Энтропийно-информационные инварианты устойчивости в точках плавления и кипения металлов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Энтропийно-информационные инварианты устойчивости в точках плавления и кипения металлов

В.П. Малышев, А.М. Нурмагамбетова

Предлагается единая концепция твердого, жидкого и газообразного состояний на основе учета в каждом из них хаотизированных частиц по преодолению тепловых барьеров плавления и кипения. Эта концепция полностью согласуется с общесистемными критериями устойчивости по пропорции золотого сечения.

Один из основателей кибернетики У.Р. Эшби утверждает: «Через все значения слова «устойчивость» проходит основная идея «инвариантности». Эта идея состоит в том, что хотя система в целом претерпевает последовательные изменения, некоторые ее свойства («инварианты») сохраняются неизменными. Таким образом, некоторое высказывание о системе, несмотря на беспрерывное изменение, будет неизменно истинным» [1]. Структурные инварианты можно обнаружить и на уровне элементов, и на уровне связей, и на уровне целостностей [2]. Более того, «… существует глубокая аналогия между отношением законов природы к явлениям, с одной стороны, и отношением принципов симметрии к законам природы - с другой» [3].

Понятие системного инварианта, определяющего устойчивость целого, тесно связано с понятием гармонии. В работах Э.М. Сороко [4, 5] обосновывается, что гармония есть мера разрешенности диалектического противоречия, при которой сохраняются обе стороны, но одна из них оказывается главенствующей. Она определяет связность целого и потому относится к структуре. В рамках единой системы структура понимается как частично упорядоченное множество, которому отдается доминирующая роль. Неупорядоченная часть множества является стохастичной, непредсказуемой в своем поведении и дополняет по противоположности детерминированную часть. В этом смысле самоорганизация выступает как естественный механизм самонастройки целого на оптимальный режим функционирования этих двух частей, при котором устойчивость и адаптация внутренне сбалансированы. В этом, собственно, и состоит совершенство предметов и явлений, к постижению которого была издавна устремлена человеческая мысль.

На основании всестороннего анализа различных подходов к проблеме гармонии Э.М. Сороко приходит к выводу, что «… выявление структурных свойств, изучение процессов саморазвития систем окружающего мира чрезвычайно важно проводить, во-первых, в диалектическом единстве статистических и детерминистских закономерностей и, во-вторых, в единстве симметрии и асимметрии объектов» [4]. Для количественного разрешения задачи необходимо выбрать единую меру статистических и детерминистических начал в любом целом. Наиболее полно эта мера выражается в информации, которая может быть рассмотрена в различных отношениях: свободная и связанная, возможная и действительная, субъективная и объективная, реальная (актуальная) и потенциальная и т.п. Столь же правомерно использование энтропии как меры неупорядоченности, которая также охватывает весь спектр состояний системы, включая полную упорядоченность, при которой энтропия равна нулю.

Выступая как мера определенности, информация отражает функцию структурного начала в целом, а энтропия, будучи мерой неопределенности, - ее структурного дополнения. Исходя из закона сохранения суммы информации и энтропии

I + H = Hmax, (1)

можно получить его безразмерную форму, нормируя по Hmax:

i + h = 1, (2)

где i и h - относительные, долевые значения информации и энтропии. Каждая из них может изменяться в полной мере от нуля до единицы. Их гармония возможна только в случае соразмерности, которая может быть обеспечена целочисленной пропорциональностью (кратностью) любых их относительных изменений. Наименьшая мера этих изменений равна отношению дифференциалов к самим переменным, и тогда соразмерность может быть выражена как

, (3)

где п - целое число (0, 1, 2, …). После взятия интегралов получим

lnh = nlni = lnin, (4)

откуда следует, что

h = in. (5)

Так как h = 1 - i, то полученное равенство становится уравнением п-й степени для одной переменной

in + i - 1 = 0. (6)

Решение этого уравнения для п = 0, 1, 2, … дает следующие результаты (см. таблицу 1).

На нулевом уровне самоорганизация отсутствует (идеальный хаос) и структурная составляющая равна нулю. На первом уровне система находится в положении неустойчивого равновесия при равенстве структурообразующих и деструктивных факторов. И лишь на втором уровне впервые достигается диалектически необходимая асимметрия двух составляющих с неподавляющим преимуществом структурного фактора, обеспечивающего целостность всей системы, что является обязательным условием ее устойчивости. В дальнейшем, по мере повышения уровня самоорганизации, структурная составляющая возрастает с замедлением, так что даже на достаточно высоком седьмом уровне, редко достигаемом сложными системами, степень хаотизации ее, которой обеспечивается адаптивность к случайным факторам окружающей среды, составляет около 20 %. Имеется и иной подход к количественной оценке различных уровней самоорганизации с более детальным учетом внутриуровневых и общесистемных соотношений двух основных составляющих на основе таких условий перехода от предыдущего уровня к последующему, когда они отличаются на один порядок производной по темпу накопления информации [6, 7]. Однако оба подхода не имеют принципиальных отличий и взаимно дополняют друг друга, сходясь на втором уровне для простейших систем, причем, как оказалось, на уровне пропорции золотого сечения.

Соразмерные значения структурной (i) и хаотизированной (h) составляющих самоорганизующихся систем

Эта пропорция распространена в природе и обществе как наиболее гармоничное отношение определяющей стороны к целому, впервые осознанная и названная золотой Леонардо да Винчи [8]. Численно пропорция золотого сечения строго равна одному из корней квадратного уравнения

i2 + i - 1 = 0 (7)

с а также пределу, к которому стремится ряд Фибоначчи по закону затухающих колебаний относительно igs (gs - от gold section).

Поскольку пропорция золотого сечения относится к начальным уровням самоорганизации систем, оно в первую очередь должно быть сопоставлено с инвариантами устойчивости простых веществ. Для этого необходимо использовать такие инструменты анализа их устойчивости, которые наиболее адекватны информационной энтропии Шеннона, положенной в основу всех представленных выкладок. В этом отношении однозначный выбор может быть сделан только в пользу Н-энтропии Больцмана.

Обоснование инвариантов устойчивости вещества в соответствии с Н-энтропией и распределением Больцмана. Автор статистического обоснования второго начала термодинамики Людвиг Больцман увековечил свое имя статистическим выражением энтропии [9]

Н = pilnpi (8)

и распределением частиц по энергии

, (9)

где pi и Ni - соответственно доля и число частиц с энергией i;

N - общее число частиц;

k - постоянная Больцмана;

т - число учитываемых уровней энергии. Величину pi можно трактовать и как вероятность обнаружения частиц с энергией i.

Одним из свойств этого распределения является запрет на бьльшую заселенность последующего уровня энергии в сравнении с предшествующим по условию +1 . Другое свойство состоит в повышении равномерности заселения уровней с увеличением температуры. Так, при 0 К заселенным оказывается только первый уровень с нулевым значением энергии, а при Т достигается полная равномерность заселения всех уровней с = 1/m [10].

Для определения доли частиц, имеющих энергию, равную или бьльшую, чем энергия некоторого барьера связности а, необходимо просуммировать распределение вероятностей выше барьера :

хаотизированный тепловой газообразный кипение

, (10)

где а - номер уровня энергии, соответствующего барьерному.

Чтобы обеспечить определенность номера а, следует задавать ему некоторое целочисленное значение исходя из соотношения

= а/а, (11)

где - постоянный энергетический интервал - шаг варьирования i.

Для более точного выражения необходимо перейти от дискретного распределения энергии к непрерывному, т.е. перейти от суммирования к интегрированию. С этой целью числитель и знаменатель (10) умножаются на и этот множитель вводится под знак суммы:

. (12)

При m и d обеспечится переход к интегральной форме

. (13)

При взятии несобственных интегралов в числителе и знаменателе константа интегрирования сокращается, поэтому для интеграла в числителе имеем

(14)

Интеграл в знаменателе равен

(15)

В целом получается искомое выражение

, (16)

из которого следует необходимость увеличения доли надбарьерных частиц с повышением температуры.

Данное выражение использовалось как эмпирически найденное в качестве составной части константы скорости реакции еще в приближении уравнения Аррениуса, а затем и в более строгих выражениях формальной кинетики. Не менее важным является и известный интеграл (15), поскольку он имеет смысл среднеинтегральной энергии частицы при температуре Т, с которой непосредственно сопоставляется энергия барьера а в формуле (16). В пересчете на моль эта формула примет вид

, (17)

где RT приобретает смысл среднеинтегральной энергии моля вещества при температуре Т.

Вообще говоря, согласно теореме о среднем значении функции ее истинная, математически строгая величина может быть определена именно как среднеинтегральная. Поэтому величину RT следует считать как наиболее точную среднюю тепловую энергию тела. Поскольку же средняя тепловая энергия есть кинетическая энергия хаотического движения частиц по законам классической механики, то если энергетический барьер связан с преодолением какой-либо температуры , выражение этого барьера должно быть также тепловым, равным для моля вещества R. Именно такие барьеры представляют собой точки плавления и кипения.

Необходимо отметить, что распределение Больцмана было выведено применительно к идеальному газу, т.е. к кинетической энергии движения частиц, создающих за счет хаотических столкновений тепловую энергию системы. Однако возможности теории и уравнения Больцмана гораздо шире, и до сих пор они служат источником новых приложений [11], в частности, для определения вероятности разрушения окускованных материалов, зерен и горных пород [12-18]. Все эти работы требовали обоснования применимости распределения Больцмана к твердому телу, и такие обоснования были приведены в работе академика М.А. Леонтовича [19].

Им было показано, что распределение частиц по кинетическим энергиям в твердом теле (т.е. за исключением потенциальной энергии притяжения) подчиняется энергетическому спектру Больцмана, отвечающему за хаотическое, тепловое движение частиц в узлах кристаллической решетки прежде всего по квантовым условиям применимости статистики Больцмана:

, (18)

где N/V - концентрация;

та - масса частицы;

h - постоянная Планка. Так, при комнатных температурах для самого легкого элемента (в твердом состоянии) - лития - этот критерий равен 4,095102, а для одного из самых тяжелых элементов - америция - значение данного критерия еще меньше - 8,630105.

Таким образом, формального запрета на применение статистики Больцмана для элементов в твердом, а тем более - в жидком состояниях при температурах по крайней мере выше комнатной, не имеется. Повышение температуры, как очевидно из неравенства (18), будет только ослаблять действие этого критерия, тем более в области плавления твердых тел. Поскольку диапазон атомных масс от лития до америция охватывает практически всю таблицу Менделеева, данный вывод можно отнести к любым твердым и жидким телам с любой массой.

Из вышеизложенного следует, что тепловой барьер плавления следует учитывать как R ( - температура плавления - melting), а для кипения - как RTb (Тb - температура кипения - boiling). Тогда доля частиц, имеющих энергию выше барьера плавления, будет согласно (17) равна

. (19)

Такие частицы по своему энергетическому статусу не могут постоянно пребывать в узлах кристаллической решетки, находясь с ними в динамическом равновесии, возникая статистически рассеянно по всему объему кристалла, кратковременно переходя в междоузельные пространства и возвращаясь в вакантные узлы после потери энергии за счет столкновения с менее энергоемкими частицами в узлах кристаллической решетки. Такие сверхбарьерные частицы согласно распределению Больцмана должны существовать при любых температурах, вплоть до самых низких. Они выключены из дальнего порядка связи, присущего кристаллам и за который отвечают частицы, постоянно находящиеся в узлах кристаллической решетки, совершая менее энергоемкие хаотические колебания. Доля таких частиц, которые назовем кристаллоподвижными (crystal-mobile), будет по противоположности со сверхбарьерными (19) равна

. (20)

Частицы с такой энергией могут существовать также при любой температуре, даже намного выше , опять-таки согласно распределению Больцмана, хотя доля таких частиц будет неуклонно уменьшаться.

По барьеру кипения R можно определить долю частиц, имеющих энергию выше этого барьера и по статусу своему выключенных не только из дальнего, и но и ближнего порядка связи. Эти частицы имеются как в твердом, так и в жидком состояниях при любой температуре, и это наиболее убедительно доказывает существование равновесного с кристаллом и жидкостью пара вещества. Поэтому назовем такие частицы пароподвижными (vapor-mobile), а доля их выразится как

. (21)

Наконец, необходимо определить и долю частиц, которые ответственны только за ближний порядок связи, характерный для жидкостей. Назовем такие частицы жидкоподвижными (liquid-mobile). Доля их может быть определена по разности между сверхбарьерными по отношению к барьеру плавления частицами, т.е. жидко- и пароподвижными, учитываемыми формулой (19), и пароподвижными частицами:

. (22)

Имеется возможность сразу же показать особенности полученных зависимостей в точках плавления и кипения. Так, подстановка в температурную зависимость для кристаллоподвижных частиц (20) дает критическую долю этих частиц, равную

Pcrm = 1 - exp(-Tm/Tm) = 1 - e-1 0,63,

практически совпадающую с пропорцией золотого сечения ( 0,62) в отношении структурной части целого. С дальнейшим повышением температуры доля кристаллоподвижных частиц становится меньше критического значения, и кристалл как единое целое разрушается, теряя дальний порядок связи и сохраняясь лишь в виде разрозненных фрагментов (кластеров, или динамически неустойчивых зародышей твердой фазы). С другой стороны, сумма сверхбарьерных частиц (жидко- и кристаллоподвижных) становится в точке плавления также критической по своей хаотизированной части и равной 0,37, с экспоненциально возрастающей долей согласно (19). Таким образом, избыточная против пропорции золотого сечения хаотизация кристалла может рассматриваться как универсальная причина плавления.

Подстановка точки кипения в зависимость для пароподвижных частиц (21) приводит к точно такому же результату в отношении хаотизированной части вещества по тепловой энергии при этой температуре

Pvm = exp(-Tb/Tb) = e-1 0,37.

Соответственно доля частиц, удерживающих вещество в конденсированном состоянии, т.е. суммарно кристалло- и жидкоподвижных, составляет в этой точке 0,63, которая при дальнейшем повышении температуры экспоненциально убывает. Следовательно, и в этом случае общей причиной кипения может быть избыточное против универсального инварианта устойчивости содержание хаотизированных частиц, энергетически не способных участвовать в формировании как дальнего, так и ближнего порядков связи.

Динамику изменения хаотизированных частиц всех трех сортов проиллюстрируем на примере одного из типичных металлов - бария (см. рис.).

Аналогичная картина установлена для 54 типичных металлов.

Таким образом, можно сделать вывод о подчиненности процессов плавления и кипения критическим значениям энтропийно-ин-формационных инвариантов устойчивости, что является еще одним подтверждением объективности закона сохранения суммы информации и энтропии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Эшби У.Р. Введение в кибернетику. - М.: ИЛ, 1959. - С. 109.

2. Овчинников Н.Ф. Принципы сохранения. - М.: Наука, 1966. - 331 с.

3. Вигнер Е. Этюды о симметрии. - М.: Мир, 1971. - 318 с.

4. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. - Минск: Наука и техника, 1984. - 264 с.

5. Сороко Э.М. Управление развитием социально-экономических структур. - Минск: Наука и техника, 1985. - 144 с.

6. Малышев В.П., Седов Е.А. Общие информационные свойства самоорганизующихся иерархи-ческих систем // Вестник АН КазССР. 1984. №7. С. 62-71.

7. Малышев В.П. Вероятностно-детерминированное отображение. - Алматы: Fылым, 1994. - 376с.

8. Леонардо да Винчи какъ художникъ, ученый и философъ: Бiографическiй очеркъ М.М. Филиппова. СПб.: Типография Ю.Н. Эрлихъ, 1892. 87 с.

9. Boltzmann L. Wissenschaftliche Abhandlung. Lpz, 1909. Bd 1-3.

10. Малышев В.П. Основы термодинамики вещества при бесконечно высокой температуре. - Алма-Ата: Наука КазССР, 1986. - 64 с.

11. Чертиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана / Пер. с англ. - М.: Мир, 1978. - 496с.

12. Малышев В.П. Разработка теории соударений для измельчения материалов // Комплексное использование минерального сырья. - 1992. - №2. - С. 43-49.

Р - долевое содержание хаотизированных частиц, Т - температура. Температурные зависимости доли:

1 - кристаллоподвижных, 2 - жидкоподвижных, 3 - пароподвижных частиц. Горизонтальные линии -

значения пропорции золотого сечения, вертикальные - точки плавления и кипения. Стрелками отмечены доли жидко- и пароподвижных частиц, находящихся в пропорции золотого сечения

Размещено на Allbest.ru