слоя на поведение исследуемой области учитывается приближённо - введением дополнительной пограничной области D^*A^* с приведённым модулем упругости Е^*. Эта область соприкасается со стороной DA. Касательные напряжения по контакту границ DA и D^*A^* вызывают изменение перемещений точек границы DA, что влияет на напряжения и деформации всей исследуемой области. Контактные касательные напряжения ф^* представлены степенным рядом через неизвестные коэффициенты :

(16)

При этом из уравнения равновесия для слоя D^*A^*

определяется коэффициент ряда (16)

(17)

Нормальные напряжения в области D^*A^* принимаются равномерно распределёнными по её толщине t и определяется из условия равновесия:

(18)

Перемещения W^* слоя D^*A^* определяется по закону Гука:

(19)

где - приведённый модуль упругости; С - постоянный коэффициент.

При этом

(20)

где - перемещение точки А границы.

Введение модифицированного слоя изменяет граничное условие (12) для касательных напряжений. На границе DA

(21)

где - определяется из (17).

Коэффициенты ряда (17) находят из условия совместимости перемещений соответственно границы DA и модифицированного слоя D^*A^* в N точках контакта:

(22)

Модуль упругости дополнительной пограничной области D^*A^* изменяется в соответствии с (14) от до на глубину :

(23)

Приведённый модуль упругости Е^* определяется из условия равенства продольных сил в дополнительном слое с переменным модулем упругости (23) и постоянным Е^*:

(24)

где А - площадь сечения дополнительного слоя.

Подстановка (23) в (24) определяет приведённый модуль упругости:

(25)

где

С целью определения оптимальной геометрии уплотнителя будем использовать метод генетических (эволюционных) алгоритмов [5]. Этот метод используется для решения задач моделирования и оптимизации решений путем случайного подбора, вариации и комбинирования большого количества исходных параметров или когда невозможно предсказать область нахождения оптимального решения.

Применительно к уплотнителям резинометаллических поршней метод генетических алгоритмов использовался для поиска оптимальной конфигурации зоны контакта уплотнителя (область DA). При этом функция , выражающая форму поверхности контакта, имеет следующий вид:

(26)

Коэффициенты ряда (26) определяются в процессе эволюции, при этом N - число членов ряда аппроксимирующей функции; z - текущая координата на поверхности уплотнителя.

Функция цели определяет соответствие решения оптимальному и принята в виде взвешенной комбинации решений:

(27)

где б_i - весовые коэффициенты (вклад, учитываемый в стадии стирания на значение функции цели); S_i - сумма квадратов отклонений контактного напряжения у_z от среднего; М - количество слоёв стирания (износа) материала уплотнителя.

Функция цели (27) даёт возможность определить оптимальную конфигурацию уплотнителя для максимально равномерного распределения контактных напряжений в процессе работы и стирания материала.

Список литературы

1. Ильин В. П. Численные методы решения задач строительной механики / В. П. Ильин, В. В. Карпов, A. M. Масленников. - Минск: Вышэйшая школа, 1990. -349 с.

2. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. - Москва: Наука, 1978. - 592 с.

3. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - Москва: Физматгиз, 1963. - 636 с.

4. Трушин С.И. Расчет пластин и пологих оболочек методами нелинейного программирования / С. И. Трушин // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. - 2003. - № 2. - С. 40-45.

5. Родин С. И. Эволюционные методы для создания оптимальных пространственных стержневых систем / Г. И. Беликов, С. И. Родин // Сборник научных статей. Российская академия архитектуры и строительных наук, Южное региональное отделение РААСН, Администрация Волгоградской области, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет. Волгоград. - 2010. - С. 79-82.

Размещено на Allbest.ru