Применение метода Рунге-Кутта с припасовыванием для решения задач фрикционных автоколебаний в распределенных системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение метода Рунге-Кутта с припасовыванием для решения задач фрикционных автоколебаний в распределенных системах

УДК 519.624

Б.Г. Кеглин, Е.Г. Гайворонский

20.09.07

Описан вариант метода Рунге-Кутта, приспособленный для решения задач фрикционных автоколебаний с остановками. Показаны сложности синтеза метода припасовывания и численного решения дифференциальных уравнений с переменной структурой. Приведена количественная оценка преимущества данного метода по сравнению с классическим методом Рунге-Кутта при исследовании фрикционных автоколебательных процессов в системах с распределенными параметрами.

Исследование процессов фрикционных автоколебаний в континуальных системах при наличии силы трения, зависящей от продолжительности неподвижного контакта [1, 2] (далее реологической силы трения), привело к необходимости создания метода, четко описывающего смену состояний в такой системе.

Коэффициент трения во время движения f_ск(v) описывается зависимостью Крагельского-Щедрова [3], или кубическим законом трения. В момент остановки трение начинает зависеть от времени остановки t:

f_пок(t) = f_??-?(f_??-?f₀)e-^?n?t,

где f_? - коэффициент силы трения при бесконечно большом времени контакта; f₀ - коэффициент силы трения при нулевом времени контакта; n - инкремент увеличения силы трения.

Реологическая сила трения порождает модель трения, в которой дифференциальные уравнения движения имеют переменную структуру, т.е. они в зависимости от значения скорости скольжения трущихся частей, составляющих модель, предстают в виде разных наборов дифференциальных уравнений - дифференциальных уравнений с переменной структурой (ДУсПС). Система ДУсПС с двумя структурами получается в задачах фрикционных автоколебаний в сосредоточенном и распределенном случаях. Приведем систему уравнений для одномассовой задачи.

пока Усл₁(t, u, v) = ложь;(1)

пока Усл₂(t, u, v) = ложь;(2)

(t, u, v): (Усл₁(t, u, v) Усл₂(t, u, v)) = истина,

где v_ск - скорость скольжения трущихся частей в стационарном состоянии системы; k - частота свободных колебаний системы; - показатель, соотносящий силу трения с силами инерции. Условия перехода от одной системы уравнений к другой: от скольжения к покою - Усл₁(t, u, v), от покоя к скольжению - Усл₂(t, u, v).

Линеаризация систем с реологическим трением и другие подходы, заменяющие решение ДУсПС на решение обычных дифференциальных уравнений [4], имеют один общий недостаток: они явно не учитывают сууществующую в действительности смену законов движения автоколебательных систем. Так, некоторые режимы релаксационных колебаний, как показали вычислительные эксперименты, могут иметь квазигармоническую форму или быть стохастическими с суперпозицией квазигармонических форм (в многомассовой задаче). Установить, что имеет место именно релаксационный процесс, а не остаточные колебания или безостановочные автоколебания, может только анализ последовательности смены структур решения.

Общим подходом в исследовании уравнений с переменной структурой является метод припасовывания [5]. Обычно он используется для точного описания уравнений движения, но теоретически можно соединить его, например, с методом Рунге-Кутта. Для создания такого комбинированного метода необходимо разрешить ряд трудностей, возникающих в ходе реализации данной идеи.

Для получения возможности работы с ДУсПС надо внести изменения в метод Рунге-Кутта, которые позволят не выходить при решении за границы одной структуры. При реализации этого подхода были обнаружены эффекты, которые обусловливаются численным характером решения:

1. В областях перехода от одной структуры уравнений к другой может проявляться самоограничение решения из-за скачкообразного изменения коэффициента трения скольжения f_ск(v) при смене знаков скорости. Это приводит к тому, что в момент фактического перехода от скольжения к покою не выполняется условие смены структуры дифференциального уравнения Усл₁(t, u, v) (это условие может вообще никогда не выполняться). В результате получается решение, в котором отсутствует релаксационный автоколебательный процесс.

2. Неустойчивость решения вследствие неопределенности коэффициента трения при v = v_ск приводит к ошибкам в определении ускорения на шаге срыва - при выполнении условия Усл₂(t, u, v). Масштаб этой ошибки гораздо больше масштаба шага интегрирования . Эффект приводит к заметному (более 2% - на конкретных примерах) падению точности решения.

3. Существует еще один механизм потери точности вычислений, который непосредственно связан с дифференциалом (1,2): в области, где v = v_ск, смена скольжения на покой - выполнение условия Усл₂(t, u, v) - происходит при какой-то близкой к v_ск скорости, но не равной ей. При этом на графике скорости мы будем видеть, что у каждого периода колебаний своя скорость остановки. Это приводит, например, к погрешности вычисления периода колебаний (более 3%).

Для решения перечисленных проблем предусмотрено следующее:

1. Для борьбы с самоограничением решения предусмотрена задержка появления скачка трения на один шаг интегрирования уравнения. Это можно сделать, если добавить к зависимости коэффициента трения от скорости f_ск(v) дополнительную вспомогательную переменную:

f_ск(v, v₂) = f'_ск(v), если v₂ > 0;

f_ск(v, v₂) = - f'_ск(v), если v₂ < 0.

Переменные v и v₂ таковы, что v на предыдущем шаге равняется v₂ на последующем. Функция f'_ск(v) должна описывать коэффициент трения только в области положительных значений v, а в области перехода к отрицательным значениям должна быть аналитической функцией. Таким образом, при решении ДУсПС удается задержать скачкообразное изменение коэффициента трения на один шаг, система «заходит» за скачок и улавливает условие изменения структуры.

2. Для верного нахождения изначальной величины ускорения применяется (на первом с момента срыва шаге) метод Эйлера для решения дифференциальных уравнений, при этом шаг разбивается на N частей. При таком подходе система решения ДУсПС сама определяет величину ускорения. Мы не видим в решении ошибок на шагах от 1 до N, а видим только значение в N-й точке. N определяется из соотношения порядка ошибки определения ускорения и шага .

3. Избавиться от эффекта потери точности вычислений, непосредственно связанного с дифференциалом, можно, если заменить выражение (2) на выражение

;

, если ; 0 если

В случае интегрирования многомассовых систем, которые получаются, например, вследствие дискретизации континуальных задач, с ростом точности дискретизации и - соответственно количества узлов возникает проблема зацикливания решения ДУсПС. Это связано с появлением циклов в условиях перехода системы из одного состояния в другое, т.е. когда последующее состояние системы способствует ее переходу в предыдущее состояние. Выход из данного положения был найден в управляемом снижении точности решения в местах перехода от одной системы уравнений к другой. рунге автоколебание фрикционный

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сравнение решений некоторых задач автоколебаний методом Рунге-Кутты с припасовыванием и классическим методом Рунге-Кутты (если этим методом задача могла быть решена) показало, что одинаковой точности решения последний метод достигал приблизительно при в 2,5 раза меньшем количестве точек. Это очень важно, ведь при решении задач автоколебаний в распределенных системах путем их дискретизации (рисунок) и исследовании решений, например методом корреляционного анализа, можно быстро достичь предела возможностей современных ЭВМ.

Список литературы

1. Крагельский, И.В. Коэффициенты трения / И.В. Крагельский, И.Э. Виноградова. - М.: Машгиз, 1955. - 188 с.

2. Кудинов, В.А. Динамика станков / В.А. Кудинов. - М: Машиностроение, 1967. - 360 с.

3. Крагельский, И.В. Трение и износ / И.В. Крагельский. - М.: Машиностроение, 1968. - 480 с.

4. Никольский, Л.Н. Амортизаторы удара подвижного состава / Л.Н. Никольский, Б.Г. Кеглин. - М.: Машиностроение, 1986. - 144 с.

5. Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний: учеб. для вузов / В.Л. Бидерман. - М.: Высш. шк., 1980. - 408 с.

Размещено на Allbest.ru