Адекватность модели и реальной поверхности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Адекватность модели и реальной поверхности

Использование моделей инженерных поверхностей при решении контактных задач в настоящее время является обычной практикой и позволяет получить требуемые параметры кантактного взаимодействия с достаточной точностью. Важной является оценка адекватности моделии реальной поверхности. В этой работе предлагаются критерии сравнения модели поверхности с оригиналом. На рис. 1 представлены реальная поверхность и ее модель. Сравнение спектральной плотности реальной поверхности и модели (рис. 2) - одно из оснований для оценки адекватностиреальной поверхности и её модели.

а) б)

Рис. 1. Моделирование инженерной поверхности: а - реальная поверхность; б - модель

компьютерный моделирование микрогеометрия деталь

а) б)

Рис. 2. Спектральная плотность: а - реальная поверхность; б - модель

Так как важную роль играют такие параметры, как среднее квадратическое отклонение высот неровностей поверхности Ra и фрактальный фактор D, то в дополнение к фрактальной размерности, определяемой с помощью спектральной плотности, для фрактального фактора предлагаются следующие критерии адекватности.

1. Условием подобия реальной поверхности и ее модели является фрактальная размерность:

(1)

Здесь k - угловой коэффициент в уравнении lgP(щ)=C - k·lg(щ) (рис. 2).

2. Другим критерием будет безразмерный критерий

где Ra - среднее арифметическое отклонение ординат; Rq - среднее квадратическое отклонение.

Критерий можно представить в виде следующего выражения:

Здесь G - фрактальный фактор; г - величина, равная (по Маджумдару) 1,5; щ - частота.

Фрактальный фактор Gопределяется по следующей формуле:

Где R_q - оценка среднего квадратического отклонения ординат профиля; щ_max, щ_min - наивысшая и низшая частоты профиля как случайного процесса.

На рис. 3 представлены в качестве примера реальная поверхность (эрозия) и её модель, а также их параметры шероховатости.

Ra_X=2,02, Ra_Y=2,11; Rp_X=5,45, Rp_Y=5,98; Ra_X=2,04, Ra_Y=2,09; Rp_X=5,42, Rp_Y=5,61;

Rq_X =2,52, Rq_Y =2,63 Rq_X =2,49, Rq_Y =2,42

Рис. 3. Пример реальной поверхности (а) и её модели (б)

На рис. 4 для реальной поверхности и её модели показаны зависимости спектральной плотности мощности от частоты (фрактальные размерности Dfопределялись по формуле (1)).

щ_max=0,43;щ_min=0,03;

D_f=2,37;р =0,085816 щ_max=0,5;щ_min=0,027;

D_f=2,37;р =0,08248

Рис. 4. Сравнение спектральных мощностей

Критерий рдаёт хорошую сходимость полученных результатов, т.е. эти две поверхности идентичны. Покажем в сравнении ещё и такую характеристику, как опорная поверхность исследуемого объекта по высоте. На рис. 5 видно, что модель имеет практически такую же характеристику, как и у реальной поверхности.

Рис. 5. Опорные кривые поверхности и модели

Адекватность реальных поверхностей их моделям еще не решает вопроса, связанного с определением таких параметров контактного взаимодействия, как сближение, площадь фактического контакта, контактная жесткость и др. Эти параметры взаимодействия обычно оценивают, решая задачу контакта гладкой поверхности с шероховатой. В случае контакта двух шероховатых поверхностей рассматривают задачу контактирования гладкой поверхности с шероховатой, имеющей эквивалентные параметры шероховатости. В работах Н.Б. Демкина[1] на основании параметров опорных кривых приведены формулы подобного приведения. В зарубежной литературе на базе статистического описания поверхности также приводятся формулы определения параметров эквивалентной шероховатости. В случае описания поверхности с позиций фракталов не рассматривался вопрос о замене контакта двух фрактальных поверхностей на контакт гладкой поверхности с эквивалентной фрактальной.

Сформулируем следующую задачу. Рассматривается контакт двух фрактальных поверхностей, имеющих соответственно разные (или даже одинаковые) фрактальные размерности. Требуется оценить эквивалентную фрактальную размерность, которая после приведения задачи к контакту гладкой поверхности с эквивалентной фрактальной будет иметь параметры контактного взаимодействия такие же, как и при контакте двух исходных фрактальных поверхностей.

Для решения этой задачи используем следующий подход. Контакт двух фрактальных поверхностей при решении задач, связанных с уплотнительной техникой для разъемных неподвижных соединений, дискретен. Более того, поверхностный слой не должен иметь пластические деформации, хотя отдельные неровности при первых нагружениях могут деформироваться пластически. Полагаем, что фрактальная размерность может быть измерена с помощью соотношения «периметр ? площадь», которое отражает фрактальные особенности контактирующих поверхностей. Следует заметить, что при увеличении сближения закон распределения площадок контакта относительно максимальной площадки остается неизменным. Таким образом, представляется возможным определить фрактальную размерность эквивалентной поверхности и рассмотреть процесс ее контактирования с гладкой поверхностью.

Для обоснования такого подхода рассмотрим экспериментальные данные, полученные в результате контакта некоторых сочетаний шероховатых поверхностей. Отметим, что волнистость профиля поверхностине является фрактальным объектом и ее учет необходим для оценки контурной площади касания.

Для определения эквивалентной фрактальной размерностиD_fЕ, требуемой для решения задачи контактного взаимодействия поверхностей, имеющих свои фрактальные размерности D_f1 и D_f2, необходимо знать соотношения между фрактальной размерностью и стандартными (ГОСТ 2789-73) параметрами шероховатости. К ним отнесемсреднее арифметическое отклонение профиля Raи высоту сглаживанияRp - параметр, широко используемый в инженерной практике.

Измерения, проведенные для оценки параметров шероховатости анизотропной поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях, дают возможность оценить приведенные параметры шероховатости. Так, приведенное значение среднего арифметического отклонения профиля определяется следующим выражением [2]:

.

Здесьi - обозначение поверхности (первая или вторая); - максимальное и минимальное значения высотного параметра во взаимноперпендикулярных направлениях.

Аналогичное соотношение даётсядля приведенного параметра сглаживания. Полагаем, что существует определенная функциональная зависимость между фрактальной размерностью и приведенным значением высотного параметра. Подобная зависимость приведена в работе [3] и имеет вид

В работе Т. Бармана [4] приведена другая зависимость:

(2)

В соответствии с критериями подобия фрактальная размерность модели и реальной поверхности будет одинаковой при выполненииусловия

Формула, предложенная в работе Бармана [4], график которой представлен на рис. 6, не учитывает отношения и поэтому не в полной мере отражает особенности структуры поверхностного слоя.

Рис. 6. Зависимость фрактальной размерности D_fанизотропной поверхности от приведенного среднегоарифметического отклонения Ra_V

График построен на основе данных измерения инженерных анизотропных поверхностей (таблица).

Геометрические параметры шероховатых поверхностей

Модели фрактальных поверхностей строятся с помощью разных методов: случайного сложения, срединного смещения и функции Вейерштрасса - Мандельброта.

Функция Вейерштрасса-Мандельброта[5] представлена в виде

где с_z-сомножитель; q-параметр пространственно-частотного масштабирования (q>1); D - фрактальная размерность (2<D<3); N, M - число гармоник; Kp - основное пространственное волновое число; ц_n,m~Rav [0,р] - случайное число, равномерно распределенное на отрезке от 0 до р.

Сомножитель c_z определяется из соотношения

Данная функция содержит в себе как случайную структуру, так и детерминированную составляющую, отражая особенности некоторых инженерных поверхностей.

На рис. 7 представлена модель поверхности, построенная в разработанной нами программе с учетом следующих данных: q=2,7; Kp=1; N1=M=10; D=D_f +1=1,17+1=2,17.

Рис. 7. Модель поверхности по Вейерштрассу-Мандельброту

Метод последовательного случайного сложения предложен Р.Ф. Фоссом[6].

Вначале зафиксируем высоту Z = 0 в четырех углах сетки из l x l элементов. Необходимо использовать подпрограмму, генерирующую независимые гауссовы случайные числа Ј с нулевым средним и единичной дисперсией. На первом этапе мы просто получаем одно значение Ј и используем его как уровень поверхности в центре сетки. На втором этапе сначала проводим интерполяцию и находим возвышения в четырех точках с координатами (0,25l, 0,25l), (0,75l, 0,25l), (0,25l, 0,75l), (0,75l, 0,75l). Это означает, что возвышение в нужной нам точке равно среднему арифметическому возвышений в ближайших по диагоналям известных точках. Возвышения в двух ближайших точках на границе принимались равными среднему арифметическому возвышений в ближайших углах области. Таким образом, на этом этапе процесса задавались интерполированные возвышения в 13 точках - в пяти исходных положениях, четырех новых внутренних точках и четырех новых точках на границе (рис. 8).Следующим шагом 13 независимых значений Ј_n=1 прибавлялись к уже имеющимся возвышениям. При этом гауссовы случайные числа имеют дисперсию Ј²_n = у²_n = r^2Hn, где r = .

Рис. 8. Схема построения точек по методу Фосса

Применение этой процедуры продолжается, и в следующем цикле добавляются точки (0,5l, 0,25l), (0,25l, 0,5l), (0,75l, 0,5l), (0,5l, 0,75l). Возвышения в этих точках определяются как среднее арифметическое возвышений в ближайших к ним узлах, т.е. в узлах, которые лежат в направлениях, параллельных осям. В точках, лежащих на границе, возвышения вновь определяются специальным образом. После каждого цикла этот алгоритм удваивает число точек, в которых задано возвышение, и уменьшает на множитель r = расстояние между такими точками.

В результате, варьируя фрактальную размерность, размеры площадки и точность построения, можно получить поверхности с разной шероховатостью, очень похожие на реальные поверхности (на рис. 9 показана модель поверхности с той же фрактальной размерностью, что и на рис. 7, построенная по методу последовательного случайного сложения, предложенному Р.Ф. Фоссом).

Рис. 9. Модель поверхности с фрактальной размерностью D_f =2,17

Метод срединного смещения более понятен на примере построения фрактальной кривой - профиля поверхности. Фиксируем точки на границах области, т.е. точки 0 и 1 при условной длине отрезка, равной 1. В середине отрезка определяем высоту по формуле

.

Здесьn - номер уровня смещения; у - масштаб по высоте z, который не оказывает влияния на фрактальную размерность; g ? случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 0, и дисперсией, равной 1; H ? показатель Хёрста; .

Процедура смещения и образования фрактальной кривой показана на рис. 10.

Рис. 10. Последовательность создания фрактальной кривой

Применительно к модели поверхности метод срединного смещения требует немного изменить алгоритм. На рис. 11 показана процедура смещения точек на квадратной решётке.

Рис. 11. Процедура образования фрактальной поверхности

Точки A, B, C, D, E и F задаются произвольным образом (в нашем случае они равны нулю). Точки в середине квадратной решётки определяются по представленному алгоритму, за исключением того, что середина берётся как среднее четырёх соседних точек по диагонали:

.

В точке Hвысота определяется аналогично. В точке пересечения отрезков BE и GH высота будет определяться как среднее арифметическое точек B, E, GиH с уменьшенной дисперсией (n=2).

Применяя этот алгоритм на квадратной сетке большого размера, мы получили поверхность, представленную на рис. 12.

Метод с использованием функции Вейерштрасса-Мандельброта позволяет создать модели, адекватные реальнымповерхностям. В процессе создания модели обнаруживается периодичность образования выступов и впадин, что не всегда характерно для реальных поверхностей. Исключить эту явно видимую периодичность можно путём правильного подбора значений Mи Nв уравнении Вейерштрасса-Мандельброта, но это приводит к нарушению других параметров, таких как Ra, Rq и т.д.

Рис. 12. Фрактальная поверхность (Df =2,17)

Два последних алгоритма очень похожи друг на друга, за исключением некоторых моментов применения случайной составляющей и граничных условий. Они дают довольно реальные карты поверхностей, но их недостатком является кривизна карты даже в маленьком масштабе моделирования и неравномерность высот пиков, что не характерно для реальных поверхностей деталей машин, у которых высота вершин примерно одинакова. Важной задачей является доработка этих методов для повышения степени идентичности моделей реальным поверхностям.

Таким образом, использование моделей поверхностей и эквивалентных поверхностей при проектировании различных сопряжений оправдано и может давать приемлемые результаты. Но при этом необходимо контролировать степень адекватности поверхностей, например с помощью критерия подобия , представленного в данной статье.

Список литературы

1. Демкин, Н.Б. Контакт шероховатых волнистых поверхностей с учетом взаимного влияния неровностей/ Н.Б. Демкин, С.В. Удалов, В.А. Алексеев, В.В. Измайлов, А.Н. Болотов // Трение и износ. - 2008.-Т.29. - №3. - C. 231-237.

2. Маккул, Дж. Распределение площади, нагрузки, давления и локального повышения температуры в микроконтактах по модели Гринвуда-Вильямсона /Дж. Маккул // Проблемы трения и смазки. - 1988. - №4. - С. 99-105.

3. Тихомиров, В.П. Контактное взаимодействие фрактальных поверхностей/ В.П. Тихомиров // Трение и износ. - 1997.-Т. 18. - №3. - С. 369-374.

4. Barman, T.K. Fractal relation with conventional roughness harameers for surface topography generated in grinding / T.K. Barman, P. Sahoo // Proceedings of the International Conference on Mechanical Engineering, 28-30 December, 2005. - Dhaka, Bangladesh, 2005. - P. 1-5.

5. Потапов, А.А. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью / А.А. Потапов, А.В. Лактюнькин // Нелинейный мир. - 2001.-Т. 6. - №6. - С. 3-36.

6. Федер, Е. Фракталы: [пер. с англ.]/ Е. Федер. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

Размещено на Allbest.ru