Исследование статики механизмов

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

58

http://tmm.spbstu.ru

УДК 621.01

СТАТИКА МЕХАНИЗМОВ

Ю.А. СЕМЕНОВ

Введение

Механизмы предназначены не только для получения требуемых движений выходных звеньев, но и для передачи сил. При неудачном выборе геометрических параметров кинематической схемы механизм может оказаться неработоспособным из-за недопустимо больших усилий, возникающих в его кинематических парах. Поэтому уже на стадии кинематического синтеза, т.е. до разработки деталей и узлов конструкции, должны быть проанализированы условия передачи сил механизмом.

Исследование геометрических условий передачи сил называется статическим анализом механизма. Этот анализ ведется с помощью упрощенной статической модели, учитывающей только уравновешивающие усилия (обобщенные движущие силы, удерживающие механизм в состоянии равновесия), рабочие нагрузки и реакции связей. При этом не учитываются массы звеньев и силы трения. В этих условиях уравнения динамики превращаются в уравнения статики, хотя и описывают движение механизма. По существу, при статическом анализе исследуются уравнения равновесия механизма в различных его положениях.

Задачей статического анализа является определение обобщенных уравновешивающих сил и реакций связей. Уравнения равновесия механизма могут быть использованы для определения производных от функций положения по входным координатам и параметрам кинематической схемы в связи с исследованием механизмов с упругими звеньями и анализом точности машины. Уравнения равновесия позволяют определить особые положения механизма, что имеет большое значение для многодвигательных машин.

Статический анализ производится в направлении, обратном геометрическому и кинематическому расчетам, т.е. начинается от структурных групп последнего структурного слоя и заканчивается группами, которые первыми присоединяются к стойке.

В плоском механизме определяются уравновешивающие усилия и реакции только освобождающих связей, лежащие в плоскости движения звеньев. При этом используются уравнения равновесия всей структурной группы или ее отдельных звеньев.

Задачи на равновесие звеньев механизма решаются графическим или аналитическими методами. С силовым расчетом рычажных механизмов по статической модели познакомимся на некоторых примерах .

1. Графоаналитический метод

Определение сил, действующих в механизме, графоаналитическим методом осуществляется с помощью векторных уравнений и соответствующих им планов сил.

Пример 1. Определим уравновешивающие силы и реакции в кинематических парах погрузчика, показанного на рис. 1, а. Рабочая нагрузка в рассматриваемом положении механизма .

Рассмотрим равновесие ковша 8. На него действуют три силы: рабочая нагрузка и две реакции связей , . Поскольку на невесомое звено 7 действуют две силы, то реакция направлена вдоль прямой . На основании теоремы о трех непараллельных силах ,, заключаем, что линии действия этих сил должны пересечься в одной точке - точке пересечения линий действия сил ,.

Для нахождения неизвестных реакций запишем уравнение равновесия ковша: и построим план сил (рис. 1,б), из которого определим , .

Рис. 1.

Из уравнений равновесия звена 7: найдем . Звено 6 находится в равновесии под действием трех сил:, и . Линии действия указанных сил пересекутся в точке - точке пересечения линий действия сил ,(реакция направлена вдоль прямой ). Из уравнений равновесия звена 6: и плана сил найдем , .

Из равновесия звеньев 4 и 5: определим уравновешивающую силу и реакцию .

На звено 3 действуют четыре силы , , и . При этом действие известных сил и может быть заменено равнодействующей: . Линия действия силы направлена вдоль прямой . Точка - точка пересечения линий действия сил и является точкой пересечения трех сил , и . Из уравнения равновесия звена 3: с помощью плана сил найдем , .

Из уравнений равновесия звеньев 2 и 1: определим , .

2. Векторный метод определения сил

Статический расчет механизма может производиться совместным решением векторных уравнений равновесия, составленных для каждого звена в отдельности.

Пример 2. Определим реакции в кинематических парах рычажного механизма, показанного на рис. 2, а, и уравновешивающий момент , если к выходному звену 7 в заданном положении приложен нагрузочный момент .

Рис. 2

Геометрические параметры механизма:

; .

Сначала из системы уравнений геометрического анализа

при заданной сборке звеньев определим групповые координаты: , где .

Векторные уравнения равновесия подвижных звеньев механизма имеют следующий вид

Если ввести обозначения (см. рис. 2,б):

то уравнения равновесия моментов перепишутся в форме

Из записанных выше уравнений следует, что векторы и , и , и коллинеарны, т.е.

,

где - коэффициенты пропорциональности.

С учетом (2) и (3) уравнения равновесия моментов для шестизвенной группы Ассура примут следующий вид

Где

Из линейной системы уравнений (4) найдем коэффициенты пропорциональности

где якобиан системы уравнений геометрического анализа

Тогда модули реакций соответственно равны

;

, где

.

Уравновешивающий момент из первого уравнения системы (3) равен

3. Метод размыкания кинематической цепи

Этот метод базируется на условном размыкании некоторых кинематических пар с тем, чтобы кинематическая цепь приобрела структуру «дерево». Метод применим для всего механизма в целом и для отдельных структурных групп. При этом уравнения равновесия составляются в форме уравнений моментов относительно осей шарниров, и уравнений проекций сил на оси, соответствующие линейным координатам.

Пример 3. Определим уравновешивающий момент и реакции в кинематических парах механизма, изображенного на рис. 2, а.

Условно разомкнем механизм в шарнирах и для того, чтобы кинематическая цепь приобрела структуру «дерево» (рис. 3), а действие связей заменим соответствующими проекциями реакций.

Для определения этих сил и уравновешивающего момента составим уравнения равновесия открытой кинематической цепи:

Рис. 3

где

Из первых шести уравнений равновесия определим проекции реакций

где якобиан системы групповых уравнений

Тогда

.

Из последнего уравнения равновесия найдем

.

Пример 4. Определить уравновешивающие силы Q1 и Q2 и реакции в кинематических парах погрузчика (рис. 4). Рабочая нагрузка . Геометрические параметры механизма:

Рис. 4

=0,8м; =1,2м; =0,940м; м;=м;=1,6м;=0,8м; = м;=м; = 900; xО=yО=0; xB= 0,8 1,386 м; yB = 1,2 м; xC= 0; yC =м; xМ = 2,8 4,84 м; yМ = 2 м.

Механизм погрузчика образован из двух одноподвижных трехзвенных групп (звенья 1,2,3 и 4,5,6) и группы Ассура - звенья 7,8.

Из трех систем групповых уравнений

при заданной сборке звеньев определим последовательно групповые координаты: = 0; = 270; = 30; = 120; = 90; = 240.

С помощью групповых координат найдем координаты шарниров:

м; м; м; м.

Условно разомкнем группу Ассура в шарнире Н. Действие отброшенных связей заменим силами и . Из уравнений равновесия открытой кинематической цепи, образованной звеньями 8 и 7:

определим

С помощью уравнений равновесия отдельных звеньев 8 и 7:

найдем

Далее разомкнем кинематическую цепь механизма в шарнире Е. Составим уравнения равновесия открытой кинематической цепи, состоящей из звеньев 6, 4 и 5: механизм векторный кинематический цепь

Из этих уравнений определим реакции

Где

и уравновешивающую силу

Из уравнений равновесия звеньев 6 и 4:

найдем

Для определения усилий в первой структурной группе условно разомкнем шарнир В. Составим три уравнения равновесия открытой кинематической цепи (звенья 3,2,1):

Из первого и третьего уравнений определим компоненты реакции в шарнире В:

где

Из второго уравнения найдем уравновешивающую силу

Из условий равновесия отдельных звеньев определим

4. Метод определения сил, основанный на принципе возможных перемещений

Условия равновесия механизма (механической системы с идеальными связями) могут быть получены с помощью принципа возможных перемещений, в соответствии с которым суммарная работа всех активных сил на любом возможном перемещении должна равняться нулю.

При исследовании условий равновесия приходится решать два вида задач: а) при заданных силах определять положения равновесия; б) при заданном положении равновесия определять активные силы, приложенные к звеньям механизма Пример 5. Определим уравновешивающий момент в рычажном механизме, показанном на рис. 2,а.

Дадим входной координате q малое перемещение q; при этом выходное звено получит перемещение , величина которого, с точностью до малых второго порядка, .

Приравняем нулю возможную работу рабочего момента и момента : . Тогда получим

где якобиан системы групповых уравнений (1):

 где - определитель, получаемый при замене шестого столбца в определителе на столбец .

Принцип возможных перемещений применим также для определения реакций освобождающих связей. Для этого механизм последовательно освобождается от одной из связей. При этом на единицу увеличивается его число степеней свободы. В результате появляется новое возможное перемещение, которое раньше не допускалось этой связью. Действие связи заменяется соответствующей реакцией, которую включают в состав активных сил. Далее подсчитывается работа всех действующих активных сил на новом возможном перемещении системы. Приравняв нулю возможную работу этих сил, получим уравнение для определения искомой реакции.

Отметим, что указанный метод определения сил (активных или реакций связей) имеет важное преимущество перед остальными методами: каждая из неизвестных сил определяется независимо от остальных решением одного уравнения.

5. Погруппный метод определения сил

В данном случае составляются уравнения равновесия внешних сил для всех структурных групп механизма в направлении, обратном геометрическому и кинематическому расчетам, и уравнения равновесия моментов и моментов сил, действующих на каждое звено группы.

Пример 6. Определим проекции реакций в группе Ассура рычажного механизма, показанного на рис. 2,а.

Из уравнений равновесия группы Асура

определим проекции реакций

Где

Рассмотренные здесь методы определения сил и моментов предназначены для исследования геометрических условий передачи сил. Такое исследование будет проведено позже, во второй части статьи. Отметим, что указанное исследование не заменяет кинетостатического анализа механизмов, обычно проводимого на последующих этапах его проектирования.

Список литературы

1. Теория механизмов и машин / Коловский М.З., Евграфов А.Н., Семенов Ю.А., Слоущ А.В. - М.:Академия, 2006. - 560 с.

2. Семенов Ю.А., Семенова Н.С. Теория механизмов и машин. Статика механизмов.: Учеб. пособие. - СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. - 44 с.

3. Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. - М.: Машиностроение, 1988. - 232 с.

4. Holzman/Meyer/Schumpich. Technische Mechanik./Teil 1.Statik. - B.G. Teubner Stuttgart, 1990. - 182 s.

Размещено на Allbest.ru