Моделирование процесса деформирования толстостенной трубы из неоднородного материала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование процесса деформирования толстостенной трубы из неоднородного материала

УДК 539.3:05.13.18

Н.А. Роганова, Г.З. Шарафутдинов

Рассмотрены некоторые задачи плоской теории упругости неоднородных тел при постоянном значении коэффициента Пуассона. Предложена схема определения компонент напряжения в трубе из неоднородного изотропного упругого материала.

Ключевые слова: теория упругости, плоская задача, неоднородные материалы, моделирование процесса деформирования.

Неоднородные материалы достаточно широко распространены в технике. В первую очередь, многие материалы являются структурно неоднородными вследствие неоднородных условий их синтеза. Неоднородность механических свойств наблюдается в бетонах при их неоднородном застывании, в полимерах - при неоднородной полимеризации, в металлах и сплавах - при неоднородном охлаждении и т.п. Неоднородность механических свойств материалов может возникнуть и при изготовлении каких-либо деталей или элементов конструкций (в частности, при деформировании материалов в области пластичности или неоднородном поле температур и в ряде других случаев) [1, 2].

Наиболее важным и в то же время наиболее сложным является учет неоднородных свойств конструкционных материалов, работающих в агрессивных средах [3, 4]. Это обусловлено, с одной стороны, последствиями возможных аварий различного рода (например, в теплообменниках и корпусах ядерных силовых установок, паровых и газовых турбинах, газотурбинных двигателях и т.п.). С другой стороны, зоны неоднородности в элементах конструкций, функционирующих в агрессивной среде, развиваются непосредственно в процессе эксплуатации, и это явление должно быть учтено на стадии проектирования. Задача сама по себе не из простых, особенно в тех случаях, когда процесс диффузии агрессивной среды или составляющих ее элементов в материал зависит также и от возникающих в элементах конструкций напряжений и деформаций.

В общем случае изотропного неоднородного материала все параметры тела (параметры Ламе, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и модуль объемного сжатия) являются функциями координат, однако независимых среди них всего два -- остальные однозначно выражаются через выбранную пару [5]. В данной статье рассматривается неоднородный упругий материал, для которого в качестве независимых параметров выбраны модуль сдвига и коэффициент Пуассона .

Напряжения в трубе из неоднородного изотропного упругого материала. Рассмотрим толстостенную цилиндрическую трубу конечной длины с внутренним радиусом и внешним . Допустим, что на внутреннюю и внешнюю поверхности трубы действуют равномерные давления и соответственно. Будем считать, что внутри трубы находится агрессивная среда, проникновение которой (или ее элементов) в тело трубы приводит к изменению прочностных свойств материалов [1-4]. Таким образом, материал трубы следует считать неоднородным, причем эта неоднородность, вследствие круговой симметрии, зависит от радиальной координаты. Помимо этого, полагаем, что в продольном направлении действует сила F.

Концентрацию элементов агрессивной среды в стенках трубы будем считать известной функцией радиуса [3;4]. Не рассматривая пока вопроса об определении зависимости механических свойств материала от концентрации в нем агрессивной среды, неоднородность упругих свойств деформируемого материала зададим в виде зависимости модуля Юнга от радиуса : (в предположении постоянства коэффициента Пуассона ). Тогда модуль сдвига, связанный с модулем Юнга соотношением , также является функцией от радиуса. Предположим, что нам известен вид функции , тогда модуль Юнга определяется однозначно. Для удобства анализа получаемых результатов все величины используются в безразмерной форме.

Введем цилиндрическую систему координат , располагая координатную ось вдоль оси трубы. Ввиду осевой симметрии радиальное перемещение представим в виде , окружные перемещения положим равными нулю, а осевую деформацию считаем постоянной. Таким образом, ненулевые компоненты тензора деформаций определяются соотношениями

. (1)

Соотношения закона Гука для компонент тензора напряжений запишем в виде

,

, (2)

.

Подставляя выражения для компонент напряжений (2) в уравнение равновесия

,

получим уравнение относительно радиального перемещения [5]:

. (3)

Уравнение (3) будем решать методом последовательных приближений [5]. С этой целью представим его в виде

(4)

Нетрудно видеть, что общее решение уравнения (4) имеет вид

, (5)

где - постоянные интегрирования. В качестве нулевого приближения выбираем решение соответствующей задачи для однородного материала при постоянном значении модуля Юнга: .

Для определения коэффициентов и значения деформации в каждом приближении, а также для определения и используем граничные условия

,

.

При учете выражений (1), (2) и соотношения (5), которое записываем в виде

,

указанные граничные условия в общем виде приводятся к системе трех уравнений:

,

, (6)

,

где

, ,

, ,

, .

Полагая при определении нулевого приближения const, систему (6) приводим к виду

,

,

.

Решение этой системы имеет вид

,

,

,

где

.

Полученное решение позволяет определить вид функции , установить значение постоянной и приступить далее к определению постоянных и т.д.

Входящие в соотношение (5) коэффициенты и при по абсолютной величине меньше единицы. Поэтому при интегрируемости подынтегральных выражений в соотношении (5) последовательность значений может быть мажорирована последовательностью членов сходящейся геометрической прогрессии, что обеспечивает равномерную сходимость искомой последовательности компонент вектора перемещений для любого .

Примеры использования модели. В качестве примеров реализации рассмотренной процедуры последовательных приближений определим напряжения в толстостенной трубе из неоднородного упругого материала, подверженной действию равномерного внутреннего давления в первом случае и продольному растяжению под действием заданной постоянной силы - во втором.

Для определенности будем рассматривать неоднородный материал, модуль сдвига которого выражается соотношением

. (7)

Вид неоднородности в этом выражении может варьироваться путем изменения значений параметров .

При применении различного рода математических пакетов для персональных компьютеров при проведении вычислений вместо функций и удобно использовать соответствующие разложения:

, (8)

. (9)

Отметим, что разложение (8) с приемлемой для практических приложений точностью аппроксимирует функцию (7) уже при . Обратим также внимание на то, что один из рядов - (8) или (9) - является знакочередующимся, другой - знакопостоянным. Отсюда, исходя из теоремы Лейбница и остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, можно заключить, что для одинаковой по абсолютному значению точности представления обоих разложений в знакопостоянном ряде следует выбрать на один член больше.

Полагая, что внутри трубы (внутренний радиус - a=1, внешний - b=5) находится агрессивная среда, приводящая к снижению прочностных характеристик материала, положим параметр k=-0,5. Рассмотрим четыре значения параметра i - - при . Графики зависимости от для данных значений параметра приведены на рис.1.

Рис. 1. Зависимость модуля сдвига м от радиуса при различных значениях параметра i

Рассмотрим подробно процедуру последовательных приближений для первого случая при . Нулевое приближение находим для однородного материала при . При этом , , . Далее последовательно получаем , , в первом приближении и , , - во втором. В двух последующих приближениях соответственно имеем , , и , , . Представленные данные наглядно свидетельствуют о сходимости процедуры последовательных приближений для заданных параметров.

Приводимые распределения напряжений (рис. 2а), (рис. 2б) и (рис. 2в) в зависимости от радиуса в случае действия внутреннего давления для указанных на рис. 1 видов неоднородного материала свидетельствуют о том, что наибольшее влияние неоднородность оказывает на компоненты напряжений и и практически не оказывает никакого влияния на .

При одноосном растяжении трубы в продольном направлении (в расчетах использованы те же параметры трубы, но для нагрузки ) наиболее заметно влияние неоднородности на распределение напряжений (рис. 2г). Влияние неоднородности на значения двух других компонент напряжений незначительно, и им можно пренебречь.

Рис. 2. Зависимость компонент тензора напряжения у от радиуса:. а, б, в -- соответственно радиальная, окружная и осевая компоненты тензора в случае действия внутреннего давления; г -- осевая компонента при одноосном растяжении в продольном направлении; Ї i = 1; ? Ї i = 2; + Ї i = 3; _ Ї i = 4

Принимаемые для упрощения изложения предположения, несмотря на свою ограниченность, тем не менее, непосредственно применимы для оценки напряженно-деформированного состояния технических сооружений определенного вида. Данная модель позволяет прогнозировать напряженно-деформированное состояние тел с учетом факторов внешнего воздействия на конструкции и сооружения. Другой сферой применения модели может служить верификация иных приближенных методов решения задач теории упругости неоднородных тел.

Список литературы

напряжение труба упругий пуассон

1. Колчин, Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов / Г.Б. Колчин. - Кишинев: Картя Молдовеняскэ, 1971. - 172с.

2. Ломакин, В.А. Теория упругости неоднородных тел / В.А. Ломакин. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 367с.

3. Локощенко, А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов в агрессивных средах / А.М. Локощенко. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. - 178с.

4. Локощенко, А.М. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов / А.М. Локощенко. - М.: МГИУ, 2007. - 264с.

5. Шарафутдинов, Г.З. Некоторые осесимметричные задачи для упругой неоднородной толстостенной трубы / Г.З. Шарафутдинов //Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика. - 2008. - №2. - С. 34-39.

Размещено на Allbest.ru