S число мёртвых положений механизма на отрезке изменения независимой переменной ;

значения углов и ₃₄, при которых достигаются мёртвые положения.

Значения угла будем называть критическими точками.

Формулу (14) для можно записать в таком виде:

, (39)

где

, , . (40)

Из условий (33) следует, что

и . (41)

Как уже отмечалось в п. 10, в мёртвом положении механизма

1 или 1. (42)

Тогда на основании (39) и (42) получаем:

U₁ или U₂, (43)

где

, . (44)

Из формулы (43) видно, что число S мёртвых положений и критические точки зависят от значений U₁ и U₂, которые, в свою очередь, зависят от постоянных угловых параметров ₁, ₂, ₃, ₄ механизма.

Параметры U₁ и U₂ могут принимать любые значения; должно лишь выполняться условие . В таблицах 1 и 2 приведены все возможные сочетания значений U₁ и U₂, а также соответствующие значения S, и .

В таблицах приняты следующие обозначения:

, . (45)

Всего получено 14 случаев, которые разделены на два набора. В первом наборе содержатся четыре случая; они названы регулярными (см. таблицу 1). Во втором наборе содержится десять случаев, которые названы особыми (см. таблицу 2). Особые случаи отличаются от регулярных тем, что в каждом особом случае хотя бы одно из значений равно 0 или . Кроме того, в регулярных случаях области возможных значений параметров U₁ и U₂ выражаются строгими неравенствами, а в особых случаях, по крайней мере, одно из условий, отображающих указанные области, является равенством.

Критическая точка является границей области существования соответствующей сборки механизма. В регулярных случаях область существования сборки расположена по одну сторону от точки слева или справа; по другую же сторону от точки механизм не существует. В особых случаях критическая точка , равная 0 или , является левой границей одной сборки и одновременно правой границей другой сборки.

Из таблиц 1 и 2 видно, что число S мёртвых положений равно 0, 2 или 4 в регулярных случаях и 1, 2 или 3 в особых случаях.

Таблица 1. Мёртвые положения механизма ВЦЦЦ: регулярные случаи

Таблица 2. Мёртвые положения механизма ВЦЦЦ: особые случаи

В мёртвом положении механизма знаменатель формул (27), (28), (29) для неизвестных линейных параметров l₂₃, l₃₄, l₄₁ равен нулю, поскольку (k=1, 2, …, S). Поэтому неизвестные l₂₃, l₃₄, l₄₁ становятся бесконечно большими. Отсюда следует, что мёртвое положение механизма ВЦЦЦ не представляется возможным реализовать практически, то есть о нём можно говорить только в теоретическом плане.

Связь числа мёртвых положений со свойствами механизма

Каждому из трёх случаев, указанных в п. 13.2, соответствуют определённые значения числа S мёртвых положений механизма. Сведения на этот счёт приведены в таблице 3.

Таблица 3. Число мёртвых положений для трёх областей возможных значений постоянных угловых параметров ₁, ₂, ₃, ₄ механизма

Значения S=0 и S=1 встречаются в таблице 3 дважды. В связи с этим возникает необходимость разделить соответствующие области возможных значений параметров U₁ и U₂ на две подобласти. Речь идёт об области для регулярного случая 1 (см. таблицу 1) и четырёх областях для особых случаев ОС1, ОС2, ОС3 и ОС4 (см. таблицу 2).

Результаты разделения каждой из указанных областей на две подобласти представлены в таблице 4. Случай 1-а в таблице 4 относится к кривошипным механизмам (область ₁), случай 1-б - к ситуации, когда механизм не существует ни при каких значениях угла (первая часть области ₃), случаи ОС1-а, …, ОС4-а - к коромысловым механизмам (часть области ₂), случаи ОС1-б, …, ОС4-б - к ситуации, когда механизм существует только при одном значении угла (вторая часть области ₃).

С целью наглядного графического представления областей существования механизмов ВЦЦЦ будем использовать координатную плоскость (U₁, U₂), показанную на рис. 2. Плоскость (U₁, U₂) разделена прямыми , , и на девять зон. Указанные прямые обозначены на рис. 2 через abcd, efgh, ifbj и kgcl соответственно.

Каждое из условий для параметров U₁ и U₂ (в форме равенств или неравенств), фигурирующих в таблицах 1, 2 и 4, отображается в координатной плоскости (U₁, U₂) соответствующей зоной или прямой.

Таблица 4. Области возможных значений параметров U₁ и U₂ для случаев, когда S=0 и S=1

Область существования кривошипных механизмов

В п. 13.4 была получена область ₁ существования кривошипных механизмов ВЦЦЦ в виде условий, содержащих параметры U₁ и U₂ (см. случай 1-а в таблице 4). Эта область определяется следующими неравенствами:

, , . (46)

В координатной плоскости (U₁, U₂) (см. рис. 2) область ₁ отображается в виде двух зон: efi и dcl (исключая граничные прямые ef, fi, dc и cl).

Покажем, что область ₁ можно представить в более простой форме, содержащей только один параметр. Из формулы (39) видно, что

; . (47)

Функция ₃₄() будет существовать при любых значениях аргумента в том случае, когда выполняются следующие неравенства:

; . (48)

После подстановки из (47) в неравенства (48) получаем:

; . (49)

Два неравенства (49) могут быть преобразованы к одному неравенству:

, (50)

где

. (51)

Неравенство (51) определяет область ₁ значений постоянных угловых параметров ₁, ₂, ₃ и ₄, в пределах которой входное звено 2 является кривошипом. Множество кривошипных механизмов структуры ВЦЦЦ обозначим через М1.

Отметим, что условия (46) и (50) эквивалентны.

Область значений параметров, в пределах которой механизм ВЦЦЦ не существует

В п. 13.4 была получена область ₃, в пределах которой механизм ВЦЦЦ не существует. Область ₃ представлена в виде условий, содержащих параметры U₁ и U₂ (см. случаи 1-б, ОС1-б, ОС2-б, ОС3-б и ОС4-б в таблице 4). Эта область определяется следующими неравенствами:

(, , , )

(, , ) (, , ) (52)

В координатной плоскости (U₁, U₂) (см. рис. 2) область ₃ имеет вид двух зон: abj и hgk (включая граничные прямые ab, bj, hg и gk, но исключая точки b и g).

Покажем, что область ₃ можно представить в более простой форме, содержащей только один параметр U₃.

Функция ₃₄() не существует ни при каких значениях аргумента в том случае, когда выполняются следующие неравенства:

если , то ;

если , то .(53)

После подстановки из (47) в (53) получаем:

если , то ;

если , то .(54)

В обоих случаях, то есть как при , так и при , условия (54) преобразуются к одному неравенству:

. (55)

С учётом обозначения (50), неравенство (55) принимает такой вид:

. (56)

Рассмотрим теперь случай, когда . Можно показать, что в этом случае функция ₃₄() существует только при одном значении аргумента , а именно: при =0 или =, то есть функция вырождается в одну изолированную точку. В данном случае нельзя говорить о том, что механизм существует, поскольку входное звено может занимать одно единственное положение, из которого оно не может переместиться в какое-либо другое положение. Поэтому значение будем относить к области значений параметров, в которой механизм ВЦЦЦ не существует.

Присоединив значение к неравенству (56), получаем:

.(57)

Неравенство (57) определяет область ₃ значений постоянных угловых параметров ₁, ₂, ₃, ₄, при которых механизм ВЦЦЦ не существует.

Отметим, что условия (52) и (57) эквивалентны.

Область существования коромысловых механизмов

Выше в пп. 13.5 и 13.6 было установлено, что область ₁ кривошипных механизмов определяется неравенством , а область ₃, в пределах которой механизм ВЦЦЦ не существует, неравенством . Следовательно, область ₂ существования коромысловых механизмов определяется двойным неравенством:

. (58)

Множество коромысловых механизмов обозначим через М2.

Из сказанного выше ясно, что параметр U₃ может служить критерием, с помощью которого устанавливается принадлежность постоянных угловых параметров ₁, ₂, ₃, ₄ механизма к области ₁, ₂ или ₃.

Между тем, суждение об области существования механизма ВЦЦЦ, сделанное на основании критерия U₃, является вполне адекватным только в отношении областей ₁ и ₃, то есть когда речь идёт о кривошипных механизмах или же когда механизм не существует. Что касается коромысловых механизмов, то по значению критерия U₃ не представляется возможным получить более детальную информацию об области существования таких механизмов. Например, по значению U₃ нельзя установить число S мёртвых положений механизма при изменении входного угла от 0 до 2, число отрезков изменения аргумента , в пределах которых функция ₃₄() существует, левые и правые границы каждого из указанных отрезков.

С целью получить более полные сведения об области ₂ существования коромысловых механизмов ВЦЦЦ, мы представим эту область в форме, содержащей параметры U₁ и U₂.

В п. 13.4 было показано, что у коромысловых механизмов число S мёртвых положений равно 1, 2, 3 или 4 (см. таблицу 3). Поэтому область ₂ устанавливается на основании данных, приведённых в таблицах 1, 2 и 4. Для получения области ₂ нужно объединить все условия, которым должны удовлетворять параметры U₁ и U₂ для регулярных случаев 2, 3, 4 (S=2 и 4) и особых случаев ОС1-а, ОС2-а, ОС3-а, ОС4-а, ОС5, ОС6, …, ОС10 (S=1, 2 и 3). В результате получаем область ₂ в таком виде:

(, ) (,, )

(, ) (, , )

(, , ).(59)

В координатной плоскости (U₁, U₂) область ₂ имеет вид плоской фигуры, состоящей из пяти зон (см. рис. 2): abfe, dcgh, jbcl, ifgk, bcgf (включая границы bf, fe, dc, cg, bc, cl, if и fg, но исключая границы ab, jb, gh, gk и отрезок bg).

Три семейства коромысловых механизмов

Область существования коромысловых механизмов ВЦЦЦ разделим на три подобласти, которые обозначим через ₂₁, ₂₂ и ₂₃. Они определяются следующими условиями:

подобласть ₂₁: (, ) (,, );(60)

подобласть ₂₂: (, ) (, , );(61)

подобласть ₂₃: (, , ).(62)

Коромысловые механизмы, принадлежащие множеству М2, разделим соответственно на три семейства, обозначив их через М2.1, М2.2 и М2.3. Некоторые сведения о механизмах трёх указанных семейств приведены в таблице 5.

Таблица 5. Сведения о коромысловых механизмах, принадлежащих семействам М2.1, М2.2 и М2.3

Из таблиц 1, 2, 4 и 5 видно, что:

механизмы семейства М2.1 имеют, как правило, два мёртвых положения, которые достигаются при ₃₄=0 (только на границах подобласти ₂₁ механизмы этого семейства имеют одно мёртвое положение);

механизмы семейства М2.2 имеют, как правило, два мёртвых положения, которые достигаются при ₃₄= (только на границах подобласти ₂₂ механизмы этого семейства имеют одно мёртвое положение);

механизмы семейства М2.3 имеют, как правило, четыре мёртвых положения, которые достигаются при ₃₄=0 и ₃₄= (только на границах подобласти ₂₃ механизмы этого семейства имеют два или три мёртвых положения).

В координатной плоскости (U₁, U₂) подобласти ₂₁ соответствуют зоны abfe и dcgh (включая границы fe и dc, но исключая границы ab, bf, cg и gh); подобласти ₂₂ соответствуют зоны jbcl и ifgk (включая границы cl и if, но исключая границы jb, bc, fg и gk); подобласти ₂₃ соответствует зона bcgf (включая её границы, но исключая отрезок bg).

2.Сборки механизма ВЦЦЦ