Повышение точности расчета пластинчато-стержневых систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 539.3

Повышение точности расчета пластинчато-стержневых систем

И.Н. Серпик, М.В. Швыряев, А.Г. Башмаков

Аннотация

аппроксимация стержневой деформация пластинчатый

Разработана уточненная схема аппроксимации перемещений в стержнях, эксцентрично подкрепляющих тонкую плоскую обшивку. Приведен пример расчета пластинчато-стержневой системы, результаты которого подтверждают эффективность предлагаемого подхода к анализу деформаций объектов такого типа.

Ключевые слова: пластины, стержни, пластинчато-стержневые системы, метод конечных элементов, аппроксимация перемещений.

Пластинчато-стержневые конечноэлементные модели широко используются при расчетах несущих систем в машиностроении, судостроении, строительстве и многих других областях техники. В современных программных комплексах конечноэлементного анализа [1-3] аппроксимация перемещений в стержнях пластинчато-стержневых конструкций обычно осуществляется с помощью тех же схем, что и при расчете систем, состоящих только из стержней. При таком подходе для стержней, эксцентрично присоединенных к обшивке, могут возникать существенные проблемы, связанные со скачками внутренних усилий в узлах.

В настоящей работе решается вопрос снижения погрешностей описания деформаций и внутренних усилий в пластинчато-стержневых объектах при эксцентричной связи стержней с обшивкой на основе модификации процедуры описания перемещений в стержнях. Предлагаемый подход предусматривает аппроксимацию перемещений в стержневом конечном элементе по отрезку, вдоль которого получается относительно небольшое изменение нормальных напряжений. При этом удается значительно снизить скачки внутренних усилий в стержнях по узловым сечениям.

Построим стержневой конечный элемент с учетом возможности варьирования положения отрезка, для которого реализуется аппроксимация обобщенных перемещений. Пусть стержень имеет постоянное по длине поперечное сечение с главными центральными осями Cy и Cz (рис. 1). Ось Сz параллельна срединной плоскости подкрепляемой обшивки. Полагаем, что стержень может быть подвергнут растяжению-сжатию, поперечному изгибу в двух главных плоскостях и чистому кручению. Центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.

Первоначально рассмотрим описание деформаций изгиба стержня в плоскости Cxy и растяжения-сжатия. Продольные перемещения будем аппроксимировать вдоль отрезка бв (рис. 2). Перемещение в направлении оси x точки, лежащей на оси Cx стержня, представим выражением

,(1)

где - проекция на ось Cx перемещения точки отрезка бв для рассматриваемого поперечного сечения стержня; - проекция вектора на ось Cy; - угол поворота данного сечения относительно оси Oz.

Согласно рис. 2, представим величину в виде

,(2)

где ; l - длина конечного элемента; ; и - значения для узлов 1 и 2.

Рис. 1. Соединение стержня 1 с тонким листом 2: C - центр тяжести сечения стержня; - вектор эксцентриситета присоединения стержня к обшивке

Рис. 2. Плоский стержневой конечный элемент: 1 и 2 - узлы; К - жесткие консоли

Вектор обобщенных деформаций запишем следующим образом:

,(3)

где - относительная линейная деформация вдоль оси стержня; - деформация изгиба стержня; - проекция перемещения на ось Cy.

На основании зависимостей (1 - 3) и соотношения получим

.(4)

Вектор узловых перемещений плоского стержневого конечного элемента представим таким образом:

, (5)

где - перемещения , и угол поворота для узла i (i = 1, 2).

Затем необходимо выполнить переход к вектору узловых перемещений

,

используя жесткие консоли К на отрезках 1-б и 2-в (рис. 2). Здесь , - проекции перемещений узловых точек 1, 2 на ось Cx.

Аппроксимируем перемещение по линейному закону, а - с помощью полинома третьей степени [4]. Тогда матрица деформаций [5] конечного элемента с учетом зависимости (4) будет определяться равенством

,(6)

где

(7)

.

Вектор обобщенных напряжений запишем таким образом:

,(8)

где N - продольная сила; - изгибающий момент относительно оси Cz.

С учетом равенств (3) и (8) получим матрицу упругости [5] конечного элемента:

,(9)

где E - модуль упругости материала; A₀ - площадь поперечного сечения стержня; - момент инерции поперечного сечения относительно оси Cz.

В соответствии с формулами (3 - 9) внутренние усилия , в сечениях по узлам 1, 2 можно определить следующими зависимостями:

;

,

где матрицы

;

.

Матрицу жесткости такого конечного элемента будем находить путем численного интегрирования на основе известной зависимости [5]

.

При описании пространственных деформаций стержня вектор узловых перемещений конечного элемента запишем таким образом:

,

где вектор перемещений

;

- значения проекции w вектора перемещения узла i на ось Cz и углов поворота , поперечного сечения в этом узле относительно осей Cx и Cy (i =1, 2).

При этом общая матрица жесткости будет определяться выражением

,

где - матрица жесткости плоского конечного элемента для вектора узловых перемещений ; - матрица, связанная с деформациями изгиба в плоскости Cxz и чистого кручения.

Матрица вычисляется на основе метода перемещений [4] с учетом эксцентричного присоединения стержня к узлам.

Из линейной аппроксимации функции следует, что деформация вдоль отрезка бв принимается в конечном элементе постоянной. Поэтому можно снизить погрешность аппроксимации перемещений, если положение точек б и в подобрать таким образом, чтобы минимизировать разность между значениями нормальных напряжений , в этих точках:

.(10)

Далее полагаем, что . Преобразуем условие (10) к виду

,(11)

откуда получим, что при требуемый минимум будет достигнут при

.(12)

Если , для любого значения выполняется равенство .

Расчеты показывают, что путем нескольких последовательных приближений удается добиться быстрого удовлетворения условия (11) с достаточно высокой точностью. При этом в 1-м приближении можно выполнить расчет конструкции при произвольных значениях . В каждом последующем приближении k расчет дискретизированного объекта реализуется на основе величин , которые определяются с помощью зависимости (12) по значениям внутренних усилий, найденным в предыдущем k-1 приближении.

Рассмотрим использование зависимости (12) на примере расчета половины симметричной системы, в которой два стержня эксцентрично подкрепляют лист обшивки (рис. 3). Кромка AD пластины защемлена, кромки AB, BC, CD свободны. Задавалось: толщина листа h = 3 мм; сечение стержней - квадратная труба 60х60х3 мм; материал листа и стержня - сталь с модулем упругости Е=2,06·10⁵ МПа и коэффициентом Пуассона = 0,3. На пластину в точках B и C действуют сосредоточенные силы F = 1 кH.

Работа обшивки моделировалась с помощью треугольных трехузловых конечных элементов, в которых мембранные перемещения аппроксимировались по линейному закону, а прогиб - на основе методики, представленной в работе [6]. Рассматривались равномерные сетки H_j (j = 1, 2, …) конечных элементов разной густоты. На рис. 3 сплошными толстыми линиями показана сетка H₁, сплошными толстыми и тонкими линиями - сетка H₂, сплошными и штриховыми линиями - сетка H₃. Выполнение последовательных приближений для дало на сетке H₁ значение = 21,6 мм, что соответствует положению отрезка бв на уровне центра тяжести поперечных сечений условных стержней, включающих подкрепляющий стержень и присоединенные к нему участки обшивки. Для сетки H₂ величины расходились с этим значением не более чем на 13%, для H₃ - на 19%, для H₄ - на 25%. Решения, найденные на основе последовательных приближений, сопоставлялись с данными, полученными при использовании величины для всех стержневых конечных элементов, и с результатами, установленными для тех же сеток с помощью пакета конечноэлементного анализа NASTRAN NX 7.5. В этом пакете треугольные трехузловые конечные элементы пластин близки по точности к используемому нами подходу к описанию деформаций тонкой обшивки, а для моделирования стержней применяются классические конечные элементы, в которых продольные перемещения аппроксимируются по оси стержня.

Рис. 3. Подкрепленная консольная пластина: 1 - стержни; 2 - обшивка

На рис. 4 проиллюстрирована скорость сходимости рассматриваемых решений для вертикального перемещения точки B по мере сгущения сеток. Штриховой линией здесь и на последующих графиках отражены результаты, полученные с помощью пакета NASTRAN NX 7.5 для уточненной мелкой сетки H_L, дальнейшее сгущение которой не приводит к сколько-нибудь значительным изменениям результатов счета.

Как видно из рис. 4, помещение отрезков бв на уровень центров тяжести стержней с приведенной обшивкой дает результаты, близкие к перемещениям, найденным при использовании формулы (12). В обоих этих расчетах точность определения прогиба в точке B получилась для относительно крупных сеток значительно более высокой, чем в программе NASTRAN NX 7.5.

Рис. 4. Вертикальное перемещение стержня в узле B

Следует отметить, что результаты расчетов при в целом несущественно отличались от данных, полученных путем последовательных приближений. Это свидетельствует о том, что значение для практических целей можно применять при задании рационального положения отрезка бв. Рассмотрим эффективность введения с точки зрения определения внутренних усилий в стержнях. На рис. 5 приведены эпюры продольных сил и изгибающих моментов в стержне AB, найденные для сеток H₂ и H₃. Очевидно, что предлагаемая нами аппроксимация перемещений позволила существенно снизить скачки внутренних усилий по сравнению с традиционной схемой дискретизации стержней в пластинчато-стержневых системах.

а)

Сетка H₂Сетка H₃

б)

Сетка H₂Сетка H₃

Рис. 5. Эпюры внутренних силовых факторов в стержне: а - расчет в пакете Nastran NX 7.5; б - расчет при d_y = d_yo с помощью разработанного стержневого конечного элемента

Итак, предложена методика описания деформаций в стержнях пластинчато-стержневых конструкций, предусматривающая определение рационального положения отрезка, вдоль которого описываются продольные перемещения. При этом для случая эксцентричного присоединения стержней к обшивке удается добиться существенного повышения точности расчетов по сравнению с широко используемой моделью стержневого конечного элемента, предусматривающей аппроксимацию продольных перемещений по оси стержня.

Список литературы

1. Басов, К.А. ANSYS для конструкторов / К.А. Басов. - М.: ДМК Пресс, 2009. - 248 с.

2. Рычков, С.П. MSC.visualNASTRAN для Windows / С.П. Рычков. - М.: НТ Пресс, 2004. - 552 с.

3. Шимкович, Д.Г. Femap & Nastran. Инженерный анализ методом конечных элементов / Д.Г. Шимкович. - М: ДМК Пресс, 2008. - 697 с.

4. Агапов, В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций: учеб. пособие / В.П. Агапов. - М.: АСВ, 2000. - 152 с.

5. Zienkiewicz, O.C. The finite element method. Vol. 2. Solid mechanics / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - Oxford: Butterworth-Heinemann, 2005. - 459 p.

6. Serpik, I.N. Development of a new finite element for plate and shell analysis by application of generalized approach to patch test / I.N. Serpik // Finite Elements in Analysis & Design. - 2010. - Vol. 46. - № 11. - P. 1017-1030.

Материал поступил в редколлегию 11.09.12.

Размещено на Allbest.ru