Контактная механика фрактальных поверхностей

Размещено на http://allbest.ru

Брянский государственный технический университет

УДК 621.891

Контактная механика фрактальных поверхностей Вестник Брянского государственного технического университета. 2015. № 1(45)

В.П. Тихомиров, М.А. Измеров

Введение

При решении трибологических задач представляется важным определить параметры контактного взаимодействия с учетом наличия шероховатости. Решение подобных задач требует разработки моделей реальных поверхностей и их контактного взаимодействия. При этом принимаются допущения, которые снижают ценность моделей. Критерием адекватности модели реальной поверхности служит либо одинаковость распределения материала в шероховатом слое [1], либо плотность вершин выступов [2]. В ряде случаев при разработке моделей поверхностей полагают постоянство радиусов закругления верхней части выступов, при этом законы распределения вершин выступов могут быть разными. Обзор моделей контактного взаимодействия шероховатых поверхностей представлен в работе [3].

Модель Гринвуда-Вильямсона [2] ограничивалась рассмотрением упругого контакта шероховатых поверхностей. Дальнейшие работы учитывали наличие контактов с пластическим состоянием [4], анизотропию поверхности [5] и другие особенности контактного взаимодействия [6].

Особенности фрактального подхода [7 - 9 и др.] позволяют исключить некоторые недостаточно обоснованные допущения, в частности: постоянство радиуса закругления верхней части неровностей и его независимость от величины сближения; введение в модель контактного взаимодействия таких факторов, не зависящих от масштаба (скейлинга), как фрактальная размерность и фрактальный параметр поверхности. При этом возможно использовать ЭВМ для автоматизации и ускорения расчётов, что немаловажно при решении контактных задач в 3D на больших участках поверхности с высокой детализацией.

Связь фрактального и статистического методов

Моделирование инженерной поверхности возможно при установлении связи фрактальной размерности с параметрами шероховатости инженерных поверхностей. В ряде случаев требуется использовать данные об инженерных поверхностях и их параметрах, которые не содержат оценку фрактальной размерности.

К параметрам фрактальной поверхности, не зависящим от шкалы измерения, относят ее размерность и фрактальный параметр. Фрактальные размерности поверхности и ее профиля (по мнению Б. Мандельброта) связаны следующим соотношением:

D_S=D+1.

Мощность спектральной функции Вейерштрасса-Мандельброта для профиля поверхности определяется выражением

Параметр G можно определить из уравнения

Для профиля поверхности фрактальная размерность определяется угловым коэффициентом K (наклоном прямой, построенной в координатах lgS-lgщ).

Тогда фрактальная размерность для изотропной поверхности, параметры шероховатости которой можно определить по одной профилограмме, равна

Учитывая, что G=f(Rq), после несложных преобразований получим

Проинтегрировав, получим

откуда фрактальный параметр G будет равен

Параметр G (по данным Д. Павелеску и А. Тудора [10]) изменяется в пределах от 9,9·10^-16 до 1,2·10^-2 мкм, что подтверждает представленная зависимость, выведенная нами.

В работе [10] отмечается существенная разница в оценке параметров шероховатости при использовании фрактального и статистического методов. В таблице приведены некоторые формулы для определения параметров шероховатости.

Таблица

Сравнительная оценка параметров шероховатости

Нахождение фрактальной размерности D возможно и на основе установления связи с такими параметрами шероховатости, как среднее арифметическое отклонение профиля Ra и среднее квадратическое отклонение профиля Rq. Подобные зависимости получены на основе обработки экспериментальных данных некоторых инженерных поверхностей [9; 11; 12]. Сравнение этих зависимостей показывает их удовлетворительное соответствие в диапазоне Ra ?[0,2…1,3].

Моделирование фрактальных поверхностей

Модель фрактальной поверхности может быть представлена следующим выражением [13]:

Здесь с_z - сомножитель; q>1 - параметр пространственно-частотного масштабирования; Ds - фрактальная размерность (2<D<3); N,M - число гармоник; K - основное пространственное волновое число; и_nm - случайная фаза, распределенная равномерно в интервале [-р, +р].

Сомножитель c_z можно определить из соотношения

На рис. 1 представлена модель поверхности, построенная при следующих данных: q =2,7; K=1; N=M=3; и_n,m~Rav[0,р]; D_S=2,17.

Рис. 1. Модель поверхности

К алгоритмам моделирования фрактальных поверхностей можно отнести метод последовательного случайного сложения, предложенный Р.Ф. Фоссом, а также метод серединного смещения, применяя которые можно получить достаточно детализированную картину поверхности в объёме (3D). Все эти алгоритмы были нами опробованы и протестированы. Составленная на языке программирования С++ программа даёт возможность не только увидеть в 3D смоделированную поверхность с её параметрами шероховатости, но и провести компьютерный эксперимент по контактированию двух шероховатых поверхностей (рис. 2).

Рис. 2. Контактирование двух моделей поверхностей

Адекватность модели реальной поверхности

Моделирование фрактальных поверхностей и построение базы поверхностей позволяет за сравнительно короткое время с помощью компьютерных технологий провести оценку параметров, необходимых для практических задач. Важной является проверка адекватности модели реальной поверхности. Нами предложены критерии сравнения модели поверхности с оригиналом.

а) б)

Рис. 3. Моделирование инженерной поверхности: а - реальная поверхность; б - модель

На рис. 3 представлены реальная поверхность и ее модель. Сравнение спектральной плотности реальной поверхности и модели (рис. 4) является одним из обоснований их адекватности.

Рис. 4. Спектральная плотность: а - реальная поверхность; б - модель

Так как важную роль играют такие параметры, как среднее квадратическое отклонение высот неровностей поверхности и фрактальный фактор G, то в дополнение к фрактальной размерности D_S предлагается следующий критерий адекватности:

где Ra - среднее арифметическое отклонение ординат; Rq - среднее квадратическое отклонение.

Критерий можно представить в виде следующего выражения:

Здесь G - фрактальный фактор; г - величина, равная 1,5 (по А. Маджумдару); щ - частота.

Для представленных на рис. 3 поверхностей критерий р принял следующие значения: р =0,085816 - для реальной поверхности; р = 0,08248 - для модели. Критерий р показывает хорошую сходимость полученных результатов, свидетельствуя о том, что эти две поверхности идентичны.

Контактная механика фрактальных поверхностей

Для единичного пятна связь между нагрузкой и площадью соответственно при упругом и пластическом состояниях имеет вид

где

Учитывая, что запишем:

где

Для множественного контакта найдем нагрузку, воспринимаемую упруго деформированными пятнами:

Здесь - переменная интегрирования. Число пятен контакта определяется выражением

Подставив число пятен в формулу для , после несложных преобразований получим

Проинтегрировав это выражение, окончательно запишем:

Нагрузка, приходящаяся на пятна, находящиеся в пластическом состоянии, оценивается соотношением

Кроме пятен, находящихся в упругом и пластическом состояниях, имеются пятна в упругопластическом состоянии (e-p-контакт). Изучение упругопластической деформации при контакте полусферы с жесткой плоскостью с помощью метода конечных элементов [14] позволило записать соотношения между нагрузкой и относительной деформацией в следующем виде:

· для случая

· для случая

.

Из условия равновесия найдем

Площади упруго, упругопластически и пластически деформируемых пятен соответственно равны

Если какая-либо часть фактической площади контакта окажется отрицательной, то ее не следует учитывать при оценке всей площади контакта.

Интерес представляет сравнение оценок фактической площади контакта, полученных по формулам

и

Номинальная площадь равна

Номинальное давление при задаваемой величине номинальной площади равно

Сближение можно найти из соотношения

где

При контактном взаимодействии анизотропных поверхностей пятна контакта существенно отличаются по форме от круга. В этом случае, используя компьютерное моделирование, найдем в графической форме зависимости контурной площади сопряжения от сближения при любой форме пятен касания.

Тогда несущая способность контакта при заданной нагрузке определяется одной и той же контурной площадью, которая соответствует разным сближениям и другим параметрам контактного взаимодействия. Процедура определения сближения для разных сочетаний поверхностей понятна из рис. 5.

Рис. 5. Зависимость контурной площади от относительного сближения б*=б/Rp

Таким образом, выполнена сравнительная оценка параметров инженерной поверхности, полученных с помощью фрактальных представлений и методом статистического анализа.

Используя фрактальные представления о геометрии шероховатой поверхности, можно создать трёхмерную компьютерную модель контакта и провести компьютерный эксперимент по деформированию сопряжённых поверхностей с расчётом основных параметров контактирования.

Установленные зависимости позволяют определить такие параметры контактного взаимодействия, как фактическая площадь контакта, контактная жесткость и др.

С помощью представлений о шероховатом слое как о фрактальном объекте рассмотрен вопрос замены контакта шероховатых поверхностей на контактное взаимодействие гладкой поверхности с поверхностью, имеющей эквивалентные параметры шероховатости.

шероховатый фрактальный упругопластический деформация

Список литературы

1. Демкин, Н.Б. Развитие теории фрикционного контакта/Н.Б. Демкин//Трение и износ.?1992. - Т. 13.?№1.? С.71-80.

2. Greenwood, J.A. Contact of nominally flat surfaces/J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson//Proc. Royal Soc. London.Ser. A. - 1966.?V. 293.?P. 300-319.

3. Bhushan, B. Contact mechanics of rough surfaces in tribology: Multiple asperity contact/B. Bhushan//Tribology Letters.?1998.?V.4.?P. 1-35.

4. Chang, W, An elastic-plastic model for the contact of rough surfaces/ W. Chang, I. Etsion, D. Bogy// Journal of Tribology.?1987.?V. 109.?P. 257-263.

5. Bush, A. Strongly anisotropic rough surfaces/ A. Bush, R. Gibson, G. Klogh//Journal of Lubrication Technology. - 1979.?V. 101.? P. 15-20.

6. Горячева, И.Г. Механика фрикционного контакта/И.Г. Горячева.?М.: Наука, 2001. - 479 с.

7. Маджумдар, А. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей /А. Маджумдар, Б. Бхушан//Современное машиностроение. Сер. Б.?1991.?№6.? С.11-23.

8. Ganti, S. Generalized fractal analysis and its application to engineering surfaces/ S. Ganti, B. Bhushan//Wear.?1995.?V. 180.?P. 17-34.

9. Тихомиров, В.П. Контактное взаимодействие фрактальных поверхностей/ В.П. Тихомиров// Трение и износ.?1997.?Т.18. - №3. - С.369-374.

10. Pavelescu, D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors/D.Pavelescu, A. Tudor//Proceedings of the Romanian Academy. Ser. A. - 2004. -Vol. 5. -№2.

11. Barman, T.K. Fractal relation with conventional roughness parameters for surface topography generated in grinding/T.K. Barman, P. Sahoo// Proc. of the Intern. Conf. of Mech. Engineering. - Dhaka, Bangladesh, 2005. -P.1-5.

12. Лабутин, И.С. Связь шероховатости и фрактальной размерности для односвязных поверхностей//И.С. Лабутин, В.В. Брюханов//Изв. КТГУ. - 2006.-№ 10.

13. Потапов, А.А. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью / А.А. Потапов, А.В. Лактюнькин// Нелинейный мир. - 2001.-Т. 6. - № 6. - С. 3-36.

14. Jackson, R.L. A Finite element study of elastic-plastic hemispherical contact against a rigid flat / R. L. Jackson, I. Green//Journal of Tribology. - 2005. - V. 127. - P.343-354.

Аннотация

УДК 621.891

Контактная механика фрактальных поверхностей. В.П. Тихомиров, М.А. Измеров

Показана связь классического статистического метода оценки геометрии шероховатых поверхностей и фрактального подхода. Описаны процедуры моделирования фрактальных поверхностей. Адекватность моделей реальным поверхностям проверена по спектральной плотности и предложенному критерию адекватности. Получена связь между деформацией микронеровности и нагрузкой, дающая полную картину упруго-пластического состояния пятна контакта при заданном сближении.

Ключевые слова: контактная механика, фрактальные поверхности, зазор, фрактальная размерность, спектральная плотность, моделирование поверхностей, деформация.

Размещено на Allbest.ru