Размещено на http://allbest.ru

Сибирский федеральный университет, Институт математики

УДК 532.685

Моделирование фильтрации углеводородов в пористой среде

Киреев В. А.

научный руководитель:

д-р физ.-мат. наук Добронец Б. С.

Значительные масштабы поступления нефти в окружающую среду при освоении нефтегазовых ресурсов приводят к тому, что данный вид загрязнения является основным для многих районов нефтедобычи. В настоящее время быстро развиваются методы исследования проблем экологической безопасности при нефтяном загрязнении. Для мониторинга динамики распространения углеводородного загрязнения создаются и исследуются геофильтрационные математические модели. Поэтому в настоящее время построение модели фильтрации нефти в пористой среде и разработка на ее основе программного обеспечения является актуальным направлением.

Начиная с работ Анри Дарси (1803 - 1858), проблеме изучения особенностей движения жидкостей и газов в пористых средах посвящено значительное число работ. Свой вклад в развитие нового раздела гидродинамики внесли ряд ученых: Ж. Дюпюи (1804-1866), Ж. Буссинеск (1842-1929), Ф. Форхгеймер (1852-1933), Ч. Слихтер (1864-1946), Н. Е. Жуковский (1847-1921), К. Э. Лембке, М. Маскет, Л. С. Лейбензон (1879-1951), Р. Льюис и другие

Цель исследования заключается в построении математической модели процесса нефтезагрязнения пористых сред, изучении на ее основе динамики распространения углеводородов с учетом действующих факторов и разработке программного обеспечения. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

Формирование модели предметной области. Построение математической модели для оценки распространения нефтепродуктов в почве. Модель должна быть адекватной естественным условиям. Решение задачи фильтрации нефти в пористой среде и проведение сравнительного анализа численных результатов с экспериментальными данными.

Исходная информация для обоснования системы основных уравнений модели была получена из анализа серии экспериментов: анализ механизма загрязнения хорошо проницаемых и менее проницаемых сред; определение динамики миграции углеводородов в макрооднородной воздушно-сухой почве; анализ механизма растекания загрязнителя по границе раздела двух сред различной проницаемости.

Построение модели будем выполнять при следующих допущениях: рассматривается несжимаемая жидкость в водонасыщенной пористой среде переменной пористости, среда изотропна с постоянными физическими свойствами за исключением пористости. Пористость среды определяется как отношение объема пустот ко всему объему. Боковые границы не влияют на процесс фильтрации. жидкость газ пористый геофильтрационный

В соответствии с принятыми допущениями было определено множество параметров. Входными параметрами модели являются: пористость в рассчитываемой области (), динамическая (), кинетическая () и эффективная () вязкости жидкости, плотности жидкости () и среды (), удельные теплоемкости () жидкости и среды, проницаемость среды (k), коэффициент теплового расширения жидкости (), динамическая, кинетическая и эффективная вязкости жидкости, плотности жидкости и среды, удельные теплоемкости жидкости и среды, проницаемость среды, коэффициент теплового расширения жидкости, начальные и граничные условия. В направлении гравитации на поток действует сопротивление частиц пористой среды в соответствии с соотношениями, данными Эргуном (Эргун, 1952):

Исходя из цели моделирования, определяются выходные параметры: глубина, ширина и высота распространения нефтезагрязнения; скорости образования зоны нефтяного загрязнения.

На основе законов, управляющих течением углеводородов, были выписаны полные балансовые уравнения для трехмерного потока с учетом действующих факторов. Из уравнений неразрывности и закона Дарси были выведены уравнения баланса массы, импульса и сохранения энергии. Оператор модели включает систему дифференциальных нелинейных уравнений параболического и эллиптического типа.

Данная модель описывает процесс нестационарной фильтрации углеводородов в различных почвенных средах при переменных коэффициентах фильтрации.

Уравнение неразрывности

(1)

Уравнение импульса:

(2)

Уравнение энергии:

(3)

Уравнения (1)-(3) записаны в безразмерных величинах с использованием обозначений - декартовы координаты, -скорость, - давление, - время, - температура, - пористость, - число Прандтля, - число Дарси, - модуль вектора скорости, - отношение эффективной вязкости к динамической, - единичный вектор в направлении гравитации, - число Рэлея, - коэффициент теплоемкости, - коэффициент проницаемости, L - характеристическое измерение. По повторяющемуся индексу подразумевается суммирование.

Начальные условия:

Граничные условия:

где .

Локальная пористость

Для дискретизации по времени используем простейшую схему первого порядка точности

,

где .

Далее введем в пространстве (X_i, ) прямоугольную сетку, состоящую из точек X_i = X_i,0 + h_i. Множество точек X_i(i = 1,2,3) образуют сетку. Дискретизацию уравнения (2) можно выполнить по явной схеме:

(4)

Перепишем это уравнение в виде

(5),

где (5.1)

Т.к. из уравнения (1) , то, подставляя уравнение (5) в это выражение, выполнив соответствующие преобразования, получаем уравнение давления, где правая часть определена через величины с предыдущего шага:

=. (6)

Уравнение энергии запишется как

(7)

Таким образом, для расчета поля скоростей, давления и температуры на (n+1) временном шаге имеем замкнутую систему уравнений (5)-(7).

Конструктивный путь рассматриваемого метода расчета искомых функций , , в момент времени представляется в виде следующей вычислительной процедуры. На первом этапе по известным с предыдущего шага значениям вычисляется поле энергии на (n+1) шаге.

На втором этапе по известным с предыдущего шага с помощью алгебраических формул, полученных в процессе дискретизации выражения (5.1).

На третьем этапе, зная правую часть уравнения Пуассона (6), рассчитывается поле давления .

На четвертом этапе по найденным полям давления , энергии и скорости рассчитывается поле скорости на (n+1) шаге.

На этом расчет текущего временного цикла заканчивается. Скорость, рассчитываемая на каждой новой итерации по времени, уже удовлетворяет уравнению неразрывности, и нет необходимости строить поправки.

Получена динамическая модель фильтрации нефтезагрязнителя в пористой среде переменной пористости, которая позволит оценивать степень загрязнения и восстановления загрязненных почвенных сред, определять динамику миграции углеводородов, фильтрующихся с поверхности земли, а также устанавливать закономерности изменения зоны нефтяного загрязнения.

Размещено на Allbest.ru