Моделирование процесса релаксации давления в полости плоской геометрии после ее опрессовки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование процесса релаксации давления в полости плоской геометрии после ее опрессовки

№54-3, 13.11.2016

Физико-математические науки

Хусаинов Исмагильян Гарифьянович, доктор наук, доцент, профессор

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал

Работа посвящена исследованию релаксации давления в полости, окруженной насыщенной газом пористой средой, после ее опрессовки. Получены интегральные уравнения, описывающие процесс релаксации давления в полости. Исследованы зависимости динамики релаксации давления от коллекторских характеристик пористой среды.

Оперативный контроль коллекторских характеристик прискважинной зоны позволяет оптимизировать процессы эксплуатации газовых месторождений и, тем самым, увеличивать продолжительность и эффективность эксплуатации скважин [2, 4-7]. Работа посвящена исследованию релаксации давления в полости, заполненной газом и окруженной насыщенной газом пористой средой, после ее опрессовки.

Основные уравнения. Пусть в исходном состоянии (t<0) давление газа во всем пористом пласте вокруг полости постоянно и равно p'0, а сама полость заполнена газом (рис. 1). В момент времени t=0 в полость дополнительно вводится газ и давление в ней мгновенно достигает значения p0. Далее за счет фильтрации газа в окружающее пористое пространство давление в полости стремится к значению p'0.

При описании этих процессов скелет пористой среды будем считать несжимаемым и однородным, а коэффициент вязкости газа не зависящим от температуры и давления. В рамках вышеизложенных допущений, учитывая, что изменение массы газа в полости происходит только за счет фильтрации газа через стенки полости в окружающую пористую среду, запишем уравнение сохранения массы газа в следующем виде:

,

давление полость релаксация опрессовка

где a - толщина трещины; - плотность газа; - скорость фильтрации газа через стенки полости.

Рисунок 1. Схематическое изображение полости плоской геометрии, окруженной насыщенной газом пористой средой

Давление в окружающей полость пористой среде будем описывать с помощью нелинейного уравнения пьезопроводности [1]:

.

Здесь - коэффициент динамической вязкости газа; p' - давление газа вокруг полости; m и k - коэффициенты пористости и проницаемости окружающей полость пористой среды.

Учитывая, что в исходном состоянии давление газа во всем пористом пласте вокруг полости постоянно и равно начальное условие для уравнения (2) запишем в виде:

.

На стенке полости выполняется условие равенства давлений справа и слева

.

где p(t) - давление внутри полости.

Второе граничное условие для уравнения (2) имеет вид:

.

Аналитическое решение нелинейного уравнения пьезопроводности общего вида для фильтрации газа (2) при условиях (3) - (5) не найдено. В работе это уравнение будем использовать в линеаризованном приближении. Для этого перепишем уравнение (2) в виде:

,

где значения показателя степени j = 1 и 2 соответствуют обычной линеаризации и линеаризации по Лейбензону [3]. Заметим, что изменение p' мало относительно среднего значения этой величины, поэтому коэффициент при в левой части уравнения (6) можно считать постоянным.

Таким образом, если во всей области течения и для всех значений t величина p' мало отклоняется от своего начального значения, то уравнение (6) можно переписать в виде

,

где - коэффициент пьезопроводности.

Для фильтрации газа в пористой среде вокруг полости используем закон Дарси:

,

где - скорость фильтрации газа вокруг полости. Граничное условие для уравнения (8) имеет вид:

.

Для замыкания системы уравнений (1), (7) и (8), считая, что газ является калорически совершенным, запишем связь текущих значений плотности и давления в полости:

,

где - показатель политропы, - начальное значение плотности газа в полости.

Подставляя в уравнение (1) величину из (9), получим:

.

Уравнение (10) связывает давление внутри полости со скоростью фильтрации газа через ее стенки.

После некоторых преобразований в работе получены нелинейные интегральные уравнения, описывающие эволюцию давления внутри полости:

,

.

Для дальнейшего анализа эти уравнения удобно представить в безразмерной форме:

,

,

где , , , , , .

Результаты численного расчета приведены на рис. 2. Здесь представлены зависимости безразмерного давления P от безразмерного времени , полученные в результате численного решения интегральных уравнений (12). Линии 1 и 2 соответствуют значениям P0 =5 и 2. Cплошные линии получены при обычной линеаризации, а пунктирные линии - при линеаризации по Лейбензону.

Рисунок 2. Релаксация безразмерного давления в полости при различных его начальных значениях (сплошные линии - обычная линеаризация, пунктирные - линеаризация по Лейбензону, линия 1 -- P0=5, 2 -- P0=2)

Из рис. 2 видно, что при описании процесса фильтрации с помощью уравнения пьезопроводности, линеаризованного по Лейбензону, восстановление давления происходит медленнее. С уменьшением разности между начальным значением давления в полости и значением давления вокруг полости отличия между решениями, полученными двумя способами линеаризации уравнения пьезопроводности, тоже уменьшаются (линии 2).

В результате исследований установлено:

· время релаксации давления в полости имеет обратную зависимость от коэффициента проницаемости;

· разница между решениями, полученными двумя способами линеаризации уравнения пьезопроводности, уменьшается с уменьшением начальной депрессии.

Список литературы

1. Хафизов Р.М., Хусаинов И.Г., Шагапов В.Ш. Динамика восстановления давления в "вакуумированной" скважине // Прикладная математика и механика. - 2009. - Т. 73, № 4. - С. 615-621.

2. Хусаинов И.Г. Воздействие акустическим полем на насыщенную жидкостью пористую среду // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 6; URL: http://www.science-education.ru/120-15160 (дата обращения: 31.10.2014).

3. Хусаинов И.Г. Динамика релаксации давления в полости с плоско-параллельными стенками после ее опрессовки // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-15159 (дата обращения: 31.10.2014).

4. Хусаинов И.Г. Оценка качества перфорации скважины акустическим методом // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-14505 (дата обращения: 09.09.2014).

5. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Компьютерное моделирование процесса релаксации давления в сферической полости после опрессовки // Успехи современного естествознания. № 10. 2016, С. 167-170.

6. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Исследование параметров пласта методом опрессовки // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 3; URL: http://www.science-education.ru/117-13813 (дата обращения: 04.07.2014).

7. Хусаинов, И.Г. Эволюция импульса давления при прохождении через пористую преграду, расположенную в воде / И.Г. Хусаинов // Фундаментальные исследования. - 2014. - № 11-12. - С. 2645-2649.

Размещено на Allbest.ru