В.В. Киселев

Рассматривается математическая модель поглощающего аппарата ЭПА-120 и рассчитываются параметры этой модели с использованием процедуры идентификации.

Проведение эксперимента - достаточно длительная и дорогостоящая процедура, требующая подготовки специальных средств, кроме того, не все эксперименты осуществимы. Поэтому невозможно исследовать явления и процессы только с их помощью. Таким образом, любой исследователь сталкивается с необходимостью построения математической модели, работающей в определенной области. Обычно в математическую модель входит множество констант и параметров, которые учитывают влияние ряда факторов. Большинство из них можно получить простым измерением (геометрические размеры, массы, скорости и т.д.). Однако некоторые константы, недоступные непосредственному измерению, выбирают исходя из соображений наибольшего приближения данных моделирования к экспериментальным данным. Значения параметров определяют с помощью процедуры идентификации.

Сформулируем задачу идентификации применительно к математическим моделям поглощающих аппаратов автосцепки железнодорожных вагонов. Для оценки работы поглощающего аппарата важнейшим показателем является силовая характеристика (зависимость силы на поглощающем аппарате от хода ). Для адекватности модели необходимо максимальное совпадение расчетной и экспериментальной силовых характеристик.

В общем случае математическая модель представляется в виде уравнения или системы уравнений

,

где - вектор идентифицируемых параметров; - расчетная сила поглощающего аппарата.

Экспериментальную силовую характеристику считаем известной из испытаний. Для расчета параметров необходимо определить функцию цели, в качестве которой могут быть взяты различные критерии оценки рассогласования результатов эксперимента и расчета модели:

1. Максимальный ход аппарата

где - максимальный ход, полученный в результате эксперимента; - максимальный ход, рассчитанный для модели.

2. Максимальное усилие в аппарате

где - максимальная сила, полученная в результате эксперимента; - максимальная сила, рассчитанная для модели.

3. Энергоемкость

где - энергоемкость, определенная по результатам экспериментам; - энергоемкость, определенная для модели.

Энергоемкость рассчитывается как площадь под кривой силовой характеристики амортизатора на этапе нагрузки.

4. Среднеквадратическое отклонение силовых характеристик

где - силовая характеристика, полученная по экспериментальным данным;

- силовая характеристика модели, полученная численным интегрированием;

tmax- длительность ударного взаимодействия (время удара).

5. Среднеквадратическое отклонение экспериментальной кривой перемещений от кривой, полученной численным интегрированием

.

Возможны также и другие функции цели, которые будут введены в дальнейшем.

В общем случае задача оптимизации выглядит следующим образом:

где С - вектор параметров; - функция цели; - допустимая область параметров.

Допустимая область параметров определяется ограничениями, налагаемыми на параметры.

Процедуру идентификации рассмотрим на примере эластомерного поглощающего аппарата ЭПА-120 (рис. 1) [1].

Рис. 1. Конструкция аппарата ЭПА-120

Аппарат состоит из корпуса 1, внутри которого перемещается плунжер 9. Внутренний обм плунжера разделен поршнем 3 на две камеры : камеру сжатия 2 и камеру расширения 7. Во избежание истечения эластомера из рабочей зоны используется уплотнение 4. Камера постоянного обма 6 соединяется с камерой сжатия 2 дроссельным отверстием 5.

Рис. 2. Расчётная схема удара вагона в упор

математический модель поглощающий аппарат

Работает аппарат следующим образом: при соударении железнодорожных экипажей продольная сила передается через автосцепку на плиту 10, что приводит к перемещению плунжера 9 и изменению обмов камер 2 и 7. Из-за возникающего при этом перепада давлений эластомер перетекает из камеры сжатия 2 через кольцевой зазор 8 и дроссельное отверстие 5 в камеры 7 и 6 соответственно. Восстановление аппарата после удара происходит под действием давления на плунжер 9 обмно сжатого в камерах 6 и 7 эластомера.

Удар вагона в жесткий упор (рис. 2) описывается уравнениями

где - перемещение массы ; - перемещение массы ;- скорость массы ; - скорость массы ; - сила, действующая на вагон; - силовая характеристика межвагонного амортизирующего устройства.

Выражение для силы, действующей на вагон, имеет вид

(1)

Силовая характеристика аппарата ЭПА-120 описывается зависимостью [2]:

. (2)

Выражения для объемного расхода и эластомера в рабочих камерах:

; (3)

, (4)

где - радиус поршня; l - длина поршня; a0 - радиальный зазор между плунжером и поршнем; - кинематическая вязкость эластомера; - плотность эластомера; g - ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2; -коэффициент, описывающий геометрию отверстия между камерами сжатия и постоянного объема.

где - коэффициент потерь от внезапного сужения потока, - коэффициент потерь от внезапного расширения.

Параметры математической модели аппарата ЭПА-120: E0= 445 МПа - модуль упругости при атмосферном давлении; a = 8,62 - параметр, зависящий от типа эластомера и температуры; = 1030,0 кг/м3; d4 = 0,14735 м; =50 м2/с; d2 = 0,024 м; Sc= 0,0172м2; - безразмерный эксцентриситет; Sp=0,0128 м2; VС0 = 0,00328 м3; VP0 =0,0000895 м3;
V1= 0,002189 м3; Ck = 500 Н/м; a0 = 0,00033 м; l2 = 0,13 м; l3= 0,214 м; l4=0,035 м; =27,0; =26,0; d3=0,038м; q0 = 34 MПа.

Таким образом, общая система дифференциальных уравнений, описывающих удар вагона массой M в неподвижный недеформируемый упор, с учетом выражений (1)-(4) может быть представлена в виде

(5)

Система нелинейных уравнений (5) решается при следующих начальных условиях:

где q0 -начальное давление в камерах аппарата.

Для проведения эффективной процедуры идентификации необходимо выявить идентифицируемые параметры и характер их влияния на силовую характеристику аппарата.

В результате анализа системы дифференциальных уравнений и расчетов были выделены следующие параметры идентификации: E0 (модуль упругости при атмосферном давлении), н(вязкость), a(безразмерный коэффициент, учитывающий изменение модуля упругости от давления), P4 (параметр, учитывающий влияние скорости сжатия на силу Pa сжатия поглощающего аппарата), (вязкость вагона). Ниже приведены графики (рис. 3 - 7), показывающие влияние параметров на силовую характеристику.

Параметр P4 введен в модель для регулирования наилучшего приближения расчетных данных к экспериментальным (рис. 6).

Из приведенных графиков видно: изменяя любой параметр, мы увеличиваем либо максимальную силу, либо максимальное перемещение, соответственно уменьшая максимальное перемещение или максимальную силу.

Для процедуры идентификации, кроме рассмотренных, использовалась следующая целевая функция (критерий):

(6)

Рис. 3. Влияние на силовую характеристику параметра Е0: 1 - E0 = 945 МПа, 2 - E0 = 145 МПа; 3 - E0 = 445 МПа

Рис. 4. Влияние на силовую характеристику параметра н: 1 - н = 90 м2/с; 2 - н = 50 м2/с, 3 - н = 25 м2/с

Рис. 5. Влияние на силовую характеристику параметра a: 1 - a = 15; 2 - a = 9; 3 - a = 6

Рис. 6. Влияние на силовую характеристику параметра P4: 1 - P4 = 1,0107 Н/м; 2 - P4 = 1,0107 Н/м; 3 - P4 = 0

Рис. 7. Влияние на силовую характеристику параметра :1 - = 0,001 1/c; 2 - = 0,01 1/c; 3 - = 0,005 1/c

Критерий (6) представляет собой сумму среднеквадратических отклонений силы и перемещения от экспериментальных характеристик. При рациональном выборе весовых коэффициентов k1 и k2 он дает наилучший результат, так как в оценку входят данные как по силам, так и по перемещениям. Интегрирование дифференциальных уравнений выполнено с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Для нахождения минимума целевой функции используется метод деформируемого многогранника, модифицированный Боксом.

Данный метод позволяет минимизировать функцию

f(x) = f(x1, x2, …, xn),

где x определяется явными (lj ?xj ? uj при j = 1,2,…,n), а также неявными ограничениями

(gi(x) ? bi при i = 1,2,…m).

При вычислении критериев использовались экспериментальные данные, полученные в результате стендовых ударных испытаний аппаратов ЭПА-120 [3].

Расчеты показали, что критерий (6) не удовлетворяет условию равномерной сходимости графиков на всей длине силовой характеристики ( рис. 8). Поэтому критерий (6) был модифицирован следующим образом: вместо суммы среднеквадратических отклонений P(t) и x(t) вычислялась функция

,

где - среднее значение функции l(t) = (f(t) - g(t))2.

Функции f(t) и g(t) будут приближаться равномерно, так как малые отклонения (меньше ) не будут учитываться, и погрешность будет складываться из значительных отклонений. Таким образом, критерий (6) можно записать в виде

. (7)

Результат идентификации с использованием (7) для одного из уровней скорости показан на графике (рис. 9).

Рис. 8. Силовые характеристики для начальной скорости v0 = 2,77 м/с; (P4 = 7,7МН): 1 - расчет; 2 - эксперимент 1 - расчет, 2 - эксперимент.

Рис. 9. Силовые характеристики для начальной скорости v0 = 2,77 м/с; (P4 = 5 МН); 1 - расчет, 2 - эксперимент

Было установлено, что при скоростях v0 > 3 м/с графики, полученные в результате численного интегрирования, по сравнению с графиками, полученными в результате эксперимента, показывают завышение не только по силе, но и по ходу (рис. 11). Варьирование параметров не дает одновременного снижения данных характеристик. Это объясняется тем, что энергия удара в эксперименте ниже, чем в расчете. При больших скоростях (энергиях) удара нельзя пренебрегать рассеиванием энергии самим стендом - неподвижным бетонным упором. Чтобы удалить из системы «лишнюю» энергию, в расчетной схеме «удар в абсолютно жесткий упор» заменен на «удар в большую массу» (1000 т). Для гашения энергии в модель была введена также вязкая сила трения для массы М (рис. 10).

Рис. 10. Расчетная схема удара вагона в большую массу

На рис. 11 показаны результирующие графики при скорости 3,61 м/с.

Рис. 11. Силовые характеристики для начальной скорости v0 = 3,61 м/с; 1 - расчет удара в жесткий упор; 2 - расчет удара в большую массу; 3 - эксперимент

Для диапазона средних скоростей (1-3 м/с), при которых не происходит «закрытие» аппарата, целесообразно использовать критерии, полученные на основе среднеквадратических отклонений. Наилучшие результаты дает комбинированный критерий (7). Рациональный выбор весовых коэффициентов повышает в отдельных случаях точность расчетов на 30 %.

Модель соударения с большой массой (рис. 10) рекомендуется применять для описания стендовых соударений при достаточно высоких скоростях, когда происходит «закрытие» аппарата.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пат. 2115578 РФ, МПК6 В 61 G 9/08. Поглощающий аппарат автосцепки/ Кеглин Б.Г., Шлюшенков А.П., Шалимов П.Ю.; опубл. 20.07.98, Бюл. № 20.

2. Болдырев, А.П. Расчет и проектирование амортизаторов удара подвижного состава/ А. П. Болдырев, Б.Г. Кеглин. - М: Машиностроение -1, 2004. 199 с.

3. Кеглин, Б.Г. Разработка и внедрение эластомерного поглощающего аппарата ЭПА_120. Динамика, прочность и надежность транспортных машин: сб. науч. тр./ Б.Г. Кеглин, А.П. Шлюшенков, А.П. Болдырев, Д.А. Ступин, А.В. Иванов. - Брянск: БГТУ, 2003.

Размещено на Allbest.ru