Размещено на http://www.allbest.ru/

Вестник Брянского государственного технического университета. 2009. № 2(22)

57

Моделирование температурных полей в деталях дискового тормоза

М.А. Моисеенко, В.И. Сакало

На основе решения уравнения нестационарной теплопроводности в движущейся среде методом прямого математического моделирования разработана методика определения полей температур и напряжений, возникающих в процессе торможения в деталях дискового тормоза скоростного вагона.

Ключевые слова: нестационарное температурное поле, дисковый тормоз, прямое математическое моделирование.

Одним из условий безопасности железнодорожных перевозок является обеспечение высокой надежности тормозных систем. Их проектирование и доводка невозможны без использования современных методов расчета. Однако из-за сложности математического описания процесса теплообмена при торможении моделирование температурных полей в деталях тормоза связано с большими трудностями. Актуальность этой проблемы объясняется тем, что ошибки в определении температурного поля ведут к накоплению ошибок при последующем определении температурных напряжений, деформаций ползучести и термопластичности, которые в конечном итоге приводят к существенной ошибке при оценках надежности и в прогнозах ресурса деталей тормоза. Поясним суть и состояние рассматриваемой проблемы.

Механическая часть дискового тормоза состоит из подвижных (диска тормоза) и неподвижных (башмака и колодки с накладками) деталей. При торможении они приводятся в соприкосновение. В результате совершения работы сил трения в зоне фрикционного контакта происходит интенсивное выделение тепла. Его большая часть отводится в детали тормоза.

В настоящее время нет математической модели, позволяющей адекватно описать процессы теплообмена, происходящие при торможении. Вместо нее предлагают модели, упрощенно описывающие подвод тепла к отдельным деталям тормоза. В соответствии с этими упрощениями предполагают, что температурное поле детали обладает угловой симметрией, а долю тепла, отводимого каждой деталью тормоза, учитывают c помощью коэффициента распределения тепловых потоков. Этот коэффициент определяется эмпирическим путем. От точности его определения зависит точность результатов расчета.

Ориентировочные значения коэффициента распределения тепловых потоков известны только для некоторых конструкций колодочного тормоза. Для дисковых тормозов таких данных нет.

Большая неопределенность при выборе граничных условий и, следовательно, низкая достоверность расчета значений температур - еще не главный недостаток таких моделей. С ним можно было бы мириться при проведении многовариантных расчетов с целью оптимизации конструкции тормоза. Однако модели, основанные на предположении об угловой симметрии полей температур, дают качественно неправильную картину их распределения в теле детали. Этот недостаток намного серьезнее. Его причина - некорректная постановка задачи.

Действительно, можно предположить, что геометрическая форма вращающихся деталей тормозов обладает угловой симметрией. Однако этого еще недостаточно для того, чтобы можно было использовать осесимметричную модель для их расчета. Необходимо, чтобы и нагрузки, действующие на деталь, обладали этим свойством. А это условие не выполняется.

Детальные исследования давлений в зоне фрикционного контакта дискового тормоза [14] показали, что эпюры давлений на поверхностях трения не имеют какой-либо симметрии. Это обусловлено многими факторами, в том числе и действием опрокидывающего момента.

В свою очередь, интенсивность тепловыделения в зоне фрикционного контакта пропорциональна давлению на поверхности контакта:

, (1)

где - коэффициент трения; - относительная скорость скольжения трущихся поверхностей.

Следовательно, и распределение тепловых потоков не обладает осевой симметрией. Чтобы придать распределению тепловых потоков осевую симметрию, применяют следующий прием.

Эпюры давлений, полученные из решения контактной задачи, усредняют по окружности. Для этого вводят понятие коэффициента перекрытия . Он равен отношению длин участка, на котором осуществляется подвод тепла (), и окружности радиуса . С его помощью определяют эквивалентную удельную мощность тепловых источников, равномерно распределенных по окружности радиуса [14].

Такой способ преобразования граничных условий используется во многих работах, посвященных расчету температурных полей в деталях тормоза. Однако усреднение тепловых потоков приводит к тому, что решение суррогатной задачи существенно отличается от решения исходной задачи. Это легко установить, если воспользоваться методами теории подобия.

Числа Кирпичева и Фурье для исходной (,) и суррогатной (,) задач различны. Связь между ними можно выразить через коэффициент перекрытия следующим образом:

дисковый тормоз теплопроводность температура

.

Для существующих конструкций тормозных устройств железнодорожного подвижного состава значение коэффициента перекрытия лежит в пределах 0,1...0,3. Следовательно, исходная задача подменяется задачей, в которой тепло подводится с меньшей в несколько раз интенсивностью, а время теплового воздействия в несколько раз больше. Поэтому решение суррогатной задачи всегда будет отличаться более низкими градиентами температуры и значительно большей глубиной прогрева детали.

Игнорирование конвективного переноса тепла, как одного из наиболее существенных физических процессов, происходящих при торможении, является главной причиной неадекватности математических моделей, используемых в настоящее время при расчете температурных полей в деталях тормоза. Конвективный перенос тепла обусловлен вращением деталей тормоза. Для его моделирования необходимо использовать уравнение нестационарной теплопроводности в движущейся среде [11]:

, (2)

где - температура; - время; - удельная теплоемкость; - плотность материала; - скорость движения среды; - матрица теплопроводности (в общем случае тензор второго ранга); - мощность внутренних источников тепла; и - соответственно дивергенция и градиент.

Если математическую модель переноса тепла при торможении строить на основании уравнения (2), то становятся ненужными многие допущения. При такой постановке задачи диск, башмак и колодку с накладками можно рассматривать как одно сплошное тело (точнее, как неоднородную сплошную среду). Поэтому отпадает необходимость в использовании коэффициента распределения тепловых потоков и допущения об осевой симметрии температурного поля диска тормоза.

Для моделирования тепловыделения в зоне фрикционного контакта введем на границе контакта диска и накладки внутренний распределенный источник тепла. Его интенсивность будем рассчитывать по формуле (1).

Такой способ моделирования теплообмена при трении подробно рассматривается в работе В. М. Александрова и М. И. Чебакова [1]. Авторы считают, что тепловыделение происходит не на поверхности контакта, а в тонком слое, примыкающем к ней, который они называют «третьим телом». Теплофизические свойства этого слоя из-за наличия продуктов износа, шероховатостей поверхностей контакта и существования множества мельчайших дефектов вблизи этих поверхностей (микроповреждений и трещин) весьма неоднородны по толщине и существенно отличаются от свойств тел, образующих пару трения.

В настоящем исследовании теплопроводность контактного слоя считалась анизотропной. По толщине контактного слоя коэффициент теплопроводности определялся как величина, обратная термическому сопротивлению, которое рассчитывалось по формулам, приведенным в работе В. М. Попова [9]. При этом учитывались шероховатость поверхностей и величина давления в зоне контакта. В других направлениях коэффициент теплопроводности рассчитывался на основе гипотезы объёмных долей.

Для определения давлений между накладками и диском дискового тормоза решалась контактная задача. Сложность ее решения состоит в том, что в процессе торможения из-за нагревания деталей тормоза распределение контактных давлений может существенно меняться. Методик решения контактных задач в такой постановке в настоящее время нет. Однако при небольшой модификации релаксационный метод [10] может с успехом справиться с этой задачей. В сочетании с методом суперэлементов (СЭ) он позволяет понизить размерность решаемых на каждой итерации систем уравнений.

В представленной работе релаксационный метод использовался только для определения давлений в зоне фрикционного контакта. На поверхностях сопряжения, находящихся вне зоны действия высоких температур (например, между накладками и деталями башмака), были использованы специальные контактные элементы, основанные на концепции «псевдосреды» [2].

Решение уравнения (2) возможно только численными методами, среди которых наибольшей популярностью пользуется метод конечных элементов (МКЭ). Однако МКЭ обеспечивает приемлемую точность только при моделировании стационарных и медленно меняющихся температурных полей.

Это известная проблема [13]. Она состоит в том, что в результате конечноэлементной дискретизации уравнения (2) получается очень жесткая система обыкновенных дифференциальных уравнений. По этой причине для решения нестационарных задач с быстро меняющимися краевыми условиями необходимо применять специальные методы. Обычно они строятся на основе неявных многостадийных схем Рунге-Кутты второго [4] и третьего порядков точности [5]. Эти методы обладают свойствами A- и L-устойчивости [15] и позволяют получать решение уравнения (2) с высокой точностью, но при их использовании приходится выполнять большой объем вычислений. Поэтому при разработке специализированного комплекса программ для моделирования полей температур и напряжений в деталях дискового тормоза большое внимание было уделено вопросу повышения эффективности реализации МКЭ в трехмерной постановке.

Один из наиболее эффективных путей снижения объема вычислений при реализации трехмерных моделей состоит в использовании конечных элементов высоких порядков точности [6]. Однако в практике расчетов эти элементы используются сравнительно редко, а главное - крайне неэффективно. Это объясняется тем, что существующие реализации МКЭ, в том числе и ставшие индустриальными стандартами (ANSYS, NASTRAN [16]), предоставляют своим пользователям очень ограниченный выбор элементов высоких порядков точности. Как правило, это элементы второго порядка точности. Элементы третьего и более высоких порядков точности включаются в библиотеки элементов программных комплексов очень редко.

Методические вопросы, связанные с использованием элементов высоких порядков точности для расчета сложных конструкций, разработаны тоже очень слабо. Применение таких элементов имеет свои особенности. В отличие от простейших (линейных) элементов использование только одного типа элемента высокого порядка точности для аппроксимации всей конструкции нерационально. При анализе прочности детали интерес представляют экстремальные значения напряжений или температур. Их локализация (концентрация) происходит в сравнительно небольших областях (зонах) детали. Для аппроксимации исследуемой функции в этих областях и следует использовать элементы высокой точности. Тогда возникает вопрос: каким образом аппроксимировать исследуемую функцию вне этих зон? Ответом на него может стать использование переходных элементов [6;7].

Переходные элементы имеют произвольное число промежуточных узлов на ребрах, потому с их помощью очень легко строить модели, состоящие из элементов различных порядков точности. Например, в местах высоких градиентов температуры или концентрации напряжений можно, не прибегая к сгущению конечноэлементной сетки, повысить точность аппроксимации (причем избирательно и в нужном направлении) очень простым способом. Он состоит в увеличении числа промежуточных узлов на соответствующих ребрах элемента.

Чтобы в полной мере использовать преимущества элементов высоких порядков, был реализован алгоритм [7], который позволяет сгенерировать 531441 тип переходных неполных элементов сирендипова семейства с 1-го по 3-й порядок точности. Элементы этого семейства представляют собой шестигранные призмы [13]. Путем совмещения узлов из них можно получать вырожденные элементы в виде пятигранных призм, пирамид или тетраэдров [2], а путем смещения узлов - сделать их сингулярными [8]. Чтобы улучшить точность и качество аппроксимации объектов со сложной геометрической формой, в разработанном комплексе программ наряду с изопараметрическим разрешено использование суб- и суперпараметрического преобразований координат [13].

Уравнение (2) решалось двумя способами. Первый из них состоял в непосредственном решении этого уравнения. Его дискретизация методом Петрова-Галеркина (SUPG [20]) приводит к системе нелинейных уравнений с несимметричной матрицей. Её решение требует большого объема вычислений. Поэтому был разработан более простой способ получения решения уравнения (2), основанный на методе прямого математического моделирования. Суть его состоит в том, что на каждом шаге по времени решается уравнение (2) без конвективного члена. А перенос тепла конвекцией моделируется тем, что на каждом шаге по времени температурное поле диска поворачивается на угол, определяемый кинематикой движения поезда.

Оба способа обеспечивают высокую точность решения. Это было проверено при решении тестовых задач. Однако способ непосредственного решения уравнения (2) требует использования более мелкого шага по времени. Способ прямого математического моделирования оказался менее требователен к величине шага по времени. Поэтому при сопоставимой точности решения он позволяет получить решение задачи с меньшими затратами.

Выбор шага по времени оказывает очень большое влияние на точность и устойчивость численных методов, применяемых при решении нестационарных задач. При этом надо учитывать, что дискретизация по времени и пространству должны быть согласованы [3;16]. Например, нельзя использовать грубую сетку и маленький шаг по времени. При применении трехмерных моделей это приводит к необходимости использования специальных приемов работы с конечноэлементной сеткой, таких, как метод редуцированных элементов (МРЭ) [17] или метод конечных суперэлементов (МКСЭ) [18]. Альтернативой им может стать применение специальных [19] и сингулярных элементов. В настоящем исследовании использовались сингулярные элементы 2-го и 3-го порядков точности. Это позволило получать приемлемую точность расчета при сравнительно небольшом числе элементов.

Разработанная методика была использована при исследовании одного из вариантов дискового тормоза Тверского вагоностроительного завода. Конструкция тормоза состоит из диска, колодки и башмака. Диск выполнен из стали марки 20X13. Его параметры: толщина - 40 мм; внутренний диаметр - 340 мм; наружный диаметр - 620 мм. Торможение осуществляется за счет прижатия к двум торцевым поверхностям диска башмаков с тормозными колодками. Колодка состоит из пластины, к которой приклепаны тормозные накладки. Башмак сварен из пластин, ребер жесткости и проушин. Усилие нажатия на башмак передается через валик, проходящий сквозь отверстия в проушинах.

Зеркальная симметрия этой конструкции тормоза относительно серединной плоскости диска позволяет ограничить область исследования только одной из ее половин (рис. 1). Для аппроксимации этой области потребовалось 19113 переходных элементов сирендипова семейства от 1-го до 3-й порядок точности. При этом общее число узлов модели составило 90754.

При расчете распределения контактных давлений между поверхностями накладок и диска принималось усилие нажатия на тормозной башмак 21 кН. Контактные давления рассчитаны с учетом влияния опрокидывающего момента. Результаты расчета показаны на рис. 2.

Нестационарные тепловые поля и температурные напряжения, возникающие в деталях тормоза, рассчитывались для режима экстренного торможения поезда. Скорость поезда в начале торможения принималась равной 160 км/ч, а время торможения до полной остановки - 55 с.

В процессе расчета шаг по времени менялся в диапазоне 2М10^-4…8М10^-4 с. Эти значения шага по времени были выбраны на основе серии численных экспериментов. Они соответствуют повороту диска дискового тормоза на 1 градус. Выбор такого шага по времени объясняется резким изменением граничных условий из-за вращения диска, а следовательно, высокими градиентами температуры по толщине диска. Поэтому для построения конечноэлементной модели диска использовалась неравномерная сетка, состоящая из 6 слоев сингулярных элементов третьего порядка точности. Толщина верхнего слоя элементов составила 1,2 мм. Это и обеспечило высокую точность расчета.

Анализ результатов расчета (рис. 3) показывает, что конвективный перенос тепла оказывает существенное влияние на формирование профиля температурного поля деталей тормоза. Если в начале процесса торможения распределение температур соответствует распределению контактных давлений, то в дальнейшем профиль температурного поля полностью меняется (рис. 4а). Максимальная температура 409 С на поверхности диска достигается на 41-й секунде торможения.

Во время торможения перепады температуры в окружном направлении не превышают 60...70 С.

Интенсивность напряжений в поверхностных слоях диска дискового тормоза (рис. 5а) превышает предел текучести материала диска. Напряжения такой интенсивности локализуются в сравнительно тонком поверхностном слое диска (рис. 5б). Продолжительность их воздействия не превышает нескольких секунд. Из-за вращения диска происходят высокочастотные пульсации температуры и напряжений. На поверхности диска амплитуда колебаний температуры достигает 60...70 С, а амплитуда колебаний интенсивности напряжений превышает 90 МПа. Высокочастотные колебания температурных напряжений возникают в поверхностных слоях диска в течение всего процесса торможения и должны приниматься в расчет при оценках прочности этой детали. Интенсивность напряжений в неподвижных деталях тормоза невелика. Например, их максимальное значение на поверхности накладки не превышает 360 МПа.

Подводя итоги, следует отметить, что разработанная методика позволяет на качественно новом уровне проводить исследование теплового и напряженно-деформированного состояния деталей тормоза. Она свободна от допущений, которые делают неадекватными существующие методики расчета этих деталей, и способна воспроизводить с высокой точностью все особенности тепловых и силовых воздействий на детали тормоза при любых режимах торможения.

Список литературы

1. Александров, В.М. Введение в механику контактных взаимодействий / В. М. Александров, М.И. Чебаков. - Ростов н/Д: ЦВВР, 2007. - 114 с.

2. Бабин, А. П. Методические основы учета нелинейных эффектов при решении задач механики твердого тела: дис…. канд. техн. наук / А. П. Бабин. - Брянск, 2004. - 190 с.

3. Ершов, Н. Ф. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости / Н. Ф. Ершов, Г. Г. Шахверди. - Л.: Судостроение, 1984. - 237 с.

4. Исполов, Ю. Г. Конечноэлементный анализ нестационарных полей в деталях ГТУ / Ю. Г. Исполов, Н. Н. Шабров // Проблемы прочности. - 1989. - №12. - С. 82-87.

5. Исполов, Ю. Г. Построение методов и организация алгоритмов численного интегрирования нестационарной задачи теплопроводности / Ю. Г. Исполов, Е. А., Постоялкина, Н. Н. Шабров // Дифференциальные уравнения и процессы управления: электрон. журн. - 2002. - №2.- http://www.newa.ru/journal.

6. Корнеев, В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности / В. Г. Корнеев. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. - 206 с.

7. Моисеенко, М. А. Решение задачи термоупругости с использованием переходных конечных элементов высокой точности / М. А. Моисеенко, Г. А. Неклюдова // Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред»: избр. докл. - М.: Изд-во МАИ, 2006. - С. 121-124.

8. Морозов, Е. М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е. М. Морозов, Г. П. Никишков. - М.: Наука, 1980. - 256 с.

9. Попов, В. М. Теплообмен в зоне контакта разъемных и неразъемных соединений / В. М. Попов. - М.: Энергия, 1971. - 216 с.

10. Сакало, В. И. Контактные задачи железнодорожного транспорта / В. И. Сакало, В. С. Коссов. - М.: Машиностроение, 2004. - 496 с.

11. Самарский, А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

12. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. - М.: Мир, 1979. -302 с.

13. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. - М.: Мир, 1977. - 349 с.

14. Тишенко, П. А. Нестационарные температурные поля в элементах дискового тормоза скоростного вагона с учетом нестабильности теплового контакта: дис…. канд. техн. наук / П. А. Тишенко. - Брянск: БГТУ, 2004. - 175 с.

15. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Боннер. - М.: Мир, 1999. - 685 с.

16. Шимкович, Д. Г. Расчет конструкций в MSC.visualNastran for Windows / Д.Г.Шимкович. - М.: ДМК Пресс, 2004. - 704 с.

17. Вороненок, Е. Я. Метод редуцированных элементов для расчета конструкций / Е. Я. Вороненок, О. М. Палий, С. В. Сочинский. - Л.: Судостроение, 1990. - 220 с.

18. Жуков, В.Т. Применение метода конечных суперэлементов для решения задач конвекции-диффузии / В. Т. Жуков, Н. Д. Новикова, Л. Г. Страховская, Р. П. Федоренко, О. Б. Феодоритова // Математическое моделирование. - 2002. - Т. 14. - №11. - C. 78-92.

19. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галёркина / К. Флетчер. - М.: Мир, 1988. - 352 с.

20. Hughes, T. J. R. Recent progress in the development and understanding of SUPG methods with special reference to the compressible Euler and Navier-Stokes equations / T. J. R. Hughes // Intrn. Journ. for Numer. Met. in Fluids. - 1987. - v. 7. - P. 1261-1275. Размещено на Allbest.ru