Совершенствование метода пробных заготовок по обеспечению параметров качества их поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

совершенствование метода пробных заготовок по обеспечению параметров качества их поверхностей

О.А. Горленко, А.С. Проскурин

Аннотация

Предложен сокращенный метод математико-статистической обработки планируемых экспериментов, позволяющий оперативно анализировать результаты многофакторных экспериментов типа 2ⁿ. Приведено сравнение традиционного и предлагаемого методов обработки данных эксперимента 2³ с 2 повторениями.

Ключевые слова: планируемые эксперименты, дисперсионный анализ, регрессионный анализ, оперативный статистический анализ, оценка влияния факторов, проверка значимости, проверка адекватности.

статистический эксперимент регрессия дисперсионный

В практике часто возникает необходимость в решении задач по обеспечению параметров качества обрабатываемых поверхностей заготовок, в частности когда известны области варьирования технологических факторов (режимы обработки, параметры инструментов). Требуется определить такие значения технологических факторов, при которых обеспечивается заданное значение параметра качества. Для решения подобной задачи применяют метод пробных заготовок [1;2]. Применение данного метода сдерживается довольно трудоемкой математико-статистической обработкой результатов экспериментов по механической обработке пробных заготовок, проводимых, как правило, по плану полных факторных экспериментов 2ⁿ (табл. 1) с u повторениями, где n-число факторов x, каждый из которых варьируется на 2уровнях: верхнем (+1) и нижнем (-1) [3]. Основными задачами обработки результатов таких экспериментов являются: оценка значимости влияния факторов и их взаимодействий на зависимую переменную (контролируемый показатель) у; выявление зависимости для предсказываемого значения зависимой переменной , в которую включают и взаимодействия факторов (парные - x_ix_j, тройные - x_ix_jx_z и т.д.), в этом случае m - число статистически значимых (на принятом уровне значимости б) факторов и взаимодействий; оценка значимости и адекватности зависимости для .

Таблица 1 Матрица полных факторных экспериментов от 2² до 2⁴

Примечание. Фиктивная переменная x₀=+1 введена в матрицу планирования для единообразия записи и используется в дальнейшем при расчете свободного члена b₀ регрессионной зависимости для зависимой переменной y_j.

Традиционные способы обработки рассматриваемых экспериментов базируются на методах дисперсионного и регрессионного анализов [1,2,4,5], которые являются несложными, но относительно трудоемкими.

Рассмотрим в качестве примера эксперимент 2³ с u повторениями, методику обработки которого можно использовать и для других типов экспериментов. Расширенная матрица планирования такого эксперимента представлена в табл. 2, а результаты его статистического анализа - в табл. 3.

Таблица 2 Расширенная матрица планирования эксперимента 2³

Суммы квадратов, соответствующие влиянию факторов и взаимодействий, рассчитываются по уравнению

,

где Э - эффекты влияния на исследуемую переменную факторов и взаимодействий, так называемые контрасты, определяемые путем алгебраического сложения столбца суммарных значений отклика со знаками соответствующего столбца х фактора или взаимодействия (), т.е. определяемые с помощью следующих уравнений:

Общую сумму квадратов S₀ и сумму квадратов ошибки S_ош рассчитывают по уравнениям:

где S_У - общая сумма квадратов факторов и взаимодействий. В качестве проверки результатов вычислений сумму квадратов S_ош можно рассчитать по уравнению

.

Таблица 3 Статистический анализ полного факторного эксперимента типа 2³ с u повторениями

Примечания: 1. Влияние фактора или взаимодействия является статистически значимым, если . 2. Уравнение регрессии является статистически значимым, если , и статистически адекватным, если .

Влияние фактора или взаимодействия на измеряемую переменную y_ju (контролируемый показатель) является статистически значимым на принятом уровне значимости б (обычно принимают б=0,05), если

,

где средний квадрат фактора или взаимодействия (здесь f - число его степеней свободы); средний квадрат ошибки, оценивающий влияние случайных (неучтенных) факторов, иногда называемый дисперсией воспроизводимости (); f_в=f_ош - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости (среднего квадрата ошибки). Поскольку для экспериментов типа 2ⁿ или 2^n-p число степеней свободы f=1, то M=S.

Математическая модель рассматриваемого эксперимента может быть представлена в виде уравнения регрессии

,

где - предсказываемое значение зависимой переменной.

При этом в данное уравнение включают только те факторы и взаимодействия, значимость влияния которых установлена (например, с помощью F-критерия Фишера). Значение коэффициента b₀ определяется по уравнению

,

а значения остальных коэффициентов b - по уравнению .

Следующим шагом статистического анализа экспериментальных данных является проверка значимости и адекватности уравнения регрессии, которую проводят методами дисперсионного анализа.

Сумма квадратов, обусловленная регрессией, , где m - число статистически значимых факторов и взаимодействий S_i, f_рег=m. Остаточная сумма квадратов S_ост=S₀S_рег, f_ост=f₀f_рег. Сумма квадратов неадекватности , где k - число статистически незначимых факторов и взаимодействий S_i, f_ад=k. Сумма квадратов чистой ошибки S_ош=S_ост S_ад, f_ош=f_остf_ад.

Результаты дисперсионного анализа числового примера (табл.4) представлены в табл. 5. Очевидно, что применение такого метода анализа требует проведения относительно сложных и трудоемких вычислений, что затрудняет использование метода планируемых экспериментов в производственной практике (например, в случаях, когда требуется провести оперативную оптимизацию технологических процессов).

Таблица 4 Данные эксперимента 23 с u=2 повторениями

Используя предлагаемую ниже методику, обработку результатов рассматриваемых экспериментов можно значительно упростить.

Вначале определяют значимость влияния факторов и взаимодействий с помощью D-критерия Дункана. Для этого нужно определить средние значения зависимой переменной y для факторов и взаимодействий, соответствующих только верхним (+1) и только нижним (-1) уровням, а также дисперсию воспроизводимости . Так, средние значения для факторов:

для значений x = +1;

для значений x = -1,

здесь j - номер соответствующего опыта эксперимента. Значение дисперсии воспроизводимости:

.

Таблица 5 Результаты статистического анализа экспериментальных данных (табл. 3)

Примечания: 1. Значения F-критерия: ; ; ; ; . 2. ** - влияние фактора, взаимодействия или регрессии значимо на уровне значимости б=0,01; * - то же на уровне значимости б=0,05.

Влияние фактора или взаимодействия значимо с доверительной вероятностью P=1б, если

,

где D - критерий Дункана (табл. 6). Факторы и взаимодействия, влияние которых является статистически значимым, могут быть включены в уравнение регрессии для .

Таблица 6 Квантили распределения Дункана [4]

Далее вычисляют частные коэффициенты детерминации , которые показывают долю вариации, обусловленной отдельным фактором или взаимодействием. Для этого определяют соответствующие суммы квадратов S и общую сумму квадратов S₀:

,

Сумма частных коэффициентов детерминации, соответствующих числу m значимых факторов и взаимодействий, равна R² - коэффициенту множественной детерминации (квадрату множественного коэффициента корреляции). По сути дела, характеризует сумму квадратов S_рег, обусловленную регрессией (факторами и взаимодействиями, включенными в уравнение связи), в долях S₀. Величина характеризует влияние числа k статистически незначимых факторов и взаимодействий и случайных (неучтенных) факторов в долях S₀. Тогда проверку значимости зависимости для можно проводить с помощью уравнения

.

Сумма частных коэффициентов детерминации , соответствующих числу k незначимых факторов и взаимодействий, характеризует в долях S₀ величину неадекватности зависимости для .

Уравнение для адекватно, если

.

Пример применения предлагаемого метода статистического анализа экспериментальных данных (табл. 4) приведен в табл. 7.

Таблица 7 Бланк статистического анализа эксперимента 2³ с u=2 повторениями

Примечания: * - влияние фактора (взаимодействия) или уравнения регрессии в целом значимо на уровне значимости б=0,05 и выше; ⁽*⁾ - уравнение регрессии адекватно на уровне значимости б=0,05 и ниже.

При отсутствии повторений (u=1) удается проверить только значимость уравнения регрессии. Если оно оказалось неадекватным, необходимо перенести центр плана эксперимента, или изменить интервалы варьирования факторов, или провести обработку пробных заготовок по планам более высоких порядков, позволяющих перейти к нелинейным зависимостям. Если уравнение регрессии оказалось незначимым, но адекватным, то его представляют в виде

.

Дисперсионному анализу экспериментальных данных обычно предшествует проверка однородности дисперсий воспроизводимости в отдельных опытах плана с помощью критерия Кохрана. В случае необходимости исходные данные преобразуют (например, путем логарифмирования), чтобы эти дисперсии стали однородными. Однако, как показывают исследования [6], неоднородность дисперсий при равенстве числа опытов u мало влияет на выводы о средних.

Когда опыты по обработке пробных заготовок повторяют только в центре плана (при x_j), в качестве дисперсии воспроизводимости принимают

с степенями свободы.

Использование предлагаемой методики обработки экспериментов типа 2ⁿ будет способствовать более широкому их применению как в исследовательской, так и в производственной практике, в частности при обеспечении параметров качества обрабатываемых поверхностей заготовок. Следует помнить, что в промежуточных расчетах, которые можно проводить с помощью простых калькуляторов, следует сохранять возможно большее число знаков после запятой. Нетрудно заметить, что данную методику можно распространять и на дробные факторные эксперименты типа 2^n-p, где p - число факторов, влияние которых смешано с влиянием взаимодействий.

Список литературы

1. Рыжов Э.В. Математические методы в технологических исследованиях / Э.В. Рыжов, О.А. Горленко. - Киев: Наукова думка, 1990. - 184с.

2. Суслов А.Г. Экспериментально-статистический метод обеспечения качества поверхности деталей машин / А.Г. Суслов, О.А. Горленко. - М.: Машиностроение-1, 2003. - 303с.

3. Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Ю.В. Грановский. - М.: Наука, 1976. - 279с.

4. Хикс Ч. Основные принципы планирования эксперимента / Ч. Хикс. - М.: Мир, 1967. - 406с.

5. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит. - М.: Статистика, 1973. - 392с.

6. Шеффе Г. Дисперсионный анализ / Г. Шеффе. - М.: Наука, 1980. - 512 с.

Размещено на Allbest.ru