Вероятность безотказной работы технической системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

НАДЕЖНОСТЬ, РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА, МАЖОРИТАРНАЯ СИСТЕМА, ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, ИНТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ДО ОТКАЗА

В данной курсовой работе проведена декомпозиция структурной схемы надежности технической системы.

Для повышения надежности системы и увеличения 80%-ного ресурса в 1,5 раза произведено повышение надежности элементов. В результате повышения надежности, время безотказной работы системы увеличилось в 1,65 раза.

Построен график изменения вероятности безотказной работы системы от времени работы P(t).

Определены: вероятность безотказной работы системы и ее элементов, среднее время безотказной работы системы и ее элементов, интенсивность отказов системы и ее элементов, плотность распределения времени до отказа системы и ее элементов. В результате расчетов выявлены элементы, имеющие меньшую вероятность безотказной работы и большую интенсивность отказов.

Введение

Развитие научно-технического прогресса, как следствие, приводит к актуализации вопросов повышения надежности технических устройств и систем. Надежность является важнейшим технико-экономическим показателем качества любого технического устройства или системы [1].

Технической системой является объединение устройств, оборудования или других объектов, в том случае, если она может работать автономно и полностью выполнять возложенные на нее функции. Надежность технической системы также зависит от надежности ее элементов.

Надежность - свойство объекта сохранять во времени способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования. Надежность является комплексным свойством, которое в зависимости от назначения объекта и условий его применения может включать в себя безотказность, ремонтопригодность, восстанавливаемость, долговечность, сохраняемость, готовность или определенные сочетания этих свойств [2].

Разработка мероприятий по обеспечению эффективного использования различных машин и оборудования проводится на основе оценки показателей надежности. Освоение методов расчета показателей надежности дает возможность обосновать наиболее эффективный способ резервирования и технического обслуживания и сравнивать эффективность использования различных машин и оборудования в конкретных условиях их применения.

Объективная оценка надежности и составляющих ее свойств возможна после испытаний партии устройств или технической системы, работающих в конкретных условиях эксплуатации, и сравнения полученных показателей с техническими требованиями. На основании анализа полученных результатов разрабатывается программа обеспечения или повышения надежности на отдельных стадиях жизненного цикл объекта[3].

Задание 1

По структурной схеме надежности технической системы (рисунок 1), минимальному значению вероятности безотказной работы г и значениям интенсивности отказов элементов необходимо:

- построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени работы (от наработки) P=P(t);

- определить г-процентный ресурс технической системы;

- предложить способы увеличения г-процентного ресурса не менее чем в 1,5 раза:

a) повышением надежности элементов;

b) структурным резервированием одного или нескольких элементов.

Все элементы системы работают в период нормальной эксплуатации. Резервирование отдельных элементов или групп элементов осуществляется идентичными по надежности резервными элементами или группами элементов. Переключатели при резервировании считаются «идеальными».

г=80%,

Рисунок 1 - Структурная схема надежности технической системы

Решение

В связи с тем, что техническая система имеет сложную комбинированную структуру, целесообразно предварительно произвести декомпозицию системы, разбив ее на подсистемы - группы элементов, методика расчета надежности которых известна.

В исходной системе, представленной на рисунке 1, элементы 2 и 4, 3 и 5, 6 и 7, 8 и 10, 9 и 11 образуют последовательные соединения. Преобразуем их в укрупненные элементы A, B, C, D и E. Элементы 12, 13 и 14 представляют мажоритарную систему, которую заменяем укрупненным элементом F (рисунок 2а).

а)

После некоторых преобразований была получена мостиковая система, состоящая из укрупненных элементов A, B, C, D, и E, которую заменяем укрупненным элементом G. В итоге получаем полностью преобразованную техническую систему, изображенную на рисунке 2б.

б)

Рисунок 2- Преобразования комбинированной системы

Надежности укрупненных элементов рассчитываются, в зависимости от способа соединения.

Определим надежность укрупненных элементов A, B, C, D и E. Вероятность безотказной работы таких систем по теореме умножения вероятностей равна произведению вероятности безотказной работы элементов (формула 1):

Определим надежность укрупненного элемента F.

Данный элемент представляет собой мажоритарную систему. Эту систему можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, окажутся работоспособными m элементов.

Для расчета надежности систем «m из n» воспользуемся комбинаторным методом, в основе которого лежит формула биноминального распределения. Вероятность события, при котором из общего количества элементов n работоспособность сохраняют k элементов, составляет (форм. 2):

(2)

где - биноминальный коэффициент из n по k.

В случае, когда для сохранения работоспособности системы необходимо и достаточно, чтобы работоспособность сохраняли не менее m элементов из n, для расчета вероятности отказа системы по теореме сложения вероятностей необходимо просуммировать вероятности состояний, обеспечивающих работоспособность (формула 3):

Надежность укрупненного элемента F рассчитывается по формуле 4:

(4)

Определим надежность укрупненного элемента G, который представляет собой мостиковую систему, включающую в себя элементы A, B, C, D и E.

Для анализа надежности мостиковой системы (рис. 3) воспользуемся методом разложения относительно особого элемента, в качестве которого выберем элемент E.

Рисунок 3 - Мостиковая схема

При Е=1, схема принимает вид параллельно-последовательного соединения (рис. 4), а при Е=0 - последовательно-параллельного (рис. 5).

Рисунок 4 - Преобразованная мостиковая система при Е=1



Рисунок 5 - Преобразованная мостиковая система при Е=0

Уравнение для определения вероятности безотказной работы системы определяется формулой 5:

(5)

Для преобразованной мостиковой системы, уравнения для определения вероятности безотказной работы системы запишется (формула 6 и 7):

(6)

(7)

Надежность всей системы определится как (формула 8):

(8)

Реализуем решение задачи и построение графиков в системе MATLAB.

% Оценка надежности исходной системы

lambda1=0.1e-6; % 1 элемент

lambda2_5=1e-6; % 2,3,4,5 элементы

lambda6_7=2e-6; % 6,7 элементы

lambda8_11=1e-6; % 8,9,10,11 элементы

lambda12_14=1e-6; % 12,13,14 элементы

lambda15=0.2e-6; % 15 элемент

% переменная времени

t=0:1000:2.5e5;

% вероятности отказов элементов

q1=cdf('exp',t,1/lambda1);

q2_5=cdf('exp',t,1/lambda2_5);

q6_7=cdf('exp',t,1/lambda6_7);

q8_11=cdf('exp',t,1/lambda8_11);

q12_14=cdf('exp',t,1/lambda12_14);

q15=cdf('exp',t,1/lambda15);

% вероятности безотказной работы элементов

p1=1-q1;

p2_5=1-q2_5;

p6_7=1-q6_7;

p8_11=1-q8_11;

p12_14=1-q12_14;

p15=1-q15;

% для оценк надежности снять комментарий

% plot(t,p1,t,p2_5,t,p6_7,t,p8_11,t,p12_14,t,p15);

% grid on;

% расчет укрупненных элементов

pA_B=p2_5.^2;

qA_B=1-pA_B;

pC_D=p8_11.^2;

qC_D=1-pC_D;

pE=p6_7.^2;

qE=1-pE;

% мажоритарная система

n=3; m=2;

qF=cdf('bino',m-1,n,p12_14);

pF=1-qF;

% для оценки надежности снять комментарий

% plot(t,pA_B,t,pC_D,t,pE,t,pF);

% grid on;

% мостиковая система

pE1=(1-qA_B.^2).*(1-qC_D.^2);

pE0=1-(1-pA_B.*pC_D).^2;

pG=pE.*pE1+qE.*pE0;

% для оценки надежности снять комментарий

% plot(t,p1_15,t,pG,t,pF);

% grid on;

psys=p1.^2.*pG.*pF.*p15.^2;

% строим график безотказной работы системы

plot(t,psys);

grid on;

Приведенный выше алгоритм рассчитывает вероятность безотказной работы от времени работы и строит график P(t) (рисунок 6).

Рисунок 6 - График изменения вероятности безотказной работы системы от времени работы P(t)

Для нахождения времени работы соответствующего г=80% необходимо из вышеприведенного алгоритма исключить (закомментировать) строки построения графиков и переменной времени и включить его в цикл определения времени. Для этого был построен следующий алгоритм в системе MATLAB:

% Оценка надежности исходной системы

lambda1=0.1e-6; % 1 элемент

lambda2_5=1e-6; % 2,3,4,5 элементы

lambda6_7=2e-6; % 6,7 элементы

lambda8_11=1e-6; % 8,9,10,11 элементы

lambda12_14=1e-6; % 12,13,14 элементы

lambda15=0.2e-6; % 15 элемент

psys=1;

t=-10;

while psys>0.8

t=t+10;

% переменная времени

t=0:1000:2.5e5;

% вероятности отказов элементов

q1=cdf('exp',t,1/lambda1);

q2_5=cdf('exp',t,1/lambda2_5);

q6_7=cdf('exp',t,1/lambda6_7);

q8_11=cdf('exp',t,1/lambda8_11);

q12_14=cdf('exp',t,1/lambda12_14);

q15=cdf('exp',t,1/lambda15);

% вероятности безотказной работы элементов

p1=1-q1;

p2_5=1-q2_5;

p6_7=1-q6_7;

p8_11=1-q8_11;

p12_14=1-q12_14;

p15=1-q15;

% для оценк надежности снять комментарий

% plot(t,p1,t,p2_5,t,p6_7,t,p8_11,t,p12_14,t,p15);

% grid on;

% расчет укрупненных элементов

pA_B=p2_5.^2;

qA_B=1-pA_B;

pC_D=p8_11.^2;

qC_D=1-pC_D;

pE=p6_7.^2;

qE=1-pE;

% мажоритарная система

n=3; m=2;

qF=cdf('bino',m-1,n,p12_14);

pF=1-qF;

% для оценки надежности снять комментарий

% plot(t,pA_B,t,pC_D,t,pE,t,pF);

% grid on;

% мостиковая система

pE1=(1-qA_B.^2).*(1-qC_D.^2);

pE0=1-(1-pA_B.*pC_D).^2;

pG=pE.*pE1+qE.*pE0;

% для оценки надежности снять комментарий

% plot(t,p1_15,t,pG,t,pF);

% grid on;

psys=p1.^2.*pG.*pF.*p15.^2;

% строим график безотказной работы системы

plot(t,psys);

grid on;

end;

psys

t

Ответ: p_sys=0,8, t=119333 час.

Из расчета видно, что г-процентный ресурс составляет 119333 часа.

По заданию его необходимо увеличить не менее чем в 1,5 раза, следовательно, увеличенный ресурс должен составить не менее чем 178999,5 часа.

Повысить надежность системы можно повышением надежности элементов. К примеру, если интенсивность отказов группы элементов снизить и , то ресурс составит 196846 часа.

Задание 2

Система состоит из 5 последовательно соединенных элементов, имеющих различные законы распределения времени до отказа элементов и их параметры.

Обозначения законов распределения: W-Вейбулла, Г-гамма, R-Рэлея, Exp-экспоненциальный, TN-усеченный нормальный.

W (5;2000), Г (9;65); R (2,0•10^-5), Exp (8•10^-5), TN (390;100).

Определить:

- вероятность безотказной работы системы и ее элементов;

- среднее время безотказной работы системы и ее элементов;

- интенсивность отказов системы и ее элементов;

- плотность распределения времени безотказной работы системы и ее элементов.

Полученные данные представить в аналитическом виде, в виде графиков и таблиц.

Решение

Вычислим начальные моменты распределений: математические ожидания M и среднеквадратические отклонения у:

Распределение Вейбулла с параметром формы б=5 и параметром масштаба в=2000. Математическое ожидание, в свою очередь является средним временем безотказной работы элемента системы (формула 9):

(9)

где - гамма-функция.

alfa1=5;

betta1=2000;

MO1=betta1*gamma(1+1/alfa1)

Ответ: 1836,3 часа.

Определим среднеквадратическое отклонение времени безотказной работы элемента системы (формула 10):

(10)

СКО1=betta1*sqrt(gamma(1+2/alfa1)-(gamma(1+1/alfa1))^2);

Ответ: 420,62 часа.

Вероятность безотказной работы элемента и плотность распределения времени до отказа определим по формулам 11 и 12, а интенсивность отказа по формуле 13:

(11)

(12)

(13)

n=5000;

h=100;

t=0:h:n;

P1=1-cdf(`exp',t,betta1,alfa1);

f1=pdf(`exp',t,betta1,alfa1);

L1=f1./P1

Результатом решения являются три массива с шагом по времени от 100 до 5000 часов, которые будем использовать для построения графиков.

Гамма-распределение с параметром формы б=9 и параметром масштаба в=65. Определим математическое ожидание по формуле 14:

(14)

Определим среднеквадратическое отклонение (формула 15):

(15)

Подставив численные значения б и в, получаем ответ:

M= 585 часа;

у= 195 часа.

Вероятность безотказной работы элемента, плотность распределения времени до отказа и интенсивность отказов для гамма-распределения определим, используя функции MATLAB:

alfa2=9;

betta2=65;

P2=1-cdf(`gam',t,alfa2,betta2);

f2=pdf(`gam',t,alfa2,betta2);

L2=f2./P2

Значение переменной t определено выше.

Распределение Рэлея с параметром л=2•10^-5.

Определим математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение по формулам 16 и 17:

(16)

(17)

В результате подстановки численного значения л получим ответ:

M= 198,116 часа;

у= 103,682 часа.

Вероятность безотказной работы элемента, плотность распределения времени до отказа и интенсивность отказов, а так же математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение для распределения Рэлея определим, используя MATLAB:

lambda3=2e-5;

betta3=sqrt(1/(2*lambda3));

P3=1-cdf(`ray1',t,betta3);

f3=pdf(`ray1',t,betta3);

L3=f3./P3;

MO3=sqrt(pi/(4*lambda3));

CKO3=sqrt((4-pi)/(4*lambda3))

Экспоненциальное распределение с параметром л=8•10^-5.

Определим математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение по формуле 18:

(18)

В результате подстановки численного значения л получим ответ:

М = у = 12500 часов.

Вероятность безотказной работы элемента, плотность распределения времени до отказа и интенсивность отказов при экспоненциальном распределении определим:

lambda4=0.00008;

mu4=1/lambda4;

P4=1-cdf(`exp',t,mu4);

f4=pdf(`exp',t,mu4);

L4=f4./P4;

MO4=mu4;

CKO4=mu4;

Усеченное нормальное распределение с параметрами М₀=390, у₀=100. Нормирующий множитель распределения распределяется по формуле 19:

(19)

Знаменатель в формуле 19 представляет интегральную функцию нормального распределения при М=0, у=1и , и может быть реализован в системе MATLAB следующим образом:

с=1/cdf(`norm',mu5/sigma5,0,1);

Математическое ожидание (формула 20):

(20)

где который может быть найден следующим образом:

k=c*pdf(`norm',mu5/sigma5,0,1);

Среднеквадратическое отклонение (формула 21):

(21)

Определим математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение, вероятность безотказной работы элемента, плотность распределения времени до отказа и интенсивность отказов.

P5=c*(1-cdf(`norm',t,mu5,sigma5));

f5=c*pdf(`norm',t,mu5,sigma5);

L5=f5./P5;

MO5=mu5+k*sigma5;

CKO5=sigma5*sqrt(1+k*(mu5/sigma5)-k^2);

Вероятность безотказной работы системы определим по формуле 22, интенсивность отказов системы по формуле 23, плотность распределения времени до отказа системы по формуле 24:

(22)

(23)

(24)

Psys=P1.*P2.*P3.*P4.*P5;

Lsys=L1+L2+L3+L4+L5;

fsys=Lsys.*Psys;

Полученные значения являются массивами чисел, используя их, построим графики:

- вероятности безотказной работы каждого элемента системы (рис.7);

plot(t,P1,t,P2,t,P3,t,P4,t,P5);

grid on;

- вероятность безотказной работы системы (рис.8);

plot(t,Psys);

grid on;

- интенсивность отказа каждого элемента системы (рис.9);

plot(t,L1,t,L2,t,L3,t,L4,t,L5);

grid on;

- интенсивность отказов системы (рис.10);

plot(t,Lsys);

grid on;

- плотность распределения времени до отказа каждого элемента(рис.11);

plot(t,f1,t,f2,t,f3,t,f4,t,f5);

grid on;

- плотность распределения времени до отказа системы (рис.12);

plot(t,fsys);

grid on.

Рисунок 7 - Вероятность безотказной работы каждого элемента системы

Рисунок 8 - Вероятность безотказной работы системы

Рисунок 9 - Интенсивность отказов каждого элемента системы

Рисунок 10 - Интенсивность отказов системы

Рисунок 11 - Плотность распределения времени до отказа каждого элемента

Рисунок 12 - Плотность распределения времени до отказа системы

Среднее время безотказной работы системы определим по зависимости (формула 25):

(25)

где P(t)-вероятность безотказной работы системы.

Решение можно выполнить, используя формулу Симпсона (форм. 26):

(26)

где h - шаг интегрирования,

k - количество элементов в массиве вероятностей с учетом шага h,

P(i) - i-е значение вероятности.

kn=n/h;

s3=0;

for i=1:kn-1;

s3=s3+((3+(-1)^(i+1))*Psys(i+1));

end

T=(h/3)*(1+s3)

Ответ: 138,9105 час.

безотказная работа вероятность

Заключение

Основная часть курсовой работы включает в себя два задания.

В ходе выполнения первого задания была проведена декомпозиция системы (разделение ее на подсистемы - группы элементов, методика расчета надежности которых известна) и составлен алгоритм в системе MATLAB, по которому была рассчитана вероятность безотказной работы от времени работы и построен график P(t).

По результатам расчета мы получили, что г-процентный ресурс составляет 119333 часа. Для повышения надежности системы и увеличения 80%-ного ресурса в 1,5 раза произведено повышение надежности элементов. В результате повышения надежности, время безотказной работы системы увеличилось в 1,65 раза и составило 196846 часа.

В ходе второго задания были определены: вероятность безотказной работы системы и ее элементов; среднее время безотказной работы системы и ее элементов; интенсивность отказов системы и ее элементов; плотность распределения времени безотказной работы системы и ее элементов. Полученные данные представлены в аналитическом виде, в виде графиков, и проанализированы.

Список использованной литературы

1 Шишмарев, В.Ю. Надежность технических систем: учебник для студ. высш. учеб. заведений / В.Ю. Шишмарев. - Москва: Издательский центр «Академия», 2010. - 304 с.;

2 ГОСТ 27.002-2015. Надежность в технике (ССНТ). Термины и определения. - Введ. 2017-03-01. - Москва: Стандартинформ, 2016. - 24 с.;

3 Лисунов, Е.А. Практикум по надежности технических систем: учебное пособие / Е.А. Лисунов. - Санкт-Петербург: Издательство «Лань», 2015. - 240 с.: ил.;

4 Мевша, Н.В. Надежность технических систем: методические указания к практическим занятиям по дисциплине для студентов всех форм бучения и МИППС направления 27.04.01 Стандартизация и метрология / Н.В. Мевша. - Краснодар: КубГТУ, 2015. - 48с.;

5 Мевша, Н.В. Надежность технических систем: методические указания по выполнению курсовой работы для студентов всех форм обучения направления 27.04.01 Стандартизация и метрология / Н.В. Мевша. - Краснодар: КубГТУ, 2017. - 15 с.

Размещено на Allbest.ru

...