Определение разрушающих нагрузок для шарнирно и свободно опёртых по контуру пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в центре, путём геометрического моделирования их формы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение разрушающих нагрузок для шарнирно и свободно опёртых по контуру пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в центре, путём геометрического моделирования их формы

А.В. Коробко, М.Ю. Прокуров

Аннотация

Определены границы возможного распределения всего множества значений разрушающих нагрузок для шарнирно и свободно опёртых пластинок с произвольным выпуклым контуром, нагруженных сосредоточенной силой в центре, в зависимости от интегральной геометрической характеристики формы пластинки - коэффициента формы. С помощью метода интерполяции по коэффициенту формы определена разрушающая нагрузка для пластинок произвольного вида.

Ключевые слова: пластинки, шарнирное опирание, свободное опирание, сосредоточенная сила, разрушающая нагрузка, коэффициент формы, геометрическое моделирование.

Определение значений разрушающих нагрузок для пластинок является актуальной задачей при расчёте и проектировании соответствующих видов строительных и машиностроительных конструкций. Наиболее простой и распространённый метод её решения - кинематический метод предельного равновесия [6]. При использовании данного метода задаются возможным полем перемещений (механизмом разрушения) пластинки в предельном состоянии и путём минимизации полной потенциальной энергии системы по одному или нескольким геометрическим параметрам, определяющим выбранный механизм разрушения, находят разрушающую нагрузку Р_разр. Однако задание механизма разрушения путём перебора его возможных схем даже для пластинок простейших форм является достаточно трудоёмкой процедурой указанного метода [3].

В последние годы для расчёта упругих пластинок и пластинок, находящихся в предельном состоянии, предложен метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), теоретические основы которого разработаны одним из авторов этой статьи. Геометрическую основу МИКФ составляет интегральная геометрическая характеристика - коэффициент формы пластинки, который находится из выражения

(1)

где ds - линейный элемент контура пластинки; h - высота, опущенная из произвольной точки а, взятой внутри области пластинки, на касательную к переменной точке контура; L - периметр пластинки (рис. 1).

Рис. 1. Параметры области для определения К_f

Установлено, что для пластинки с выпуклым контуром существует единственная точка, которая обеспечивает интегралу (1) минимальное значение [4]. Эту точку будем далее называть центром пластинки. У пластинок с двумя и более осями симметрии указанная точка совпадает с центром симметрии, у пластинок с одной осью симметрии - принадлежит данной оси. Подробные сведения о расчёте значений коэффициента формы, его изопериметрических свойствах и закономерностях изменения при различных геометрических преобразованиях пластинки приведены в монографии [1].

Одним из замечательных свойств коэффициента формы является свойство о его двусторонней ограниченности: всё множество значений коэффициента формы, представленное в координатных осях К_f - R/с (R - максимально возможный радиус окружности, вписанной в область, с - минимально возможный радиус окружности, описанной вокруг неё), ограничено с двух сторон; нижнюю границу образуют эллипсы, а верхнюю - многоугольники, все стороны которых касаются вписанной окружности (в том числе правильные):

для четырехугольников нижнюю границу образуют прямоугольники.

В работах [1; 2] была приведена функциональная зависимость разрушающей нагрузки в виде сосредоточенной силы от коэффициента формы пластинки:

(2)

где m_т = 0,25у_тh² - предельный погонный момент в шарнире текучести; у_т - предел текучести материала пластинки; h - её толщина. Эта формула справедлива для пирамидальных и конических схем разрушения пластинок, которые реализуются, например, для пластинок в форме правильного многоугольника и круга. У достаточно вытянутых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, в предельном состоянии разрушение ограничивается локальной областью. В этом случае равенство (2) следует представить в виде одностороннего неравенства

Если определить коэффициент формы области разрушения K_f^*, то будет справедливо равенство (2), в котором вместо К_f следует принять K_f^*. Очевидно, что K_f^*, а следовательно, и Р_разр также будут обладать свойством двусторонней ограниченности. Границы численных значений Р_разр можно построить, используя известные решения, приведенные в научной и справочной литературе.

Построение границ распределения всего множества значений Р_разр для шарнирно опертых пластинок. Запишем ряд известных характерных решений для определения разрушающей нагрузки, полученных в работе [6]:

- прямоугольные пластинки (а и b - длины сторон):

(3)

- пластинки в виде равнобедренного треугольника (первое выражение - для пластинок с тупым углом при вершине в, второе - для пластинок с острым углом):

(4)

- ромбические пластинки (б - острый угол ромба):

(5)

- эллиптические пластинки (а и b - длины полуосей эллипса):

(6)

при

Результаты расчёта по формулам (3 - 6), определяющие область возможных решений для всего множества шарнирно опёртых пластинок, приведены на рис. 2.

Рис. 2. Распределение всего множества значений Р_разр для шарнирно опёртых пластинок, нагруженных в центре сосредоточенной силой

На рис. 2 точки 0, 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют решениям для шарнирно опёртых пластинок в виде: круга (т. 0), квадрата (т. 1), эллипса при К_f = 8,885 (т. 2), прямоугольника при К_f = 10,283 (т. 3), равностороннего треугольника (т. 4), равнобедренного прямоугольного треугольника (т. 5). Прямая 0-1 описывает решения для произвольных пластинок, форма контура которых удовлетворяет условию К_f 8. Прямые 1-3 и 3-6 соответствуют прямоугольным пластинкам, прямая 0-2 и кривая 2-7 - эллиптическим пластинкам (кривая показана приближенно), прямая 4-10 - пластинкам в виде равнобедренных треугольников с острыми углами при вершине, кривая 5-8 - пластинкам в виде равнобедренных треугольников с тупыми углами при вершине, кривая 1-4 - пластинкам в виде равнобочных трапеций, изменяющихся от квадрата до равностороннего треугольника. Кривая 1-9 описывает решения, соответствующие ромбическим пластинкам.

Проанализируем графики, приведенные на рис. 2.

1. Если бы разрушение пластинок происходило без образования периферийных пластических шарниров, то в соответствии с выражением (2) график функции Р_разр - К_f представлялся бы в виде прямой линии, совпадающей с отрезком 0-3 и его продолжением вправо вверх. Поэтому для пластинок, форма которых близка к правильным фигурам (на участке 2р К_f 8), график Р_разр - К_f будет представляться линейной зависимостью (2) (прямая 0-1).

2. Для остальных пластинок с выпуклым контуром всё множество значений Р_разр будет ограничено снизу кривой 1-9 (на участке 8 К_f 14,418) и прямой 4-10 (на участке

К_f ? 14,418), а сверху - прямыми 1-3 (на участке 8 К_f 10,283) и 3-6 (на участке разрушающий нагрузка шарнирный пластинка

К_f ? 10,283). Указанные верхняя и нижняя границы Р_разр образуют довольно узкую полосу. На участке К_f ? 14,418 среднее значение Р_разр составляет 9,71 m_т и отличается от граничных значений в среднем всего на 5,9 %. Кривые 2-7, 1-9 и 5-8 при K_f > ? асимптотически стремятся к величине 10,283m_т.

3. Всё множество решений для треугольных пластинок ограничено сверху кривой

5-8, а снизу - прямой 5-10. Значение разрушающей нагрузки для треугольных пластинок с большой точностью может быть оценено по этим границам.

4. Всё множество значений разрушающих нагрузок для пластинок в виде параллелограмма ограничено сверху прямыми 1-3 и 3-6, а снизу - кривой 1-9.

5. Для пластинок в форме трапеций, боковые стороны которых при их продолжении образуют тупой угол, значения разрушающих нагрузок ограничены сверху прямыми 1-3 и 3-6, а снизу - кривой 1-4, прямой 4-5 и кривой 5-8. Если при продолжении боковых сторон трапеции образуется острый угол, то значения разрушающих нагрузок ограничены сверху прямыми 1-3 и 3-6, а снизу - кривой 1-4 и прямой 4-10.

Более детальный анализ рассмотренного графика позволит выявить и другие зоны, соответствующие пластинкам определенных форм (в виде сектора, сегмента, круговой луночки и др.), что даст возможность оценивать разрушающую нагрузку для таких пластинок по ограничивающим эти зоны кривым с более высокой точностью.

Построение границ распределения всего множества значений Р_разр для свободно опёртых пластинок. Как известно, при свободном опирании по контуру углы пластинок приподнимаются, и разрушение происходит при меньшей нагрузке. Приведём некоторые известные решения для определения разрушающей нагрузки, приложенной в центре таких пластинок:

- пластинки в виде правильных n-угольников:

(7)

- пластинки в виде равнобедренных треугольников (б - угол при основании):

(8)

- прямоугольные пластинки (а и b - длины сторон):

(9)

- ромбические пластинки (б и в - углы ромба):

(10)

- эллиптические пластинки (а и b - длины полуосей эллипса):

при (11)

Результаты расчёта по формулам (7 - 11), определяющие область возможных решений для всего множества свободно опёртых пластинок, приведены на рис. 3.

На рис. 3 точки 0, 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют решениям для пластинок в виде: круга (т. 0), эллипса при К_f = 6,664 (т. 1), квадрата (т. 2), прямоугольника при К_f = 10 (т. 3), равностороннего треугольника (т. 4), равнобедренного прямоугольного треугольника (т. 5). Прямая 0-1 и кривая 1-7 соответствуют эллиптическим пластинкам, прямые 2-3 и 3-6 - прямоугольным пластинкам, кривая 0-2-4 - пластинкам в виде правильных фигур (участок 2-4 этой кривой описывает решения для пластинок в виде равнобочных трапеций, изменяющихся от квадрата до равностороннего треугольника), кривая 4-9 - пластинкам в виде равнобедренных треугольников с острыми углами при вершине, кривая 5-8 - то же с тупыми углами при вершине. Кривая для ромбов совпала с линией 2-4-5-8.

Рис. 3. Распределение всего множества значений Р_разр для свободно опёртых пластинок, нагруженных в центре сосредоточенной силой

Проанализируем графики, приведенные на рис. 3.

1. Прямые 0-1 и 3-6 являются верхней границей разрушающей нагрузки для пластинок произвольного вида при значениях их коэффициентов формы в интервалах

2р К_f 6,664 и К_f 10. Кривая 4-9 является нижней границей разрушающей нагрузки для пластинок произвольного вида на участке с К_f 10,392.

2. Нетрудно показать, что для пластинок правильной формы разрушающая нагрузка будет определяться по формуле

где (Р_разр)_n - разрушающая нагрузка для пластинки в виде правильного n-угольника;

(К_f)_2n - коэффициент формы правильной фигуры с числом сторон 2n.

На основании свойства величины К_f принимать минимальное значение для правильных фигур по сравнению с произвольными многоугольниками с соответствующим числом сторон можно утверждать, что кривая 0-2-4 будет являться нижней границей разрушающей нагрузки для всего множества пластинок с выпуклым контуром на участке

2р К_f 10,392

3. При изгибе эллиптических пластинок, у которых К_f 6,664, в предельном состоянии концы, перпендикулярные большей оси, приподнимаются, образуя прямолинейные пластические шарниры. При этом средняя часть эллиптической пластинки, заключенная между шарнирами текучести, становится всё более похожей на прямоугольник. Этот факт даёт возможность предполагать, что на участке 6,664 К_f 10 верхняя граница разрушающей нагрузки для пластинок произвольного вида будет описываться кривой 1-3 (на рисунке показана условно), соответствующей пластинкам, форма которых с ростом значения К_f постепенно меняется от эллипса до прямоугольника.

4. Для пластинок в виде остроугольных треугольников при 10,392 К_f 11,657 разрушающая нагрузка описывается кривой 4-5 и меняется от 6,93m_т до 7,00 m_т.

5. Всё множество решений для треугольных пластинок ограничено сверху кривой 4-8, а снизу - кривой 4-9.

6. Всё множество решений для четырехугольных пластинок ограничено сверху прямой 2-3 и кривой 3-6 (данная кривая с высокой точностью может быть аппроксимирована прямой линией), а снизу - кривой 2-4-5-9.

Таким образом, для шарнирно и свободно опёртых пластинок с произвольным выпуклым контуром, нагруженных сосредоточенной силой в центре, значения разрушающей нагрузки ограничены сверху и снизу двумя конечными границами. Графическое представление этих границ даёт возможность элементарным путем, без выбора и определения кинематических схем разрушения пластинок, получать оценки разрушающей нагрузки с точностью, достаточной для инженерных расчётов.

Примеры использования метода интерполяции по коэффициенту формы. Приведенные зависимости (3 - 11), отражённые на соответствующих графиках, могут быть непосредственно использованы при решении рассматриваемой задачи для пластинок указанных видов очертания. Учитывая, что в обоих случаях граничных условий решения имеют двусторонние ограничения, можно определить значения разрушающей силы для пластинок других форм (например, произвольный треугольник, параллелограмм, произвольная трапеция). Поиск решения при этом основывается на МИКФ [5].

Покажем на примерах реализацию данного метода.

Пример 1. Требуется определить разрушающую сосредоточенную нагрузку, приложенную в центре шарнирно опёртой параллелограммной пластинки с отношением сторон a/b = 2 и острым углом б = 60°.

Решение. Заданная пластинка может быть получена путём аффинного сдвига (рис. 4) прямоугольника с отношением сторон h/a = 0,8660/(2а) относительно основания в ромб с острым углом б = 25,66°. Точка приложения сосредоточенной силы отмечена крестом.

Рис. 4. Геометрическое преобразование формы пластинок путём аффинного сдвига

Особенностью выбранного геометрического преобразования является непрерывность и монотонность изменения коэффициента формы, а также одинаковая величина площадей рассматриваемых фигур, что имеет значение в некоторых видах интерполяции.

Таким образом, в качестве 1-й опорной фигуры принимаем прямоугольную пластинку с K_f1 = 10,970, для которой, согласно (3), Р_разр1 = 10,283m_т. В качестве 2-й опорной фигуры принимаем ромбическую пластинку с K_f2 = 18,475, для которой, согласно (5),

Р_разр2 = 9,403m_т. Используя опорные решения, интерполируем значение Р_разр для рассматриваемой параллелограммной пластинки, имеющей K_f = 11,547.

Принимая во внимание близость значений K_f и K_f1, а также достаточную узость интервала возможных значений, применим вариант линейной интерполяции, используя функцию следующего вида:

(12)

Неизвестные параметры А и В определятся путём решения системы линейных алгебраических уравнений:

Для выбранного преобразования получаем следующую интерполирующую функцию:

Подставив в неё значение K_f для заданной пластинки, получим Р_разр=10,215m_т.

Пример 2. Решить предыдущую задачу для случая свободного опирания заданной параллелограммной пластинки.

Решение. Рассуждая аналогично, выберем в качестве 1-й опорной фигуры прямоугольную пластинку, для которой, согласно (9), Р_разр1 = 8m_т, а в качестве 2-й опорной фигуры - ромбическую пластинку, для которой, согласно (10), Р_разр2 = 7,282m_т. Коэффициенты формы рассматриваемых пластинок при этом сохраняют свои прежние значения.

Неизвестные параметры А и В интерполяционной функции (12) будут определены путём решения следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Интерполирующая функция принимает следующий вид:

Подставив в неё значение K_f для заданной пластинки, получим Р_разр=7,944m_т.

Полученные решения представляются достаточно точными (с учётом величины промежутка возможных решений).

Выводы

1. С использованием известных из научной литературы решений в координатных осях «разрушающая нагрузка - коэффициент формы» построены кривые для шарнирно и свободно опёртых по контуру пластинок, нагруженных в центре сосредоточенной силой. Принятие коэффициента формы в качестве аргумента функциональных зависимостей позволило совместно рассмотреть пластинки различных очертаний. На основании изопериметрических свойств коэффициента формы пластинок с выпуклым контуром указаны границы возможного распределения всего множества значений разрушающих нагрузок.

2. Установленные границы позволяют без анализа схем разрушения пластинок произвольного вида получать двусторонние оценки разрушающей нагрузки с достаточной для инженерных расчётов точностью.

3. Эти же границы могут использоваться для нахождения опорных решений при исследовании рассматриваемых задач предельного равновесия пластинок с помощью МИКФ, позволяющего получать достаточно точные решения задач предельного равновесия пластинок без анализа схем их возможного разрушения.

Список литературы

1. Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости

2. / А.В. Коробко. - М.: Изд-во АСВ, 1999. - 304 с.

3. Коробко, А.В. Использование коэффициента формы для определения несущей способности прямоугольных пластинок из упругопластического материала / А.В. Коробко, М.Ю. Прокуров // Вестн. Брян. гос. техн. ун-та. - 2012. - № 1. - С. 54-61.

4. Коробко, В.И. Расчёт прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой, методом предельного равновесия / В.И. Коробко, М.Ю. Прокуров, С.А. Морозов // Строительная механика и расчёт сооружений. - 2011. - № 2. - С. 2-8.

5. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сёге. - М.: Госфизматиздат, 1962. - 336 с.

6. Расчёт пластинок методом предельного равновесия / В.И. Коробко [и др.]; ред. В.И. Коробко. - Орёл: Труд, 2012. - 360 с.

7. Ржаницын, А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек / А.Р. Ржаницын. - М.: Наука, 1983. - 288 с.

Размещено на Allbest.ru