Математическая модель течения рабочей среды в подвижных металл-металлических соединениях с учетом трехмерной топографии рабочих поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 517.958:532.5, 621:007

Математическая модель течения рабочей среды в подвижных металл-металлических соединениях с учетом трехмерной топографии рабочих поверхностей

В.В. Порошин,

Д.Ю. Богомолов,

А.А. Сыромятникова

Представлена математическая модель расчета течения рабочей среды в подвижных металл-металлических соединениях, основанная на уравнении Рейнольдса в давлениях. Для решения уравнения использован метод конечных элементов. Предложена формула для расчета утечек в подвижных соединениях с учетом трехмерной топографии их рабочих поверхностей.

Ключевые слова: подвижное соединение; математическая модель; течение рабочей среды; топография рабочих поверхностей.

Известно, что эксплуатационные характеристики многих технических систем в значительной степени определяются работоспособностью входящих в них подвижных и неподвижных соединений. Условия смазки триботехнических узлов, производительность плунжерных насосов, герметичность металл-металлических стыков и т.п. являются основными факторами, характеризующими надежность, безопасность и работоспособность изделия в целом. Их функциональность, как правило, обусловливается характером течения сплошной среды в тонких слоях щелевых каналов с неровными стенками, определяемым микротопографическими параметрами поверхности канала [1-3].

Сеточная модель щелевого канала с учетом трехмерной геометрии неровностей на его поверхностях представлена на рис.1.

Неровности поверхностей h₁(x,y) и h₂(x,y) являются функцией декартовых координат (x,y) и задаются на общей координатной сетке, состоящей из узлов . Высоты неровностей в узле задаются как , . Шаги сетки в направлениях x и y являются постоянными (, ), хотя могут отличаться друг от друга.

Средний зазор между поверхностями H берется как расстояние между их средними плоскостями. Текущий зазор в узлах сетки задается как .

В большинстве работ российских и зарубежных авторов расчет течения в такого рода каналах основан на использовании уравнения О. Рейнольдса для стационарного течения в тонких слоях в давлениях [4-6]:

(1)

где p -давление; м -динамическая вязкость; U_x - скорость относительного движения поверхностей вдоль оси x; U_y - скорость относительного движения поверхностей вдоль оси y. В качестве граничных условий, необходимых для решения уравнения (1), как правило, задают перепад давлений p_A - p_B.

В том случае, если пренебречь боковыми течениями в канале не представляется возможным, возникает необходимость численного решения дифференциального уравнения (1). На практике характерные размеры соединений составляют десятки миллиметров, а дискретность шага при моделировании шероховатости - 5…10 мкм. В связи с этим на современном этапе решение уравнения (1) с учетом шероховатости для всей поверхности щелевого канала не представляется возможным. Влияние шероховатости учитывается с помощью вспомогательных коэффициентов - коэффициентов потока. Коэффициенты потока вычисляются на небольшом характерном участке соединения (рис.2) и представляют собой отношение утечек в канале с шероховатыми стенками к утечкам в канале с гладкими стенками и зазором, взятым по средним плоскостям шероховатости.

Для данного характерного участка с размерами L_xЧL_y численно решается уравнение (1) с граничными условиями:

1) p=p_A при y=0;

2) p=p_B при y=L_y; (2)

3) при x=0, x=L_x.

Решение уравнения О. Рейнольдса для стационарного течения в тонких слоях в давлениях методом конечных элементов. Для решения уравнения (1) целесообразно применять метод конечных элементов. Этот метод гарантированно решает частично-эллиптические задачи, к которым относится данное уравнение.

Поскольку метод конечных элементов является вариационным методом, дифференциальное уравнение заменяется эквивалентной вариационной задачей нахождения минимума следующего функционала:

где S - исследуемая прямоугольная область (рис. 2); - пробная функция, удовлетворяющая граничным условиям (2).

При разбиении области на конечные элементы каждый прямоугольник сетки делится на два треугольника диагональной линией (рис. 3). Узлы сетки и конечные элементы при данном разбиении можно пронумеровать строго по порядку слева направо, снизу вверх. Подобная нумерация позволяет получить результирующую матрицу ленточного типа, для обсчета которой требуется существенно меньше оперативной памяти и машинного времени.

Пробные функции на конечных элементах выбираются как линейные, что позволяет автоматически удовлетворять граничным условиям (2):

, , (3)

где e_i - элемент; - коэффициенты, зависящие от элемента.

Найдем из выражения (3) значения давления в узловых точках конечного элемента:

; ; ,

где - горизонтальные координаты узловых точек элемента; - искомые значения давления в узловых точках элемента. Вместе они образуют систему уравнений относительно коэффициентов , которая решается по методу Крамера:

где ; ; ; ; ; ; ; ; ; Д - площадь треугольного элемента.

Подставив найденные коэффициенты в выражение (3), можно выразить значение пробной функции на элементе и найти ее производные:

,

,…..

С учетом полученных зависимостей элементарный вклад в значение функционала будет представлять собой

где , , - три узла, образующие конечный элемент .

В точке минимума частные производные функционала по каждому узловому значению обращаются в ноль. Для вычисления данной производной сначала вычисляются производные от функционала на всех элементах, содержащих узел :

Затем полученные зависимости суммируются по всем элементам, содержащим , и приравниваются к нулю. Получаемая в итоге система линейных уравнений может быть записана в матричной форме:

.

Ниже представлены выражения для определения коэффициентов матрицы [K] и столбца свободных членов [B]:

,

где индекс ; индекс .

Количество строк (и столбцов) в матрице равно количеству узлов сетки. утечка типография металлический давление

В сформированную таким образом матрицу необходимо добавить граничные условия. На боковых границах действует условие (2.3) отсутствия потока по нормали к границе. Данное условие выполняется автоматически (как естественное следствие вариационной формулировки задачи). Граничные условия (2.1) и (2.2) для узлов, расположенных на входе и выходе канала, подставляются непосредственно в столбец свободных членов [B]. При этом соответствующая строка матрицы [K] обнуляется, а диагональный элемент устанавливается равным единице.

Как указывалось выше, благодаря выбранной нумерации узлов и элементов итоговая матрица будет иметь ленточный вид:

Если дискретизация исследуемой области представляет собой квадратную сетку из NЧN узлов, то количество строк в матрице составит N², а ширина ленты будет не более W=2N+3. Матрица, представленная в таком виде, требует для своего хранения не более чем N²*W?2N³ ячеек памяти. Для сравнения: неленточная матрица такого же порядка потребовала бы для своего хранения N⁴ ячеек памяти. Таким образом, благодаря правильному выбору нумерации узлов при ограниченном количестве оперативной памяти вычислительной машины становится возможным значительное увеличение размеров исследуемого участка.

При наличии гарантированного зазора (даже менее 10% от высоты наибольшего выступа шероховатости) задача является эллиптической и имеет решение.

Расчет утечек рабочей среды. Полученная в результате расчета карта распределения давлений используется для нахождения реальных утечек.

Расчет утечек с учетом дискретной природы карты распределения давлений выполняется по формуле

где n - количество разбиений сетки по оси O_x (поперек направления потока); m - количество разбиений сетки по оси O_y (вдоль направления потока); Дx - шаг сетки по оси O_x; Дy - шаг сетки по оси O_y.

Найденные утечки соотносятся с утечками в соединении с идеально гладкими стенками:

В каналах с неподвижными стенками (U_x=0) вычисляется коэффициент статического потока ц_x. При наличии относительного движения стенок канала коэффициенты потока вычисляются отдельно для статической и динамической составляющих потока. Коэффициент статического потока вычисляется для следующих условий:

1) p=p_A при y=0;

2) p=p_B при y=L_y;

3) U_y = 0, U_x = 0.

Находится он из соотношения статических составляющих утечек:

Коэффициент динамического потока ?_y вычисляется для следующих условий:

1) p=0 при y=0, y=L_y;

2) U_y = U ? 0, U_x = 0.

Он определяется из соотношения полных утечек:

Оба коэффициента потока безразмерны и не зависят от конкретных значений давления, вязкости и скорости относительного перемещения стенок. Значения коэффициентов определяются отношением среднего зазора к высоте шероховатости и формой шероховатости.

Если исследуемый канал не имеет других видов неровностей поверхности стенок, кроме шероховатости, или другими видами неровностей можно пренебречь, то полученные коэффициенты потока могут быть непосредственно подставлены в аналитическое выражение для определения утечек.

Так, для канала, составленного из двух параллельно расположенных прямоугольных шероховатых пластин длиной и шириной , утечка будет определяться по формуле

Если исследуемый канал имеет другие виды неровностей поверхности стенок (например, волнистость), то коэффициенты потока могут быть подставлены в модифицированное уравнение (1) [7]:

где H(x,y) - топография поверхности без учета шероховатости; коэффициенты ц_x и и_x вычисляются аналогично ц_y и и_y, но с поперечно направленными перепадом давлений и скоростью относительного движения стенок.

Предлагаемая математическая модель может применяться при проектировании подвижных металл-металлических соединений для прогнозирования утечек с учетом неровности рабочих поверхностей.

Список литературы

Цукидзо, Т. Современное состояние и тенденция исследования уплотнения стационарных твёрдых тел / Т. Цукидзо // Характеристики уплотнения твёрдых тел в статическом контакте. - Дзюнкацу,1969. - Т.14. - № 5. - С. 228-231.

Измайлов, В.В. Приближенный расчёт герметичности соединений уплотнений / В.В. Измайлов, В.И. Соколов // Изв. Вузов. Машиностроение. - 1977. - № 1. - С. 50-55.

Roth, A. Влияние шероховатости поверхности на удельную скорость утечки в уплотнениях с прокладкой / A. Roth // Vacuum. - 1970. - V. 20. - № 10. - P. 431-435.

Wong, E.R. Gas-lubricated porous bearings of finite length - self-acting journal bearings / E.R. Wong // ASME Journal of Lubrication Technology. - 1979. - Vol. 101. - P. 338-347.

Gargiulo, E.P. Porous wall gas lubricated journal bearings: theoretical investigation / E.P. Gargiulo // ASME Journal of Lubrication Technology. - 1979. - Vol.101. - P. 458-465.

Sun, D.C. Analysis of the steady state characteristics of gas-lubricated porous journal bearings / D.C. Sun // ASME Journal of Lubrication Technology. - 1975. - Vol.97. - P. 44-51.

Patir, N. Application of average flow model to lubrication between rough sliding surfaces / N. Patir, H.S. Cheng // ASME Journal of Lubrication Technology. - 1979. - Vol.101. - №1. - P. 220-229.

Размещено на Allbest.ru