Проектирование планетарных шариковых передач с различными профилями беговых дорожек

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 621.83.06

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ ШАРИКОВЫХ ПЕРЕДАЧ С РАЗЛИЧНЫМИ ПРОФИЛЯМИ БЕГОВЫХ ДОРОЖЕК

М.Е. Лустенков

Планетарные шариковые передачи применяются в настоящее время для увеличения передаваемых усилий ручного механизированного инструмента (баллонных ключей, гайковертов и т.д.) и для создания малогабаритных редукторов технологического оборудования [1]. Благодаря компактности данные передачи могут встраиваться в механизмы, работающие в условиях ограниченных диаметральных размеров.

Рассмотрим конструкцию этих передач с различными типами беговых дорожек (рис. 1) и их принцип работы. При вращении ведущего вала 1 с закрепленными на нем двумя торцовыми кулачками, образующими беговую дорожку, тела качения 4 перемещаются по ней и по волнообразному профилю наружного кулачка 3, закрепленного в корпусе (на рис. 1 корпус не показан), а также совершают колебательные движения вдоль пазов, выполненных на внутренней цилиндрической поверхности выходного вала 2.

Рис. 1. Конструкция планетарной шариковой передачи: а - с синусоидальным профилем беговых дорожек; б - с эллипсообразным и дугообразным профилями беговых дорожек

Беговые дорожки в модели передачи могут быть представлены как две кривые, замкнутые на цилиндре с радиусом образующей R. Кривые являются периодическими с числами периодов Z1 и Z3. Одна кривая описывает однопериодную дорожку (Z1=1) на ведущем валу, другая - многопериодную торцовую поверхность (Z3) наружного кулачка. Центры тел качения расположены в точках пересечения этих кривых, причем учитываются точки пересечения разнонаправленных ветвей кривых - восходящих и нисходящих и наоборот. Преимуществами планетарных шариковых передач являются независимость передаточного числа от радиальных габаритов и повышенная нагрузочная способность, связанная с большим числом тел качения, одновременно передающих нагрузку. Работу одного тела качения независимо от других можно рассматривать как сочетание прямого и обратного кулачковых механизмов. Кинематика же всей передачи полностью подчинена формуле Виллиса (функцию чисел зубьев центральных колес выполняют числа периодов сопрягаемых кривых Z1 и Z3), что доказывает правомерность использования термина «планетарная передача».

Обратимся к уравнению развертки на плоскость xOy периодической кривой, замкнутой на цилиндре: , где Zi - число периодов кривой; i - номер кривой (i=1, 3). Ось Ох является центральной линией. Математическая модель передачи представляет собой систему двух таких уравнений, решаемых совместно. Синусоидальная форма беговых дорожек с уравнениями , где А - амплитуда кривых, была одной из первых форм, используемых в планетарных шариковых передачах [2]. Однако она имеет ряд недостатков, одним из которых является явление срезания вершин беговых дорожек при их изготовлении сферической фрезой. Вследствие этого нарушается постоянство контакта тел качения на вершинах синусоид, что приводит к увеличению шума и динамических нагрузок в передаче при высоких скоростях вращения. В литературе [3] приводятся уравнения других видов кривых - гладко-кусочных функций, в частности циклоиды, спирали Архимеда, винтовой линии, сопряженных полуокружностей. Данные уравнения располагают кривые на плоскости с центральной линией в виде окружности. Преимущества кривых были рассмотрены только с точки зрения исследования жестких и мягких ударов тел качения на вершинах: проанализированы изменения скоростей и ускорений. Также отмечено, что постоянство углового шага обеспечивается только при взаимодействии кривых одного типа.

Получены уравнения, позволяющие построить и проанализировать некоторые кривые, расположенные на цилиндрической поверхности, и их развертки на плоскости.

Для кусочно-винтовой кривой (совокупности чередующихся нисходящих и восходящих участков отрезков прямых) уравнение на плоскости имеет следующий вид:

где квадратными скобками обозначена математическая операция, выделяющая целую часть числа; i - номер кривой (1 или 3).

Кусочно-винтовая кривая характеризуется постоянными углами наклона во всех точках зацепления и, следовательно, равномерным износом рабочих поверхностей. На рис. 2 приведена схема взаимодействия двух кусочно-винтовых кривых (однопериодной и четырехпериодной). Движение одной кривой относительно другой вдоль оси абсцисс имитируется заменой для однопериодной кривой в уравнении (1) параметра x на (x±Д), где Д - параметр, изменяемый с некоторым шагом.

Рис. 2. Развертка на плоскость кусочно-винтовых кривых: 1 - однопериодная кривая;

2 - многопериодная кривая

Кусочно-винтовая кривая в пространстве опишется в декартовой системе координат следующей системой параметрических уравнений (t - параметр, ):

Рассмотрим уравнения кривых с дугообразным профилем (кривые представляют собой сочетание сопряженных дуг окружностей) на плоскости (рис. 3). Преимущество беговых дорожек передачи с профилем данного типа заключается в полном отсутствии явления срезания вершин при их изготовлении. При этом уравнение многопериодной кривой имеет вид

где R0 - радиус сопрягаемых полуокружностей.

Параметрические уравнения, описывающие пространственную кривую ():

Параметр R0 в выражениях (2) и (3) фактически выполняет функцию амплитуды, однако, в отличие от синусоиды значения числа периодов Z3, радиуса образующей цилиндра R и амплитуды А для круглого профиля взаимозависимы и не могут назначаться произвольно.

Процедуру выбора этих параметров для многопериодного зацепления представим в виде следующего алгоритма. Исходным является значение числа периодов Z3, которое определено передаточным отношением. Из условия минимизации потерь мощности на трение скольжения определяем оптимальное значение амплитуды [4] и приравниваем его к радиусу R0. Радиус R окружности, образующей цилиндрическую поверхность, определяем по формуле

После округления радиуса R до целого значения необходимо окончательно уточнить радиус R0. В случае ограниченности диаметральных габаритов передачи значение R может задаваться изначально. Тогда

.

Сопряженный с многопериодным профилем однопериодный профиль будет представлять собой сочетание двух дуг окружностей. Радиус этих дуг R1 определится из следующего уравнения:

Уравнение однопериодного профиля в системе координат xOy будет выглядеть следующим образом:

На рис. 3 показано взаимодействие двух кривых, составленных из сопряженных дуг окружностей.

Рис. 3. Взаимодействие кривых с дугообразным профилем: 1 - однопериодная кривая; 2 - многопериодная кривая

Взаимодействие двух кривых исследовалось по следующему алгоритму. Численными методами решалось уравнение, полученное в результате приравнивания правых частей уравнений (2) и (4), описывающих многопериодную и однопериодную кривые. При этом задавались два интервала для локализации корней. Например, для кривых, изображенных на рис. 3, это интервалы {2рR/10, 6рR/10}, {6рR/10, рR}. Определяемая разница между найденными корнями характеризует расстояние между двумя точками пересечения кривых - А и В (рис. 3). Далее аргументу х в уравнении однопериодной кривой (4) сообщалось приращение, что имитировало перемещение этой кривой вдоль оси Ох. При этом процедура определения корней и вычисления разницы между их значениями повторялась и т.д.

Вычисления по описанному алгоритму проводились для различных видов сопряженных кривых. Все передачи имели следующие параметры: R=20 мм, Z1=1, Z3=4. На рис. 4 показаны результаты анализа, проведенного в диапазоне изменения угла поворота ведущего вала от 0 до 0,9р. Постоянство расстояний вдоль оси Ох, а значит, постоянство углового шага между точками пересечения обеспечивается для сопряженных кривых одного типа: двух синусоид и двух кусочно-винтовых кривых. Постоянство углового шага дает возможность ввести в конструкцию передачи звено 2 (рис. 1), позволяющее суммировать относительные и переносные движения тел качения и создать передачу, обеспечивающую постоянное передаточное отношение.

Две кривые, образованные сопряженными дугами окружностей, не обеспечивают постоянства углового шага при изменении угла поворота ведущего вала с однопериодной кривой. При этом расстояние между точками пересечения А и В в начальный момент составляло 23,7 мм, а расстояние между точкой А и точкой пересечения кривых О, расположенной левее (начало координат), составило 25,6 мм. Аналогичная ситуация наблюдалась и при взаимодействии кривых различных типов: многопериодной кривой, составленной из сопряженных дуг окружностей, с однопериодными кусочно-винтовой кривой и синусоидой.

Проведенный анализ явился основой для создания алгоритма синтеза уравнений взаимодействующих кривых. Как было показано, различные кривые обладают различными преимуществами. Целью синтеза является получение уравнения однопериодной кривой на плоской развертке, обеспечивающей постоянство передаточного отношения при взаимодействии с заданной многопериодной кривой. Исходными данными являются уравнение многопериодной кривой на плоскости y=f(x) и Z3 - число периодов многопериодной кривой.

Рис. 4. Изменение расстояния между точками пересечения различных типов сопрягаемых кривых:

1 - две синусоиды (две кусочно-винтовые кривые); 2 - две кривые, образованные сопряженными дугами окружностей; 3 - кусочно-винтовая кривая и кривая, образованная сопряженными дугами окружностей; 4 - синусоида и кривая, образованная сопряженными дугами окружностей

В уравнении многопериодной кривой постепенно изменяем аргумент (x) от нуля до значения 2рR/Z3 с постоянным шагом. При этом на каждом шаге вычисляем координаты однопериодной кривой по формулам

Таким образом, формируется массив значений координат, соединенный сплайновой кривой. Взаимодействие полученной однопериодной кривой с многопериодной кривой с дугообразным профилем показано на рис. 5.

Рис. 5. Взаимодействие синтезированной кривой (1) и кривой, представляющей собой сочетание дуг окружностей (2)

Дальнейшей задачей исследований было определение аналитической зависимости для построения кривой 1 (рис. 5). Было предположено, что данная кривая представляет собой сопряжение ветвей эллипса с полуосями рR/2 и R0. Данная гипотеза подтвердилась, и было выведено уравнение развертки на плоскость кривой эллипсообразной формы:

Проведенный анализ взаимодействия двух кривых подтвердил правильность зацепления: расстояния между точками пересечения остаются постоянными. После упрощения зависимостей (2) и (5) были получены следующие параметрические уравнения в пространственной декартовой системе координат для круглого профиля для однопериодной кривой:

.

Многопериодная беговая дорожка второй крайней обоймы представляет собой сочетание дуг окружностей и описывается уравнениями:

Здесь t - параметр (дуговая координата, отсчитываемая вдоль окружности с радиусом R, расположенной в плоскости xOy, причем центр окружности совпадает с началом координат).

Квадратными скобками в приведенных уравнениях обозначены математические операции выделения целой части числа и отбрасывания его дробной части. беговой дорожка зацепление передаточный

Также был разработан алгоритм определения КПД планетарных передач с телами качения с использованием кривых различных типов.

Заданными считаются уравнения кривых (однопериодной и многопериодной) как функции от абсциссы x и угла поворота ведущего вала ц1. Для первой кинематической схемы известны передаточное число u и длина развертки окружности L=2рR. В качестве примеров рассмотрим синусоидальные беговые дорожки, сочетание сопряженных дуг окружностей и ветвей эллипса и сочетание кусочно-винтовых кривых.

По заданным уравнениям составляется k (i=1,2…k) зависимостей (k - число учитываемых точек пересечения взаимодействующих кривых, т.е. число тел качения), которыми определяются ординаты точек пересечения. Для синусоидальных однопериодной и многопериодной беговых дорожек соответственно:

Для кривой, представляющей собой сочетание сопряженных половин эллипса, и многопериодной кривой, представляющей сочетание дуг окружностей:

Для однопериодной и многопериодной кусочно-винтовых кривых соответственно:

Определяем углы подъема в точках пересечения:

Определяем крутящий момент на входном звене М1, необходимый для обеспечения известного крутящего момента на выходе М2:

где f - коэффициент трения в парах «тело качения - рабочие поверхности деталей передачи».

Определяем КПД передачи:

На рис. 6 показаны результаты изменения КПД за поворот ведущего вала на угол 0,7 рад (далее графики отображаются циклически) для передач с беговыми дорожками различных типов. При этом геометрические параметры для всех передач были приняты одинаковыми: Z1=1, Z3=4, R=10 мм, A=6 мм, f=0,1. Всплески графиков показывают значения КПД механизма при попадании одного из тел качения на вершину кривой, где углы подъема кривых равны нулю. В реальной передаче нагрузка перераспределяется на другие тела качения.

Рис. 6. Изменение КПД передач при различных типах беговых дорожек: 1 - для синусоид; 2 - для эллипсообразной и дугообразной кривых; 3 - для кусочно-винтовых кривых

Как видно из рис. 6, для заданных геометрических параметров наибольший КПД имеет передача с кусочно-винтовыми кривыми, а наименьший - передача с эллипсообразным и дугообразным профилями беговых дорожек. При этом следует учесть, что в представленной модели тела качения рассматриваются как ползуны, перемещающиеся по клинообразным поверхностям. На практике трение скольжения заменяется трением качения с гораздо более низкими энергетическими потерями, что существенно увеличивает КПД.

Разработанные алгоритмы позволяют подобрать тип кривой зацепления на стадии проектирования, обладающий необходимыми свойствами для конкретных условий работы, спроектировать сопряженную однопериодную кривую и приближенно оценить КПД разрабатываемой передачи. По данным методикам были рассчитаны редуцирующие узлы для баллонных ключей для демонтажа и сборки резьбовых соединений, крепящих головки блока цилиндров дизельного двигателя тепловоза ЧМЭ-3, резьбовых соединений типа «гайка-футорка», крепящих ведущие колеса грузовых автомобилей ЗИЛ и ГАЗ старых моделей, а также автомобилей марки «газель».

Список литературы

1. Лустенков, М. Е. Планетарные шариковые передачи цилиндрического типа: монография / М.Е. Лустенков, Д.М. Макаревич. - Могилев: Белорус.-Рос. ун-т, 2005. - 123 с.

2. Пашкевич, М.Ф. Планетарные шариковые и роликовые редукторы и их испытания / М.Ф. Пашкевич, В.В. Геращенко. - Минск: БелНИИНТИ, 1992. - 248 с.

3. Игнатищев, Р.М. Синусошариковые редукторы / Р.М. Игнатищев.- Минск: Высш. шк., 1983. - 107 с.

4. Лустенков, М.Е. Определение основных геометрических параметров планетарных шариковых передач / М.Е. Лустенков // Сборка в машиностроении и приборостроении. - 2008. - №1. - С.12-17.

Аннотация

Рассмотрены конструкция и принцип работы планетарных шариковых передач. Приведены уравнения, описывающие профили беговых дорожек различных типов, и проведен их сравнительный анализ по возможности осуществления зацепления с постоянным передаточным отношением и по КПД.

Ключевые слова: планетарная передача, тело качения, беговые дорожки, КПД.

Размещено на Allbest.ru