Использование коэффициента формы для определения несущей способности прямоугольных пластинок из упругопластического материала

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ФОРМЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК ИЗ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

А.В. Коробко, М.Ю. Прокуров

Приведено решение задачи по определению разрушающей нагрузки для шарнирно опёртых прямоугольных пластинок, выполненных из упругопластического материала и нагруженных сосредоточенной силой, с использованием интегральной характеристики плоской области - коэффициента формы. Получены расчётные формулы в зависимости от координат точки приложения силы. Построены алгоритмы и программы для определения схем разрушения пластинок и значений разрушающих нагрузок.

Ключевые слова: прямоугольные пластинки, сосредоточенная сила, предельное равновесие, схема разрушения, разрушающая нагрузка, коэффициент формы, несущая способность, упругопластический материал.

Большое значение в расчетной практике имеет разработка и совершенствование простых аналитических методов, позволяющих оперативно получать результат при решении типичных задач вариантного проектирования. В ряде задач, связанных с рассмотрением плоской выпуклой области, эффективное применение находит аппарат геометрического моделирования на основе интегральной характеристики - коэффициента формы, используемого при сравнении фигур разных классов [1]. Одним из возможных приложений коэффициента формы в инженерных расчетах является определение предельной сосредоточенной нагрузки для пластинок из упругопластического материала.

Рассмотрим произвольную выпуклую область (рис. 1а) и зададимся уравнением ее контура в полярных координатах: r = r(ц). Выберем внутри области точку а и опустим из неё перпендикуляр h на касательную, проведенную к переменной точке контура области. Интеграл, взятый по периметру заданной области, называется коэффициентом формы [1]:

, (1)

где ds - линейный элемент контура.

Рис. 1. Определение коэффициента формы:

а - произвольная область; б - полигональный контур

несущий пластинка упругопластический материал

Для областей с полигональным контуром выражение (1) представляется в виде

(2)

где n - число сторон многоугольника, а остальные обозначения указаны на рис. 1б.

Для областей с криволинейным контуром формула (1) принимает следующий вид:

(3)

Если контур состоит из прямолинейных и криволинейных участков, то используется комбинация выражений (2) и (3).

Покажем возможность применения коэффициента формы при решении задачи предельного равновесия шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой.

В работах А.Р. Ржаницына [3; 4] установлено, что для шарнирно опёртых прямоугольных пластинок могут быть реализованы схемы разрушения с образованием периферийных шарниров текучести, приведенные на рис. 2.

Рис. 2. Возможные схемы разрушения шарнирно опёртой прямоугольной пластинки, нагруженной сосредоточенной силой

Как видно из рис. 2, шарниры текучести часто имеют криволинейное очертание, которое может быть описано уравнением логарифмической спирали в полярных координатах:

(4)

где произвольные постоянные А и с определяются координатами выхода шарнира текучести на опорный контур.

Установлено, что коэффициент формы области, ограниченной криволинейным пластическим шарниром и участками заданного контура прямоугольника, с полюсом в точке приложения сосредоточенной нагрузки определяет её предельное значение:

(5)

где mт - предельный погонный момент в шарнире текучести [3; 4]. В выражении (5) величина принимается вместо в случае образования криволинейного краевого шарнира текучести. При этом следует учитывать известное свойство равенства работ предельных моментов в краевых и радиальных шарнирах текучести [3; 4].

Рассмотрим выражения, определяющие разрушающую нагрузку для различных возможных схем разрушения прямоугольной пластинки.

1. Сосредоточенная сила Р расположена в центральной части пластинки (рис. 2а). Значение разрушающей нагрузки определится из выражения

. (6)

Если сосредоточенная сила Р приложена в центре прямоугольной пластинки (рис. 2б), то с учётом координат , выражение примет вид

Не трудно заметить, что для пластинки квадратной формы будет получено известное решение

А.Р. Ржаницын показал [3], что для достаточно длинной пластинки , нагруженной в центре сосредоточенной силой Р, возможна схема разрушения с образованием краевого шарнира текучести, приведенная на рис. 2в, которой соответствует . Покажем, что использование выражений (2) и (3) приводит к аналогичному результату.

Поскольку краевой шарнир в этом случае очерчивается по окружности, в выражении (4) следует принять Тогда разрушающую нагрузку, соответствующую рассматриваемой схеме, определим следующим образом:

Здесь множитель 2 перед квадратной скобкой учитывает симметрию области пластического разрушения, а множитель 2 перед знаком интеграла учитывает образование краевого шарнира текучести, не выходящего на контур пластинки, что соответствует условию равенства предельного момента в образующихся краевом и радиальном пластических шарнирах [4].

2. Сила Р приложена вблизи края пластинки (рис. 2г,з). Из научной литературы [4] известно, что для данной схемы разрушения . Получим этот же результат из выражения (4) с учетом :

 (7)

3. Сила Р приложена вблизи вершины угла (рис. 2е). Подробная схема расположения пластического шарнира в предельном состоянии пластинки приведена на рис. 3. Для логарифмической спирали АСВ угол между касательной и радиусом-вектором есть величина постоянная и определяется из соотношения . Известно также, что углы выхода периферийного шарнира текучести АСВ на стороны пластинки равны [4].

Рис. 3. Разрушение вблизи угла пластинки

Из рис. 3 определим значения:

;

.

Найдём отношение :

. (8)

Согласно выражению (4),

, где

При этом искомое отношение будет определяться по формуле

. (9)

Приравнивая отношения (8) и (9), получим

. (10)

Из трансцендентного уравнения (10) в зависимости от координаты точки приложения силы Р определяется значение параметра с.

Предельную нагрузку для рассматриваемой схемы разрушения пластинки найдём из выражения

(11)

4. Сила Р расположена в центральной части пластинки, но сдвинута к её длинной стороне (рис. 2ж). Подробная схема расположения пластических шарниров приведена на рис. 4. В этом случае в предельном состоянии образуются две пластические зоны в виде конических поверхностей с краевыми шарнирами текучести, идущими по логарифмическим спиралям, две упругие зоны в виде треугольников AOB и DOF и две упругие зоны за периферийным шарниром текучести.

Рис. 4. Разрушение в центральной части пластинки

Из рис. 4 определим значения:

; .

Найдём отношение :

. (12)

С другой стороны, имеем

 и , где , .

С учётом приведенных выражений получим

. (13)

Приравнивая выражения (12) и (13), найдём

. (14)

Из полученного трансцендентного уравнения (14) в зависимости от координаты точки приложения силы Р определяется значение параметра с, входящего в уравнение логарифмической спирали.

Предельную нагрузку, соответствующую рассматриваемой схеме разрушения, найдём из выражения

(15)

5. Сила Р приложена вблизи малой стороны прямоугольной пластинки (рис. 2д). Подробная схема расположения пластических шарниров приведена на рис. 5. Для этой схемы разрушения пластинки часть слагаемых в выражении предельной нагрузки следует определять в соответствии с формулой (6), а другую часть - по формуле (15), опустив сомножитель 2, учитывающий симметрию области разрушения. Значение параметра с в уравнении логарифмической спирали следует определять из выражения (14).

В этом случае разрушающую нагрузку найдём по формуле

. (16)

Рис. 5. Разрушение у короткой стороны пластинки

Таким образом, определив схему разрушения шарнирно опёртой прямоугольной пластинки, с использованием выражений (6), (7), (11), (15) или (16) можно найти значение предельной нагрузки. Отметим, что все перечисленные выражения являются функциями значений координат точки приложения разрушающей силы.

Рассмотренная задача была реализована в двух компьютерных программах, различающихся построением алгоритма для определения схемы разрушения прямоугольной пластинки.

Программа RPlate Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615411 от 12.07.11. использует аналитический подход к определению схемы разрушения на основе приближенных функций, описывающих граничные линии их локализации [2]. При этом рассматривается определенный набор возможных форм разрушения прямоугольной пластинки, зависящий от соотношения её сторон .

Программа RPlateLogic использует логический блок идентификации схемы разрушения на основе определения минимального значения возможной разрушающей нагрузки. Общий алгоритм программы RPlateLogic приведен на рис. 6.

Рассмотрим ключевые блоки приведенного алгоритма.

В качестве исходных данных программы выступают габаритные размеры пластинки и координаты точки приложения сосредоточенной силы.

После задания значений и нажатия клавиши «Ввод» программа перебирает все экранные точки (пиксели) на четверти пластинки и устанавливает принадлежность текущей точки (xi, yi) характерной области разрушения:

1) по формулам (6), (7), (11), (15), (16) определяются возможные значения разрушающей сосредоточенной силы как элементы некоторого вектора ;

2) среди найденных значений определяется минимальная величина Pj;

3) по номеру j устанавливается принадлежность точки характерной области разрушения пластинки.

Установив принадлежность точки (xi, yi) определенной схеме разрушения, программа закрашивает её соответствующим цветом. Так как прямоугольная пластинка имеет две оси симметрии, закрашивание распространяется на три соответствующие точки из других её частей.

В завершение процедуры «Ввод» на экран выводится цветовая схема областей разрушения пластинки с указанием крестом точки приложения сосредоточенной силы.

После нажатия клавиши «Расчёт» аналогичным образом устанавливается принадлежность точки приложения сосредоточенной силы с координатами (X, Y) характерной области разрушения пластинки. Таким образом, будет определена соответствующая схема образования пластического шарнира в её предельном состоянии.

В завершение процедуры «Расчёт» на экран выводятся схема образования пластического шарнира и рассчитанное значение предельной разрушающей силы.

Пример выполнения указанных действий приведен на рис. 7.

Рис. 6. Блок-схема общего алгоритма программы RPlateLogic

Разработанное программное обеспечение может быть использовано при проведении прочностных расчётов конструктивных элементов в виде пластинок в строительстве и машиностроении.

Рис. 7. Экранное представление работы программы RPlateLogic

В заключение можно сделать следующие основные выводы:

1. Исследовано применение коэффициента формы для определения несущей способности шарнирно опёртых прямоугольных пластинок из упругопластического материала, нагруженных одной произвольно приложенной сосредоточенной силой.

2. Получены аналитические зависимости для определения предельного значения сосредоточенной нагрузки для характерных областей разрушения рассмотренных пластинок.

3. Разработано программное обеспечение для проведения прочностных расчётов пластинчатых конструкций указанного типа.

Список литературы

1. Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости / А.В. Коробко. - М.: АСВ, 1999. - 320 с.

2. Коробко, В.И. Расчет прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой, методом предельного равновесия / В.И. Коробко, С.А. Морозов, М.Ю. Прокуров // Строительная механика и расчет сооружений. - 2011. - № 2. - С. 2 - 8.

3. Ржаницын, А.Р. Расчет сооружений с учётом пластических свойств материалов / А.Р. Ржаницын. - М.: Гос. изд-во лит. по стр-ву и арх-ре, 1954. - 287 с.

4. Ржаницын, А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек/А.Р. Ржаницын. - М.: Наука, 1983. - 288 с.

Размещено на Allbest.ru