Моделирование движения манипуляционных систем с упругими звеньями

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ С УПРУГИМИ ЗВЕНЬЯМИ

О.Н. Крахмалев, А.П. Болдырев, Л.И. Блейшмидт

Аннотация

манипуляционный система упругий звено

Получены дифференциальные уравнения, описывающие движения манипуляционных систем с упругими звеньями. Выделены отклонения (динамические ошибки) обобщённых координат от их программных значений, вызванные упругими свойствами звеньев.

Ключевые слова: манипуляционные системы, упругие звенья, уравнение движения, динамическая ошибка.

Основная часть

Статья посвящена моделированию движений манипуляционных систем (МС) промышленных роботов (ПР), конструкция которых обладает упругой податливостью. Полученные уравнения могут быть использованы как для анализа динамических ошибок, возникающих из-за упругой податливости звеньев манипулятора, так и для синтеза программных движений жёсткого манипулятора. Предлагаемая система уравнений имеет матричную структуру, удобную для компьютерного моделирования.

В основу разработанных алгоритмов динамического анализа и синтеза манипуляционных систем промышленных роботов, звенья которых моделируются твёрдыми телами, положена математическая модель [5]

[M]{q} + [S]{q²} + 2[K]{q_iq_j} = {Q_D} + {Q_F} + {Q_Pg} (1)

Здесь {Q_D}, {Q_F}, {Q_Pg} - векторы обобщённых сил соответственно от усилий, развиваемых приводами, сил внешней нагрузки и сил тяжести звеньев; векторы производных от обобщённых координат {q} по времени:

{q} = [q₁ q₂ … q_n]^T, {q²} = [q²₁ q²₂ … q²_n]^T, {q_iq_j} = [q₁q₂ … q₁ q_n q₂ q₃ … q₂ q_n … q_n-1 q_n]^T;

[M], [S] и [K] - матричные коэффициенты, соответствующие инерционным параметрам звеньев манипуляционной системы:

A_0k - матрица (4х4) преобразования однородных координат системы S_k, связанной с k-м звеном, в абсолютную систему S₀; может быть вычислена как последовательность произведений соответствующих матриц преобразования координат [1]:

k

A_0k = A₀₁ A₁₂ … A(i-1)i Ai(i+1) … A(k-1)k = П A (i-1)i .

i = 1

H_k - матрица инерции (4х4); определяет инерционные свойства k-го звена как твёрдого тела [1] и вычисляется по выражению

H_k =?r_м^(k) r_м^(k)T dm,

?_k

где r_м^(k) - радиус-вектор точки M звена в системе координат S_k, связанной с этим звеном;

?_k - объём k-го звена.

Достоинством данной математической модели является то, что она позволяет наглядно оценить влияние сил инерции различной природы на точность отработки движения манипуляционной системой.

Матричные коэффициенты [M], [S], [K] являются функциями обобщённых координат и зависят от динамических параметров МС.

Коэффициент [M] устанавливает связь действующих на звенья сил и моментов с ускорениями обобщённых координат. Элемент матрицы m_ij определяет инерционный момент (силу инерции), действующий на i-е звено под влиянием ускорения в j-й кинематической паре.

Коэффициент [S] определяет связь действующих на звенья сил и моментов с квадратами скоростей обобщённых координат. Элемент матрицы s_ij определяет центробежную силу, действующую на i-е звено, порождаемую угловой скоростью в j-й кинематической паре.

Коэффициент [K] определяет связь действующих на звенья сил и моментов со скоростями изменения обобщённых координат. Элемент матрицы k_ij определяет кориолисову силу, действующую на i-е звено, возникающую в результате сложного относительного (переносного) движения двух звеньев, не совпадающих с i-м.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение уравнения (1) в виде {q} = {q(t)} представляет собой так называемое программное движение идеальной манипуляционной системы, имеющей жёсткие звенья, при отсутствии трения в кинематических парах. В действительности звенья и другие элементы манипуляторов обладают упругой податливостью [2; 3]. Основной вклад в упругую податливость ПР вносят звенья манипулятора и приводы, включающие в себя исполнительные двигатели и механические передачи. Будем считать, что упругие элементы с жёсткостью С_i сосредоточены в узлах сочленений звеньев (рис.1) [4; 5].

Под действием статических и динамических нагрузок упругие элементы деформируются, в результате чего действительный закон движения будет отличаться от программного. Величину отклонения вектора обобщённых координат от программного движения обозначим через {Дq} = {Дq(t)} и назовём динамической ошибкой манипуляционной системы. Дифференциальные уравнения, описывающие действительные движения звеньев манипулятора, могут быть получены из уравнения (1) путём замены вектора {q(t)} на вектор {q(t) + Дq(t)}:

[M](q+Дq){q+Дq} + [S](q+Дq){(q+Дq)²} + 2 [K](q+Дq){(q_i+Дq_j)(q_j+Дq_i)} ={Q_D} + {Q_F} + {Q_Pg} + {Q_Pc}. (2)

Разложим матричные коэффициенты уравнения (2) в ряд Тейлора, удерживая только члены первого порядка малости [4; 5]:

Учитывая полученные разложения (3-5) и отбрасывая члены второго порядка малости, уравнение (2) можно представить в виде

[M]{q} + [S]{q²} + 2[K]{q_iq_j} + [M]{Дq} + 2[S]{qДq} + 2[K]{q_iДq_i + q_jДq_j } +

n ?[M] .. ?[S] . ?[K] . .

+? ____ {q} + ____{q²} + ____ {q_iq_j} Дq_l = (6)

l=1 ?q_l ?q_l ?q_l

= {Q_D} + {Q_F} + {Q_Pg} + {Q_Pc}.

Матричные коэффициенты [M](q), [S](q) и [K](q) характеризуют инерционные параметры системы, поэтому можно считать, что они мало изменяются при малом изменении вектора обобщённых координат {q}. Следовательно, частные производные этих коэффициентов

?[M] ?[S] ?[K]

____, ____ и ____, l = (1, …, n),

?q_l ?q_l ?q_l

будут малыми величинами, поэтому слагаемыми, стоящими под знаком суммы в уравнении (6), можно пренебречь.

Из сравнения уравнений (1) и (6) видно, что уравнение (6) может быть разбито на два независимых уравнения:

- уравнение, описывающее программное движение:

[M]{q}+[S]{q²}+2[K]{q_iq_j} = {Q_D} + {Q_F} + {Q_Pg}; (7)

- уравнение, описывающее малые упругие колебания вблизи программного движения:

[M]{Дq} + 2[S]{qДq} + 2[K]{q_iДq_j + q_jДq_i} = {Q_Pc} _. (8)

Анализ уравнений (7) и (8) показывает, что величина динамической ошибки {Дq(t)} зависит как от параметров системы, определяющих матричные коэффициенты [M], [S] и [K], так и от самого программного движения.

При численном интегрировании уравнений (7) и (8) матричные коэффициенты уравнений не обязательно вычислять на каждом шаге интегрирования.

В правую часть уравнения (8) входит обобщённая сила, соответствующая силам, возникающим в упругих элементах при их деформации:

{Q_Pc} = { Q_Pc1, Q_Pc2, …, Q_Pcn} , (9)

?P_С

Q_Pci = ЇЇЇ , i = (1, …,n),

?Дq_i

где P_С - потенциальная энергия деформации упругих элементов всей системы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для наглядного представления разработанной математической модели на примере кинематической схемы манипулятора с 3 звеньями решим модельную задачу, выполнив все этапы моделирования. Для описания геометрии выбранной кинематической схемы свяжем с каждым звеном манипулятора систему координат S_i (рис. 2) и зададим обобщённые координаты q_i (i=1,…,3) и их направления. Матрица преобразования однородных координат A₀₃ из системы S₃, связанной с 3-м звеном, в абсолютную систему координат S₀ имеет вид (10).

Распределение масс смоделируем телами простой геометрической формы: первое звено массой m₁ - тонкостенная труба длиной l₁ и радиусом R₁, второе звено массой m₂ - тонкий стержень длиной l₂, третье звено - сосредоточенная масса m3. Матрицы инерции звеньев H₁, H₂ и H₃ в системах координат, связанных с этими звеньями, имеют вид (11) согласно преобразованию H_i= A_{i j} H_j A_i [5].

С учетом уравнений (7) и (8) уравнения движения рассматриваемой МС, составляющие динамическую модель манипуляционной системы, будут иметь следующий вид:

- матричное уравнение, описывающее программное движение:

[M][q₁ q₂ q₃]^T+[S][q₁² q₂² q₃²]^T +2[K][q₁q₂ q₁q₃ q₂q₃]^T = {Q_D} ₊ {Q_Pg} ; (12)

- матричное уравнение, описывающее малые упругие колебания вблизи программного движения:

[M] [Дq₁ Дq₂ Дq₃]^T + 2[S] [q₁Дq₁ q₂Дq₂ q₃Дq₃]^T + 2[K] [q₁Дq₂+q₂Дq₁ q₁Дq₃+q₃Дq₂ q₂Дq₃+q₃Дq₂]^T = {Q_Pc}_. (13)

Опуская громоздкие преобразования, приведём аналитические выражения для матричных коэффициентов [M], [S] и [K], входящих в уравнения модели:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3 Траектория движения рабочего органа МС

Зададим траекторию движения в виде прямой (рис.3) - это наиболее часто используемая форма участков траектории при программировании промышленных роботов. Движение рабочего органа по выбранной траектории представим двумя участками. На первом участке характерная точка рабочего органа из неподвижного состояния начинает равноускоренное движение до средней точки траектории. На втором участке выполняется равноускоренное торможение рабочего органа до полной его остановки. Такая форма движения типична для промышленных роботов.

На втором этапе планирования программной траектории ставится задача определения обобщённых координат манипулятора, обеспечивающих движение его рабочего органа по заданной траектории. Для этого формируется последовательность узловых точек на заданной декартовой траектории и путём решения обратной задачи кинематики определяются векторы обобщённых координат, соответствующих этим узловым точкам. Затем для вычисленных дискретных значений обобщённых координат методами интерполяции подбираются полиномы. После решения обратной задачи кинематики по положениям рабочего органа на программной траектории решается обратная задача по скоростям. Решение этой задачи определяет закон изменения обобщенных координат во времени в соответствии с заданным законом движения. Результат решения обратной задачи кинематики для обобщенных координат q₂ и q₃ представлен на рис.4.

Рис. 4 Графики изменения во времени обобщенных координат q₂, q₃ и их производных

Следующим этапом является определение усилий в приводах, необходимых для обеспечения движения рабочего органа манипулятора по заданной траектории с заданными скоростями. Определение необходимых усилий в приводах по заданному закону движения является решением обратной задачи динамики, заключающейся в том, чтобы по вычисленным на предыдущем этапе обобщённым координатам и их производным определить действующие на звенья манипулятора силы и моменты на основании матричного уравнения (12).

При решении задач динамики необходимо вычислять динамические коэффициенты, определяемые выражениями (14-16). Графики изменения во времени ненулевых элементов матричных коэффициентов [M], [S] и [K] представлены на рис.5.

Рис. 5 Графики изменения ненулевых элементов матричных коэффициентов

Вычисленные усилия, развиваемые приводами Q_Р1, Q_Р2 и Q_Р3, отражены на графиках, изображённых на рис.6.

Рис. 6 Графики усилий, развиваемых приводами

После определения усилий в приводах манипулятора, обеспечивающих движение его рабочего органа по заданной программной траектории с необходимыми скоростями, возникает вопрос оптимизации этих усилий. Это связано с тем, что при движении рабочего органа по сложной траектории возникают динамические эффекты, вызываемые силами инерции разной природы. Анализ влияния сил инерции на усилия, развиваемые приводами, через анализ ненулевых элементов матричных коэффициентов позволяет выполнить допустимую корректировку программной траектории с учётом оптимизации этого влияния.

Следующим этапом является оценка отклонений рабочего органа от заданной траектории вследствие упругой податливости конструкции манипулятора. Точность отработки манипулятором заданной программной траектории определяется разностью между требуемым и действительным положениями рабочего органа во время его движения, именующейся динамической ошибкой. Оценка динамической ошибки, приведение её к допустимым значениям является важным этапом планирования программной траектории. Значения динамических ошибок для обобщённых координат q₂ и q₃, вычисленные на основе матричного уравнения (13) представлены на рис. 7.

Рис. 7 Динамические ошибки для обобщённых координат q₂ и q₃

Полученные результаты расчёта динамических параметров на примере математической модели (12-13) для трёхзвенного манипулятора, выполняющего программное движение по заданной траектории, иллюстрируют возможности моделирования движения манипуляционных систем произвольной формы, которое может быть выполнено на основе использования обобщённой математической модели, определяемой системой матричных уравнений (7-8).

Список литературы

1. Динамика управления роботами / В.В. Козлов, В.П. Макарычев, А.В. Тимофеев; под ред. Е.И. Юревича. М.: Наука, 1984. 328 с.

2. Вукобратович, М. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами: [пер. с англ.] / М. Вукобратович, Д. Стокич, Н. Кирчански. М.: Мир, 1989. 376 с.

3. Вукобратович, М.Численный метод моделирования динамики манипулятора с упругими свойствами / М. Вукобратович, В. Потконяк // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1981. №5.

4. Блейшмидт, Л.И. Уравнение движения манипулятора с упругими звеньями / Л.И.Блейшмидт, О.Н. Крахмалев. Брянск: БИТМ, 1990. Деп. в ВИНИТИ, №1619-В91.

5. Блейшмидт, Л.И. Основы механики манипуляционных систем промышленных роботов: метод. указ. по лекц. курсу / Л.И.Блейшмидт. Брянск: БИТМ, 1990. 64 с.

Размещено на Allbest.ru