Стохастическая устойчивость механических систем при комбинированных воздействиях

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 621.752(031)

Стохастическая устойчивость механических систем при комбинированных воздействиях

Ж.Б. Бакиров,

В.Ф. Михайлов

Задачи стохастической устойчивости возникают при рассмотрении колебаний механических систем с параметрами, случайно изменяющимися во времени. Эти колебания описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. Простейшим примером является стохастический аналог уравнения Матье-Хилла:

(1)

в которомu(t) - обобщенная координата; е - коэффициент демпфирования; Щ - частота собственных колебаний; - параметр; y(t) - случайная функция, характеризующая параметрическое воздействие. Ставится задача об устойчивости тривиального решения уравнения (1) в вероятностном смысле.

Это уравнение описывает движение маятника, точка подвеса которого совершает случайные колебания в направлении гравитационных сил. Уравнение типа (1) можно использовать как одномерную модель параметрических колебаний сжатого стержня и других упругих конструкций под действием продольных сил, изменяющихся во времени по случайному закону. стохастический устойчивость колебание

При такой постановке задачи для конструкции допускается два состояния: невозмущенного равновесия (u = 0) и поперечных параметрических колебаний. В реальных системах невозмущенное равновесие при действии динамических нагрузок практически невозможно. Поэтому при динамическом нагружении параметрического характера обязательно возникают колебания конструкции независимо от величины параметров воздействия. Интенсивность этих колебаний может быть различной в зависимости от устойчивости или неустойчивости режима, соответствующего данному сочетанию параметров системы. Уравнение (1) при этом приобретает смысл уравнения в вариациях по отношению к исходным уравнениям движения.

Стохастическая устойчивость уравнения (1) при различных случайных воздействиях рассмотрена в работах [1, 2]. Здесь рассмотрим стохастическую устойчивость механических систем с периодически и случайно изменяющимися во времени параметрами. В самом общем виде уравнение движения такой системы можно записать так:

где y(t) - центрированный стационарный случайный процесс; н - коэффициент параметрического возбуждения; , - параметры аддитивного и мультипликативного случайного параметрического возбуждения.

Это уравнение описывает все возможные типы параметрического воздействия. Когда отсутствует случайное возбуждение, мы получаем известное уравнение Матье-Хилла. Когда отсутствует периодическое возбуждение (н = = 0), мы получаем ранее исследованное уравнение (1). В этом случае н, , выступают как параметры напряженного состояния, является частотой изменения силы, а y(t) - случайные отклонения амплитуды безразмерной силы от среднего значения.

Вводя следующие безразмерные параметры: ф = Щt, n = е/щ,c = /2Щ, ш = 2cф, запишем исходное уравнение так:

(2)

Введем фазовые переменные x₁ = u, x₂ = и перепишем это уравнение в виде системы

Если случайное воздействие имеет дробно-рациональную спектральную плотность, то его можно рассматривать как результат прохождения нормального белого шума через линейную систему с постоянными коэффициентами, называемую формирующим фильтром. Методика вывода уравнения фильтра, а также уравнения для часто встречающихся случайных воздействий приведены в [3].

Дополним уравнение движения уравнением фильтра и образуем расширенное фазовое пространство, включив в него, кроме фазовых переменных выхода, также фазовые переменные входного процесса. Тогда уравнение движения и уравнение фильтра могут быть записаны в виде одного векторного уравнения

(3)

Вектор x можно трактовать как n-мерный марковский процесс, переходная плотность вероятности которого удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова

(4)

Коэффициенты сноса a_i и диффузии b_ij в уравнении (4) вычисляются по формулам:

(5)

В прикладных расчетах широко используются определения устойчивости по моментам первого и второго порядка фазовых переменных, что соответствует устойчивости в среднем и среднеквадратичном. Уравнения относительно моментных функций первого и второго порядка получаются путем умножения уравнения (4) соответственно на x_i или x_ix_j (i,j = 1...n) и интегрирования по всему фазовому пространству [4]. При этом появляются моменты выше второго порядка и система моментных уравнений будет незамкнутой. Для замыкания этой системы принимается гипотеза квазигауссовости, согласно которой все моменты старше некоторого порядка (уровня замыкания) связаны между собой при помощи тех же соотношений, что и соответствующие моменты нормального процесса. Из этой гипотезы для моментов третьего порядка получаем

Пусть внешняя нагрузка является процессом со скрытой периодичностью, корреляционная функция которого имеет вид

Тогда векторные функции в уравнении (3) имеют вид

Уравнение Колмогорова запишется как

(6)

Для моментов фазовых переменных введем обозначения

где R - фазовое пространство.

Определим сначала моменты входного процесса. Умножим уравнение (6) последовательно на x₁, x₂, x₁x₃, x₂x₃, , x₁x₂, и в каждом случае проинтегрируем по всему фазовому пространству. Применяя правило интегрирования по частям и учитывая, что при x_i>±?P(x,ф)>0, получаем уравнения относительно моментных функций входного процесса

Если учесть, что а то получим Умножим вновь уравнение (6) последовательно на фазовые переменные первого и второго порядка: x₁, x₂, , x₁x₂, x₁x₃, x₁x₄, , x₂x₃, x₂x₄.

После интегрирования по всему фазовому пространству моментные уравнения примут вид:

(7)

Мы видим, что в моментные уравнения вошли моменты третьего порядка, которые выразим через моменты младших порядков по гипотезе квазигауссовости:

(8)

Если провести линеаризацию системы (7), то моментные уравнения распадутся на две независимые системы и первые шесть уравнений можно рассматривать независимо от последних трех. Первая система позволяет судить об устойчивости в среднем, а вторая система - в среднеквадратичном. Для этого следует рассмотреть эволюцию моментных функций m₁ и m₁₁ соответственно. Если при малых начальных возмущениях эти функции затухают со временем, то при рассматриваемом сочетании параметров системы и нагружения, механическая система устойчива как в среднем, так и в среднеквадратичном. Расчеты показывают, что система, устойчивая в среднеквадратичном, будет устойчива по вероятности.

Так как моментные соотношения содержат переменные во времени коэффициенты, то анализ их удобно производить при помощи численных методов. Поэтому нет необходимости в линеаризации системы (7). Суждение об устойчивости выносится по поведению моментов m₁ и m₁₁. В качестве примера построена область динамической неустойчивости при следующих параметрах: = 0,1, n = 0,05, н = , S = 1. Результаты численных расчетов на ЭВМ приведены на рисунке 1.

На этом графике обнаруживаются параметрические резонансы в стохастических системах, которые, как и в детерминированных системах, происходят при условии c = /2Щ = 1/P, P = 1,2,3….

Так, область неустойчивости имеет четко выраженный клин при c = 1, что соответствует главному параметрическому резонансу при = 2Щ. Кроме того, наблюдается второй и третий клин при P = 2 (c² = 0,5² = 0,25) и P = 3 (c² = 1/9 = 0,111).

Рассмотрим далее случай, когда аддитивные и мультипликативные возбуждения действуют независимо друг от друга. Тогда уравнение движения примет вид

(9)

Рисунок 1 - Границы области неустойчивости при воздействии «белого шума»

Пусть оба процесса экспоненциально-коррелированны. Введем фазовые переменные фильтра x₃ = y,x₄ = z. Тогда в уравнении (3)

(10)

где

Моментные уравнения относительно фазовых переменных имеют вид:

Из условия стационарности процессов y(t) и z(t) получаем:

(11)

Моментные функции третьего порядка выражаем через моменты первого и второго порядка и с учетом известных моментов (11) в дополнение к (8) получаем

После линеаризации моментных уравнений получаем следующую систему:

С целью выявления влияния аддитивных и мультипликативных помех на конфигурацию областей неустойчивости были построены области неустойчивости при различных параметрических воздействиях (рисунок 2). При действии только случайных мультипликативных помех ( = н, = 0, кривая 1) расширяется область динамической неустойчивости по сравнению с детерминированным случаем. Дополнительное действие аддитивных помех ( = н, = 0,1, кривая 2) сужает области динамической неустойчивости. Действие чисто аддитивного возбуждения ( = 0, = 0,5, кривая 3) «сглаживает» области неустойчивости, то есть исчезает резонансный характер области неустойчивости.

Рисунок 2 - Изменение границ областей неустойчивости при действии различных случайных помех

Список литературы

1. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М.: Наука, 1989.176с.

2. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. М.: Наука, 1971.228с.

Размещено на Allbest.ru