Исследование процесса зацепления цилиндрических зубчатых передач

Размещено на http://allbest.ru

10

Вестник Брянского государственного технического университета. 2008. № 3(19)

1

УДК 621.81

Исследование процесса зацепления цилиндрических зубчатых передач

М.Д. Малинкович

Широкое применение зубчатых механизмов в различных областях техники вызывало и вызывает повышенное внимание к их теоретическому и экспериментальному исследованию.

Тем не менее не все те рекомендации и предложения, которые в настоящее время используются при расчете и проектировании зубчатых передач, могут быть признаны окончательными и не требующими доработки и изменения.

С одной стороны, геометрическая теория зацепления мало отражает влияние деформаций, неизбежно возникающих при работе передач, а с другой стороны, недостаточно раскрываются динамические явления, сопровождающие процесс зацепления. Этот недостаток восполняется введением коэффициентов, полученных большей частью опытным путём, что не даёт ясного представления о сути происходящего.

Достаточно отметить, что одна площадка контакта при частоте вращения ведущего колеса порядка 1000 мин^-1 находится в соприкосновении с зубом ведомого десятитысячные доли секунды, после чего выходит из зацепления. В то же время линия зацепления, например прямозубой эвольвентной передачи, не обеспечивает совместного перемещения контактирующих точек зубьев, которое необходимо для совершения элементарной работы именно этими точками в ряду других, последовательно входящих в зацепление подобных точек.

В статье сделана попытка сблизить две позиции и рассмотреть геометрию зацепления с учётом деформации в окрестностях линии зацепления и передачу усилий не через дискретно возникающие площадки контакта, а как непрерывный колебательный процесс зубьев.

Рассмотрим передачу движения в цилиндрической прямозубой паре колёс. В относительном движении зубчатые колёса перекатываются друг по другу без скольжения своими начальными окружностями, и каждая точка профиля зуба описывает по отношению к неподвижной системе отсчёта удлинённую или укороченную эпициклоиду, при внешнем зацеплении колёс, и удлинённую или укороченную перициклоиду - при внутреннем.

С применением метода обращённого движения исследовалась траектория точки контакта K зуба перекатывающегося (ведомого) колеса в непосредственной близости от линии зацепления при различных положениях соприкасающихся зубьев, определяемых углом неподвижного профиля в этой точке.

При этом траектория и эвольвента зуба остановленного колеса рассматривались в единой системе координат XOY.

Рис. 1. Окрестности точек контакта: л.з. - линия зацепления

На рис. 1 показаны такие траектории на примере передачи с m=4 мм, z₁=z₂=40, б_W=20⁰ в трёх положениях: до полюса зацепления, в полюсе зацепления и за полюсом (углы б_K соответственно равны 15, 20, 30⁰).

Анализируя положения траекторий по отношению к остановленным профилям зубьев, можно заключить, что вблизи точки контакта K, расположенной на линии зацепления, траектория относительного движения точки K₂ зуба перекатывающегося колеса практически сливается с эвольвентой сопряжённого зуба.

Это не наблюдается только при контакте в полюсе зацепления, где эпициклоида сразу же удаляется от эвольвенты.

Вблизи полюса уменьшаются величины участков слияния эпициклоиды и эвольвенты; по мере удаления точки контакта за полюс эти участки увеличиваются, особенно у передач внешнего зацепления.

Рис. 2. Схема изгиба зубьев

Как известно, при касании эвольвентных поверхностей зубьев под действием сжимающих усилий образуется площадка контакта. В относительном движении все точки площадки должны одновременно описывать соответствующие эпициклоиды (или перициклоиды - для внутреннего зацепления).

С течением времени в зацепление будут входить новые точки, а те, которые уже находятся в контакте, продолжат движение по своим траекториям.

В относительном движении с учётом площадки контакта точки вынуждены внедряться в тело неподвижного зуба, так как нормаль в этой точке должна проходить через точку касания начальных окружностей, т.е. через полюс зацепления (одно из свойств эпициклоиды). Идёт встречное движение точки контакта и набегающей площадки на неподвижном колесе. В процессе этого движения точка, стремясь войти в тело неподвижного зуба, будет перемещаться по движущейся площадке контакта, искажая свою теоретическую траекторию, что приведёт к деформации материала зубьев. Стремление двигаться без необходимости испытывать напряжённое состояние является условием исправления траектории.

Кроме контактных деформаций зубья колёс подвержены изгибу. Пусть в некоторый момент времени теоретически они должны соприкасаться в точке K (рис. 2, положение I-I). Под действием усилий каждый зуб изогнется в сторону, противоположную направлению момента М, приложенного к соответствующему колесу (положение II-II). При этом в зацеплении должен образоваться зазор Дx, для ликвидации которого ведомое колесо, в отличие от ведущего не имеющее своего привода (закона движения), повернётся на угол Дц в сторону, противоположную угловой скорости щ₂, т.е. замедлит вращение. Периодическое восстановление формы зуба и положения зубьев будет происходить благодаря упругим силам, возрастающим по мере увеличения изгиба. Очевидно, что наличие контактных деформаций усугубит неравномерность движения и увеличит упругие восстанавливающие силы.

Наличие деформаций в местах движущегося контакта зубьев и неравномерное движение ведомого колеса позволили, учтя их, определить отрицательные угловые ускорения ведомого колеса, которые скачкообразно изменяются от некоторых отрицательных значений до нуля. Величины этих отрицательных ускорений определяются по формуле [1]

,

где щ₁ - угловая скорость ведущего колеса; ; б_W - угол зацепления, б_K1 - угол профиля эвольвенты зуба ведущего колеса при зацеплении в точке K.

Такое скачкообразное изменение ускорений обусловливает появление динамических сил в зацеплении, которые носят ударный характер, так как изменение величины е₂ до нуля происходит очень быстро, соизмеримо со временем упругих деформаций в данном месте контакта зубьев, иначе говоря, динамическая нагрузка действует как периодические быстродействующие удары второго рода, или «мягкие» удары.

Величины моментов этих сил:

,

где J₂ - момент инерции ведомого колеса относительно оси вращения.

Динамические силы, направленные вдоль линии зацепления:

,

где r_b2 - основной радиус ведомого колеса.

.

И так как , где t - время, то

.

Удельная нагрузка на единицу ширины зуба B (см):

.

После подстановки и преобразований получаем

,

где с - плотность материала колеса;

u₁₂=z₂/z₁; m -- модуль.

Колебания, происходящие в зацеплении зубчатых колес, носят высокочастотный характер в отличие от низкочастотных колебаний валов передачи, что позволяет рассматривать колебательные процессы в зацеплении независимо от системы в целом.

Зубчатую передачу, состоящую из двух колес, с точки зрения происходящих в ней колебательных процессов можно представить в виде одномассовой динамической модели, совершающей колебания относительно стационарного движения вдоль общей нормали к зубьям в месте их контакта, согласно уравнению

,

где - приведенная масса; M₁, M₂ - массы колес; F - динамическая нагрузка с учётом стационарной (она рассматривается как периодические, быстро чередующиеся «мягкие» удары); c - коэффициент жесткости зацепления (он квазиупругий, но его можно рассматривать в каждой из двух зон зацепления, однопарной и двухпарной, как постоянную величину, переходящую от значений в одной зоне к другой скачком).

Решение дифференциального уравнения движения получим интегрированием его, представив силу F в виде быстро чередующихся ударов и учтя, что зацепление происходит однопарно и двухпарно. Иначе говоря, вынуждающую силу рассматриваем как последовательность бесконечно малых импульсов F(t)dt, действующих в соответствующих зонах зацепления и определяемых пределами интегрирования. Их нетрудно установить, если связать между собой время, коэффициент торцевого перекрытия и геометрические параметры: от начала теоретической линии зацепления до активной ее части, далее - первая зона двухпарного зацепления, зона однопарного зацепления и т.д.

Решение уравнения движения имеет вид

,

где x₀ - начальное перемещение; - собственная частота системы.

По результатам исследований можно заключить, что колебания носят высокочастотный характер с частотой K. Их можно определить как автоколебания, которые питаются энергией от источника неколебательного типа - стационарного движения колес передачи; силы, подводимые к системе, являются квазиупругими, и с прекращением зацепления их действие прекращается.

Интенсивность колебаний возрастает с увеличением модуля зацепления, числа зубьев ведущего и ведомого колес, числа зубьев ведомого колеса при неизменном числе зубьев ведущего, т.е. интенсивность возрастает с увеличением размеров колес. Меньшее влияние оказывают щ₁ и б_W: интенсивность несколько возрастает с их увеличением.

Динамическая нагрузка распределяется неравномерно по линии зацепления. Она больше в начале теоретической линии зацепления и убывает по закону, близкому к гиперболическому (рис. 3) [1]. Отсюда естественно предположить, что если осуществить зацепление на участке больших динамических нагрузок (рис. 3а) и отдельно на участке меньших (рис. 3б), то интенсивность будет неодинаковая, большая в первом случае.

Это подтверждено экспериментально на примере зубчатой передачи с u=1, но с колесами, имеющими разные окружности вершин зубьев. Вращение передавалось с первого колеса на второе, а затем наоборот.

Исследование зубчатого зацепления как автоколебательного процесса позволило определить параметры колебаний и установить их связь с перемещающейся в ходе передачи движения площадкой контакта, а также рекомендовать при определении контактных напряжений один коэффициент передачи усилия вместо трех, применяемых в настоящее время [2].

Что же касается поверхностных слоев зубьев, где непосредственно происходят колебания, то они, естественно, являются наиболее напряженными участками зубьев, и именно на них наблюдаются выкрашивания и следы заедания, причем по глубине, соизмеримой с амплитудой.

Рис. 3. Схема зацепления зубчатых колес

зубчатый зацепление деформация трение

Резонно предположить, что колеблющийся слой зубьев представляет собой амортизационный слой, образуемый в месте передачи усилий и появляющийся в результате приспособляемости зубьев к этому процессу. Приспособляемость можно лучше объяснить, если рассмотреть и силы трения, возникающие при относительном проскальзывании зубьев. Для появления силы трения скольжения необходима деформация в месте контакта зубьев и скорость относительного движения.

Уместно отметить, что данная ситуация подобна качению колеса по неподвижной плоскости, которое может произойти только при наличии деформации в месте их соприкосновения. Но при этом деформируемый участок находится в непосредственной близости от мгновенного центра вращения (МЦВ), средняя скорость относительного движения равна нулю и скольжение не наблюдается.

Если учесть, что полюс зацепления является МЦВ колес, и принять во внимание вид траектории в этой точке (рис. 1, б_K=20⁰), то можно отметить неучастие полюса в передаче движения, так как нет условий для совершения элементарной работы dA=Fds.

Таким образом, качение - это граничное положение скольжения. Другое положение - когда МЦВ находится в бесконечности, например в поступательной паре с прямолинейным движением ползуна. Поэтому, по мнению автора, одной из причин, от которых существенно зависит характер трения при движении, является положение МЦВ при обязательном условии деформации в месте контакта.

Критерием, характеризующим трение в месте контакта, может быть R - расстояние от него до МЦВ (0?R??).

Упоминая о необходимости деформации и, как следствие, искажения кинематики относительного движения, мы тем самым отмечаем необходимость побуждения к действию упругих сил (как сил, необходимых для передачи движения в рассматриваемой высшей паре), сводя при этом роль внешних сил к созданию потребного запаса потенциальной энергии и приращения кинетической.

Схема передачи движения может быть представлена так: внешние силы создают условия для действия внутренних сил упругости, в результате чего и происходит движение как непрерывный процесс перехода потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. Переход одного вида энергии в другой должен непрерывно сопровождать процесс передачи движения для энергетической «подпитки» и поддержки его, и нельзя это объяснять только приобретением некоторого запаса энергии при разбеге.

Говоря об амортизационном слое, можно добавить, что колебания облегчают передачу движения в паре, так как раскладывают процесс передачи усилий на элементарные участки, в каждом из которых МЦВ находится внутри полуволны колебаний, т. е. значительно ближе, чем полюс зацепления для подавляющего большинства точек контакта (R близко к нулю). В этом и заключается приспособляемость передачи к тем динамическим процессам, которые происходят при её работе.

Коэффициент передачи усилия в зубчатой передаче больше единицы, хотя в амортизаторе он должен быть меньше ее. Снизить величину коэффициента, облегчив этим условия возникновения упругих деформаций, можно, например, используя эффект перепада твердостей поверхностей зубьев или проектируя передачу так, чтобы активная часть линии зацепления была смещена по возможности дальше от начала теоретической, в зону меньших динамических нагрузок.

Список литературы

Малинкович М.Д. К вопросу исследования динамики прямозубых эвольвентных передач / М.Д. Малинкович // Изв. высш. учеб. заведений. Машиностроение. - 1971. - №3. - С. 46-50.

Малинкович М.Д. Динамика прямозубой цилиндрической передачи / М.Д. Малинкович // Вестн. БГТУ. - 2005. - №4. - С. 43-46.

Аннотация

УДК 621.81

Исследование процесса зацепления цилиндрических зубчатых передач. М.Д. Малинкович

Рассмотрен процесс зацепления в цилиндрической зубчатой передаче как процесс автоколебаний, которые происходят под действием квазиупругих динамических сил.

Колеблющийся поверхностный слой зубьев представлен как амортизатор, появляющийся при работе передачи в результате приспособляемости зубьев к условиям зацепления. Даны некоторые рекомендации по смягчению действия сил.

Ключевые слова: зубчатая передача; поверхностный слой; динамические силы; зацепление.

Размещено на Allbest.ru