Универсальная методика динамического анализа гидравлических кранов-манипуляторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 621.86

Универсальная методика динамического анализа гидравлических кранов-манипуляторов

А.В. Лагерев,

А.А. Мильто,

И.А. Лагерев

Представлены алгоритмы решения прямой, обратной и гибридной задач динамики гидравлических кранов-манипуляторов. Представлены методики учета типовых силовых факторов. Выполнен динамический анализ крана-манипулятора машины для сварки трубопроводов АСТ-4-А.

Ключевые слова: кран-манипулятор, динамический анализ, машина АСТ-4-А, прямая задача динамики, обратная задача динамики, гибридная задача динамики.

Гидравлические краны-манипуляторы благодаря своей универсальности получили широкое распространение. Они применяются в строительстве, обслуживании складских помещений, лесной промышленности, газо- и нефтедобывающих отраслях. Следовательно, теоретические исследования, направленные на повышение эффективности использования гидравлических кранов-манипуляторов, являются актуальными.

В настоящее время для решения задач динамики манипуляторов разработаны различные вычислительные алгоритмы [1-3]:

· Ньютона-Эйлера (RNEA - Recursive Newton-Euler Algorithm);

· составного твердого тела (CRBA - Composite Rigid Body Algorithm);

· шарнирно-сочлененного тела (ABA - Articulated Body Algorithm).

Эти алгоритмы рассматривают манипулятор как систему абсолютно твердых тел, соединенных шарнирами. Алгоритм RNEA позволяет решать обратную задачу динамики манипулятора, а алгоритмы CRBA и ABA используются для решения прямой задачи.

В расчетах кинематические схемы кранов-манипуляторов представляют собой разомкнутую кинематическую цепь, не имеющую ответвлений (рис. 1). Для подобных задач вычислительная сложность алгоритмов RNEA и ABA является линейной. В то же время решение прямой задачи динамики на основе CRBA требует O(n³) вычислительных операций (где n - число степеней свободы манипулятора).

а) б)

Рис. 1. Кран-манипулятор на автомобильном шасси и его кинематическая схема: а - кран-манипулятор; б - кинематическая схема

Элементы стрелы гидравлических кранов-манипуляторов соединяются с помощью петлевых (вращательных) и призматических (поступательных) шарниров. Обозначим q поворот в петлевом шарнире или перемещение в случае призматического шарнира, а и - соответственно скорость и ускорение в нем. Переменные q также являются обобщенными координатами.

Исходными данными для решения обратной задачи динамики являются перемещения, скорости и ускорения в шарнирах. Найти требуется усилия в шарнирах ф, развиваемые приводами манипулятора для выполнения данного движения.

Алгоритм Ньютона-Эйлера предполагает, что основание крана-манипулятора зафиксировано. Идея метода состоит в том, чтобы, передвигаясь от основания к грузозахватному устройству, определить скорости и ускорения звеньев на основе известных перемещений, скоростей и ускорений в шарнирах. Эта процедура носит название прямого хода или прямой рекурсии. За ней следует обратная рекурсия: передвигаясь от грузозахватного органа к первому звену, на основе уравнений Ньютона-Эйлера определяют неизвестные внутренние силовые факторы (рис. 2).

а) б)

Рис. 2. Рекурсивный алгоритм Ньютона-Эйлера: а - определение скоростей и ускорений; б - определение силовых факторов

В первой версии алгоритма RNEA все вычисления проводятся в глобальной системе координат [4]. С точки зрения скорости выполнения вычислительного алгоритма более эффективно записывать уравнения в локальных системах координат звеньев, так как в них определенные параметры всегда остаются неизменными (например, тензор инерции, положение центра тяжести, координаты точек крепления шарниров) [5].

Если известны линейная и угловая скорости, а также линейное и угловое ускорения в начале отсчета звена, то в произвольной точке звена эти величины могут быть найдены по формулам:

где - вектор из начала координат звена до заданной точки; , , , - соответственно линейная и угловая скорости, линейное и угловое ускорения в ней.

По формулам (1-4) определяются скорости и ускорения в центре тяжести звена, а также в точке крепления к данному звену шарнира, следующего за ним.

Если система отсчета шарнира повернута относительно системы отсчета предыдущего звена, то переход между ними осуществляется с использованием матрицы поворота:

где , - вектор, выраженный в системах отсчета шарнира и звена соответственно;

R_ш - матрица поворота из системы координат шарнира в систему координат звена.

По зависимостям (1-5) вычисляются линейная и угловая скорости, а также линейное и угловое ускорения в начале отсчета шарнира.

Скорость и ускорение в точке начала отсчета звена, следующего за призматическим шарниром, могут быть вычислены по формулам:

где - единичный вектор, задающий ось шарнира.

Аналогичные зависимости для звена, следующего за петлевым шарниром, имеют вид

Система отсчета звена, следующего за петлевым шарниром, повернута на угол q относительно системы координат этого шарнира. Переход между ними осуществляется с помощью матрицы поворота:

где R(q)_пш - матрица поворота из системы координат следующего звена в систему координат предыдущего петлевого шарнира, зависящая от угла поворота в шарнире.

По формулам (1-5), (7-15) осуществляется прямой ход в алгоритме Ньютона-Эйлера. В основе обратного хода лежат уравнения Ньютона-Эйлера непосредственно:

где m, J - масса и тензор инерции звена; , , - соответственно угловая скорость, линейное и угловое ускорения, вычисленные в центре тяжести звена; , - равнодействующие сила и момент от внешней нагрузки, приведенные к центру тяжести звена.

Из уравнений (17) и (18) определяются неизвестные сила и момент, передаваемые через шарнир от данного звена крана-манипулятора к предыдущему.

Неизвестные усилия в шарнирах ф, развиваемые приводами крана-манипулятора, определяются методом проекции соответствующего силового фактора в сочленении на ось шарнира. Вместе с уравнениями (6), (16-18) они образуют обратный ход.

Исходными данными для решения прямой задачи динамики являются перемещения q и скорости в шарнирах, а также усилия ф, развиваемые приводами в сочленениях крана-манипулятора. Требуется найти ускорения в шарнирах.

Для кранов-манипуляторов с малым числом степеней свободы решение прямой задачи динамики на основе алгоритма CRBA оказывается эффективнее решения с использованием алгоритма ABA. Это справедливо для n < 12 [6], n < 10 [7] и n ? 8 [1] соответственно при сравнении различных модификаций данных алгоритмов. Поскольку число степеней свободы большинства гидравлических кранов-манипуляторов меньше девяти, целесообразно для решения прямой задачи динамики использовать алгоритм составного твердого тела.

Уравнение динамики крана-манипулятора, записанное в матричной форме, имеет вид

где - вектор усилий, развиваемых приводами манипулятора в сочленениях; - матрица инерции манипулятора; - вектор ускорений в шарнирах; - вектор, включающий действие внешней нагрузки, кориолисовых и центробежных сил.

В работе [8] рассматриваются четыре метода для решения прямой задачи динамики. Идея первого метода состоит в том, чтобы с помощью алгоритма RNEA вычислить компоненты вектора и матрицы , а затем, решив систему линейных алгебраических уравнений (19), найти вектор неизвестных ускорений .

Если приравнять все компоненты вектора нулю, то формула (19) примет вид

Решение для таких начальных условий (ускорения во всех шарнирах равны нулю) обратной задачи динамики с помощью алгоритма RNEA даст в результате вектор и, соответственно, вектор .

Если принять равными нулю скорости во всех шарнирах, а также не учитывать внешнюю нагрузку, то станет нулевым вектор . На матрице это не отразится, так как ее компоненты не зависят ни от скоростей в шарнирах, ни от внешней нагрузки. В результате формула (19) примет вид

Если принять все ускорения в шарнирах равными нулю, за исключением i-го шарнира, имеющего единичное ускорение, то решение обратной задачи динамики даст в результате вектор , подстановка которого в формулу (20) позволит вычислить компоненты i-го столбца матрицы :

Таким образом, задавая поочередно в каждом шарнире единичное ускорение и решая обратную задачу динамики, определяют все компоненты матрицы инерции крана-манипулятора. Вычислив и , как показано выше, можно решить систему уравнений (19) относительно неизвестных данной задачи.

Третий метод аналогичен первому методу. Отличие заключается в алгоритме построения матрицы инерции манипулятора.

Идея альтернативного алгоритма состоит в том, что когда все скорости и ускорения в шарнирах приравнены нулю, за исключением i-го шарнира с единичным ускорением, то элементы крана-манипулятора до i-го шарнира находятся в состоянии покоя, а часть манипулятора после него совершает движение как единое твердое тело.

Процедура состоит из n шагов, где n - размерность матрицы . Для i = n, … , 1 следует выполнить следующие действия:

1. Приравнять значения скоростей и ускорений во всех шарнирах нулю. В i-м шарнире принять ускорение равным единице.

2. Определить инерциальные характеристики составного твердого тела, расположенного за i-м шарниром.

3. Вычислить линейное и угловое ускорения в центре тяжести составного твердого тела за i-м шарниром.

4. Выполнить упрощенную версию обратного хода алгоритма RNEA, начиная от составного твердого тела. Полученные значения ф присвоить компонентам матрицы .

Поскольку матрица симметрична, полученные на каждом шаге значения ф формируют не только ее i-й столбец, но и i-ю строку. Процедура выполняется в обратном порядке от шарнира n к шарниру 1, так как это позволяет на каждом шаге для вычисления инерциальных характеристик текущего составного твердого тела использовать инерциальные характеристики входящего в него составного твердого тела, вычисленные на предыдущем шаге. Они определяются по формулам:

где , , - масса, центр тяжести и тензор инерции звена манипулятора, следующего за i-м шарниром; , , - масса, центр тяжести и тензор инерции составного твердого тела, следующего за i-м шарниром.

В формулах (21) и (22) векторы центров тяжести должны быть выражены в единой системе координат, а тензоры инерции помимо этого вычислены в центре тяжести текущего составного твердого тела.

Преобразование тензора при повороте базиса осуществляется по формуле

где , - тензор инерции, выраженный в системах координат A и B; - матрица поворота из системы координат B в систему координат A.

Преобразование тензора инерции при параллельном переносе базиса выполняется в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера.

Исходными данными для гибридной задачи динамики являются перемещения q и скорости в шарнирах. Также в некоторых шарнирах известны ускорения , а во всех остальных - усилия ф, развиваемые приводами в сочленениях крана-манипулятора. Найти требуется неизвестные и ф.

В основе решения лежит уравнение динамики крана-манипулятора (19). Компоненты вектора могут быть вычислены с помощью алгоритма RNEA, матрицы - с помощью алгоритма CRBA.

Система уравнений (19) должна быть преобразована так, чтобы сформировался единый вектор неизвестных. Например, для крана-манипулятора с заданными усилиями ф₁, ф_2, ф₃ и ускорениями , она примет вид

В результате решения полученной системы линейных алгебраических уравнений будут найдены неизвестные данной задачи.

При решении задач динамики учесть действие силы тяжести на элементы конструкции крана-манипулятора можно двумя способами. Первый способ: задается вектор ускорения свободного падения в глобальной системе координат; для каждого звена крана-манипулятора составляется матрица поворота из глобальной системы координат в локальную; для каждого звена получается значение вектора силы тяжести в локальной системе координат. Второй, менее очевидный способ [1] состоит в том, чтобы задать зафиксированному основанию крана-манипулятора фиктивное ускорение, равное ускорению свободного падения. При выполнении RNEA сила тяжести будет учтена автоматически.

Более эффективным с вычислительной точки зрения является второй способ. Он применим ко всем трем типам задачи динамики. Его недостатком является то, что в процессе выполнения алгоритма RNEA значения ускорений и сил инерции в центрах тяжести звеньев будут отличаться от истинных на величину ускорения свободного падения и силы тяжести соответственно.

Развиваемое гидроцилиндром усилие учитывается следующим образом: выбирается общая для двух звеньев, на которые воздействует гидроцилиндр, система координат (например, локальная система отсчета одного из звеньев); в выбранной системе отсчета определяются координаты точек приложения сил от гидроцилиндра к звеньям и вектора сил непосредственно; выполняется переход от сил, заданных в общей системе отсчета, к силам, заданным в локальных системах координат звеньев.

Однако более эффективно не раскладывать усилие гидроцилиндра на пару сосредоточенных сил, приложенных к звеньям, а, получив для шарнира между ними аналитическую зависимость вида , непосредственно вычислять усилие, развиваемое им в сочленении.

В рамках исследования был разработан программный комплекс для выполнения динамического анализа гидравлических кранов-манипуляторов. Программный комплекс реализует следующие функции:

· решение обратной задачи динамики на основе алгоритма RNEA;

· решение прямой задачи динамики с использованием алгоритма CRBA;

· решение гибридной задачи динамики;

· учет силовых факторов: силы тяжести, усилий гидроцилиндров, трения в шарнирах, сосредоточенных сил и моментов, заданных пользователем;

· загрузка пользовательских 3D-моделей твердых тел и расчет их инерциальных характеристик;

· численное интегрирование уравнений движения методами Эйлера, Ньюмарка, Рунге-Кутта четвертого порядка.

С использованием разработанного программного комплекса выполнен динамический анализ крана-манипулятора машины для сварки трубопроводов АСТ-4-А (рис. 3).

а) б)

Рис. 3. Кран-манипулятор машины для сварки трубопроводов АСТ-4-А: а - кран-манипулятор; б - расчетная схема

Инерциальные и геометрические параметры элементов конструкции вычислены на основе твердотельной 3D-модели [9].

Рассмотрены два движения элементов стрелы крана-манипулятора:

1. Поворот стрелы при фиксированном положении рукояти.

2. Поворот рукояти при фиксированном положении стрелы.

В обоих расчетных случаях поворотная колонна неподвижна и ориентирована строго вертикально. Учтено ограничение скорости движения штока гидроцилиндра, связанное с максимальной подачей насоса:

где - скорость штока и эффективная площадь поверхности поршня гидроцилиндра; - максимальный расход насоса.

В результате расчетов получены зависимости обобщенных координат, их производных и усилий гидроцилиндров от времени (рис. 4-5).

t, с t, с

а) б)

t, с t, с

в) г)

Рис. 4. Поворот стрелы: а - угол поворота в шарнире; б - угловая скорость; в - угловое ускорение; г - усилие, развиваемое гидроцилиндром

t, с t, с

а) б)

t, с t, с

в) г)

Рис. 5. Поворот рукояти: а - угол поворота в шарнире; б - угловая скорость; в - угловое ускорение; г - усилие, развиваемое гидроцилиндром

При движении звеньев крана-манипулятора наблюдается переходный процесс.

На начальном этапе движения гидроцилиндр развивает максимальное усилие, элементы конструкции движутся с большим ускорением. По мере роста скорости штока увеличивается подача рабочей жидкости в нагнетательную полость гидроцилиндра. Когда она достигает максимального значения, обеспечиваемого насосом, скорость штока гидроцилиндра стабилизируется, а развиваемое усилие существенно снижается. Полученные данные согласуются с результатами исследований [10-13].

кран манипулятор гидравлический динамический

Список литературы

1. Featherstone R. Rigid Body Dynamics Algorithms / R. Featherstone. - N-Y.: Springer Science+Business Media, 2008. - 278 p.

2. Featherstone R. Robot dynamics / R. Featherstone // Scholarpedia. - 2007. - Vol. 2. - № 10. - P. 3829. - URL: http://dx.doi.org/10.4249/scholarpedia.3829.

3. Featherstone R. Robot Dynamics: Equations and Algorithms / R. Featherstone, D. Orin // IEEE Int. Conf. Robotics & Automation, San Francisco, April 24-28, 2000. - P. 826-834.

4. Stepanenko Y. Dynamics of Articulated Open-chain Active Mechanisms / Y. Stepanenko, M. Vukobratovic // Math. Biosciences. - 1976. - Vol. 28. - P. 137-170.

5. Luh J.Y. S. On-Line Computational Scheme for Mechanical Manipulators / J. Y. S. Luh, M. W. Walker,
R. P. C. Paul // Trans. ASME, J. Dynamic Systems, Measurement & Control. - 1980. - Vol. 102. - № 2. - P. 69-76.

6. Featherstone R. The Calculation of Robot Dynamics using Articulated-Body Inertias / R. Featherstone // Int. J. Robotics Research. - 1983. - Vol. 2. - № 1. - P. 13-30.

7. Garcia de Jalon J. Kinematic and dynamic simulation of multibody systems: the real-time challenge / J. Garcia de Jalon, E. Bayo. - N-Y.: Springer-Verlag, 1994. - 440 с.

8. Walker M. W. Efficient Dynamic Computer Simulation of Robotic Mechanisms / M. W. Walker, D. E. Orin // Trans. ASME, J. Dynamic Systems, Measurement & Control. - 1982. - Vol. 104. - P. 205-211.

9. Лагерев А.В. Модернизация крана-манипулятора самоходной энергетической машины АСТ-4-А / А.В. Лагерев, И.А. Лагерев, В.В. Говоров // Вестн. БГТУ. - 2010. - №4. - С. 59-66.

10. Лагерев И.А. Динамика трехзвенных кранов-манипуляторов / И.А. Лагерев, А.В. Лагерев. - Брянск: БГТУ, 2012. - 196 с.

11. Лагерев И.А. Динамический анализ трехзвенного гидравлического крана-манипулятора / И.А. Лагерев, А.В. Лагерев // Вестн. БГТУ. - 2011. - №3. - C. 9-17.

12. Лагерев И.А. Исследование движения базового шасси крана-манипулятора с помощью многомассовых динамических моделей / И.А. Лагерев // Вестн. БГТУ. - 2013. - №1. - С. 36-40.

13. Крахмалев О.Н. Исследование малых отклонений от программных движений манипуляционных систем с упругой податливостью, сосредоточенной в сочленениях звеньев / О.Н. Крахмалев // Вестн. БГТУ. - 2011. - №4. - С. 39-46.

Размещено на Allbest.ru