Математическая модель течения жидкости в окрестности вращающихся дисков
Характеристика течения жидкости между двумя дисками. Решение системы уравнений Навье-Стокса в цилиндрических координатах с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Распределение скоростей для случая двух вращающихся в одном направлении дисков.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.05.2018 |
| Размер файла | 333,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
УДК 519.6
Математическая модель течения жидкости в окрестности вращающихся дисков
А.И. Гришин
Аннотация
жидкость цилиндрический скорость диск
Рассмотрено течение жидкости между двумя дисками. Получено решение системы уравнений Навье-Стокса в цилиндрических координатах с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, математическая модель, течение жидкости, метод Рунге-Кутта.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Основным элементом дисковой гидромашины является колесо, состоящее из нескольких скрепленных между собой по периферии тонких дисков, между которыми имеются небольшие зазоры для прохода жидкости [1; 2]. Расчет таких гидромашин сводится к моделированию течения жидкости между дисками.
Сначала рассмотрим течение вблизи одного диска (рис.1). Диск вращается с угловой скоростью щ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска. Скорость имеет три составляющие: в радиальном направлении - r, в окружном направлении - ц и в осевом направлении - z. Обозначим эти составляющие соответственно через u, v, w. Жидкость вдали от диска принимается покоящейся.
Вследствие осевой симметрии течения уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности упрощаются и в цилиндрических координатах получают следующий вид:
Граничные условия, определяемые условием прилипания к вращающейся плоскости диска:
при z=0; при z=.
Прежде чем решать систему уравнений, приведем ее к безразмерному виду. Для этого введем безразмерное расстояние т и некоторые функции F(т), G(т), H(т) и P(т) так, что
,,,,,.
После подстановки этих выражений в уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности получим следующую систему уравнений [3-5]:
Граничными условиями теперь будут
F=0, G=1, H=0, P=0 при т=0; F=0, G=0 при т=.
Впервые полученная система уравнений была решена Т. Карманом приближенным способом. Впоследствии В. Кохрэн нашел более точное решение.
Приведем полученную систему к системе линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка при помощи следующей замены [6]:
,,,.
Получим следующую систему уравнений:
Для решения полученной системы линейных дифференциальных уравнений необходимы значения и при т=0. По условию F=0 и G=0 при т=. Следовательно, при достаточно большом значении т функция Q=F2+G2 должна стремиться к своему минимуму - нулю. Очевидно, при неправильном задании и это условие не будет выполняться. Тогда при т=const Q=f(F'(0),G'(0)), т.е. функция Q является функцией от двух переменных. Чтобы найти минимум этой функции, применим метод координатного спуска, который заключается в следующем: выбирается нулевое приближение (x0, y0), рассматривается функция одной переменной f(x, y0) и ищется ее минимум одним из методов поиска минимума функции одной переменной (например, методом дробления). Пусть этот минимум оказался в точке (x1, y0). Теперь точно так же будем искать минимум функции одной переменной f(x1, y). Этот минимум окажется в точке (x1, y1). На этом первый шаг поиска минимума завершается. Цикл повторяется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.
Решение было получено методом Рунге-Кутта 4-го порядка [7] в приложении Microsoft Office Excel с использованием программного кода на языке Visual Basic for application.
Рис. 2. Распределение скоростей в случае одного вращающегося диска
В результате расчета было получено распределение скоростей вблизи диска (рис.2). Функции G, H и F соответствуют составляющим скорости в окружном, осевом и радиальном направлениях.
Сравним полученные результаты с результатами, полученными Кохрэном (рис. 3): подставим полученные значения в исходные уравнения, найдем разницу между левой и правой частями - невязку, затем сложим квадраты невязок.
Рис. 3. Сравнение точности полученного решения с точностью решения, полученного Кохрэном
Таким образом, найденное решение по сравнению с результатами, полученными ранее, является более точным.
Теперь найдем решение для следующей задачи: жидкость движется вблизи двух дисков, которые вращаются в одном направлении (рис.4). При этом сделаем допущение, что жидкость может проходить через один из дисков в осевом направлении. Таким образом, в этом случае граничные условия схожи с предыдущими:
F=0, G=1, H=0, P=0 при т=0; F=0, G=1 при т=b,
где b - безразмерное расстояние между дисками. Для этих условий
Q=F2+(G-1)2.
В результате вычислений получим распределение скоростей, представленное на рис. 5.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 4. Течение между двумя вращающимися дисками
Рис. 5. Распределение скоростей для случая двух вращающихся в одном направлении дисков
Найденное решение позволяет проводить предварительные расчеты дисковых машин трения и может использоваться как начальное приближение при расчетах в различных программных комплексах, например ANSYS.
Список литературы
1. Мисюра, В.И. Дисковые насосы/ В.И. Мисюра, Б.В. Овсянников, В.Ф. Присняков. - М.: Машиностроение, 1986. - 112 с.
2. Лепешкин, А.В. Гидравлика и гидропневмопривод. Ч. 2. Гидравлические машины и гидропневмопривод: учебник/А.В. Лепешкин, А.А. Михайлин, А.А. Шейпак. - М.: МГИУ, 2003. - 352 с.
3. Дорфман, Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел/Л.А. Дорфман. - М.: Физматгиз, 1960.
4. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя/Г. Шлихтинг. - М.: Наука, 1969.
5. White, Frank M. Viscous fluid flow/Frank M. White. - 2-nd ed. - 1991.
6. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов/ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 1964. - 608 с.
7. Самарский, А.А. Численные методы: учеб. пособие для вузов/ А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М.: Наука, 1989. - 432 с.
Материал поступил в редколлегию 29.03.12.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Разработка модели концентрации с учетом физических параметров жидкости. Движение жидкости в трубопроводе, в баке и в пределах зоны резания. Модель концентрации механических примесей. Использование программных продуктов для получения результатов расчета.
курсовая работа [351,0 K], добавлен 25.01.2013Достоинства и недостатки стальных дисков, их виды. Технология получения заготовки, Использование магния в производстве колесных дисков. Изготовление всей литейной оснастки с применение САD-CAM системы. Обработка колеса, окраска и контроль качества.
реферат [1,8 M], добавлен 28.11.2013Определение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками. Диагностирование характеристик вала с дисками по спектру частот колебаний, моментов инерции масс дисков. Применение метода решения обратной задачи, программная реализация решения.
дипломная работа [434,9 K], добавлен 23.10.2010Разработка математической модели системы автоматического регулирования уровня жидкости в резервуаре. Определение типа и рациональных значений параметров настройки регулятора. Содержательное описание регулятора, датчика уровня и исполнительного устройства.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 10.11.2015Основные характеристики и конструкция трубчатых вращающихся печей. Тепловой и температурный режимы работы вращающихся печей. Основы расчета ТВП. Сущность печей для окислительного обжига сульфидов. Печи глиноземного производства (спекание и кальцинация).
курсовая работа [693,6 K], добавлен 04.12.2008Описание схемы и расчет дифференциальных уравнений движения манипулятора с двумя степенями свободы. Кинематический анализ схемы и решение уравнений движения звеньев и угловых скоростей механизма. Реакции связей звеньев и мощность двигателя управления.
курсовая работа [3,2 M], добавлен 06.08.2013Понятие оптимальных скоростей движения жидкости в гидролиниях. Особенности выбора жидкости для гидросистем. Методика расчета простых и разветвленных гидролиний, а также их параллельных соединений. Специфика построения напорной и пьезометрической линий.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 21.01.2010Принцип действия и схема привода автокрана. Определение мощности гидропривода, насоса, внутреннего диаметра гидролиний, скоростей движения жидкости. Выбор гидроаппаратуры, кондиционеров рабочей жидкости. Расчет гидромоторов, потерь давления в гидролиниях.
курсовая работа [479,5 K], добавлен 19.10.2009Новые направления в проектировании индивидуального отбора игл на трикотажных машинах. Преимущества узорообразующих дисков. Высота подъема игл. Применение узорообразующих дисков с управляемыми сухариками. Выработка многоцветных жаккардовых переплетений.
реферат [859,2 K], добавлен 20.03.2012Принцип действия и схема объемного гидропривода бульдозера. Определение мощности привода, насоса, внутреннего диаметра гидролиний, скоростей движения жидкости. Выбор гидроаппаратуры, кондиционеров рабочей жидкости. Расчет гидромоторов и гидроцилиндров.
курсовая работа [473,2 K], добавлен 19.10.2009Определение передаточных ступеней привода, вращающихся моментов на валах, угловых скоростей, консольных сил, допускаемых напряжений. Выбор твердости, термообработки, материала колес. Расчет клиноременной передачи, энергокинематических параметров привода.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 21.12.2012Единицы измерения давления, основное уравнение гидростатики, параметры сжимаемости жидкости, уравнение Бернулли. Расход жидкости при истечении через отверстие или насадку, режимы движения жидкости. Гидравлические цилиндры, насосы, распределители, баки.
тест [525,3 K], добавлен 20.11.2009Расчет гидросистемы подъема (опускания) отвала автогрейдера тяжелого типа. Определение мощности гидропривода, внутреннего диаметра гидролиний, скоростей движения жидкости; выбор насоса, гидроаппаратуры, кондиционеров рабочей жидкости; тепловой расчет.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 23.05.2013Подбор гидроцилиндров и выбор насосной станции. Подбор регулирующей аппаратуры, расчёт трубопровода, потерь энергии и материалов при ламинарном режиме течения жидкости, регулировочной и механической характеристик. Выбор диаметра труб сливной магистрали.
контрольная работа [259,8 K], добавлен 20.03.2011Эксплуатация газовых скважин, методы и средства диагностики проблем, возникающих из-за скопления жидкости. Образование конуса обводнения; источник жидкости; измерение давления по стволу скважины как способ определения уровня жидкости в лифтовой колонне.
реферат [424,9 K], добавлен 17.05.2013Составление уравнений Бернулли для сечений трубопровода. Определение потерь напора на трение по длине трубопровода. Определение местных сопротивлений, режимов движения жидкости на всех участках трубопровода и расхода жидкости через трубопровод.
задача [2,1 M], добавлен 07.11.2012Строение, разновидности автовышек. Системы управления гидроопорами. Безопасность. Особенности эксплуатации машины в зависимости от времени года. Рабочие жидкости для гидросистем: водомаслянные эмульсии и синтетические жидкости на различных основах.
реферат [728,4 K], добавлен 17.11.2008Проект установки для изучения течения и процессов теплоотдачи в сложных пространственных каналах. Определение расчётных параметров течения в экспериментальной установке на четырёх участках. Разработка методики определения расхода воздуха по его нагреву.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 06.06.2013Технология переработки полимерных материалов термоформованием и экструзией, математическая модель процесса в прямоугольных и цилиндрических координатах. Численный метод решения уравнения модели, разработка моделирующего алгоритма и составление программы.
курсовая работа [974,9 K], добавлен 07.08.2011Методы проектирования систем применения смазочно-охлаждающих жидкостей на операциях шлифования. Математическая модель процесса очистки СОЖ от механических примесей в фильтрах и баках-отстойниках. Исследование движения жидкости и механических примесей.
дипломная работа [439,5 K], добавлен 23.01.2013
