Построение огибающей поверхности кулачка методом винтового дифференциального комплекса

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 621.833

Построение огибающей поверхности кулачка методом винтового дифференциального комплекса

В.И. Лебедев

Определение огибающей поверхности при заданной огибаемой поверхности и их относительном движении звеньев может быть решено хорошо известными в настоящее время методами дифференциальной геометрии. Кинематическая интерпретация теоремы зацепления, утверждающая, что относительная скорость скольжения звеньев должна лежать в общей касательной плоскости контактирующих поверхностей, предложенная и внедрённая в практику расчёта зубчатых зацеплений Ф.Л. Литвиным [1], повсеместно используется для построения сопряжённых профилей. Решение задачи построения огибающей поверхности, приведено в работе Х.И. Гохмана [2], в которой используется в неявном виде винт относительного движения. Кинематическая теория винта относительного движения использована также Н.И. Колчиным [3, 4] применительно к плоским и пространственным зацеплениям.

Суть метода, предложенного Н.И. Колчиным, сводится к тому, что любое относительное движение двух звеньев, оси которых не параллельны и не пересекаются в пространстве, представляется мгновенным винтовым движением, состоящим из вращения вокруг мгновенной оси и поступательного движения вдоль этой оси с относительной скоростью. Условием сопряжения поверхностей двух звеньев является касание бесконечно малого элемента исходной производящей поверхности и дифференциального элемента мгновенной винтовой линии относительного движения. Иначе говоря, из бесконечного множества точек производящей поверхности в качестве контактных точек нужно отобрать только те, в которых эта поверхность касается мгновенной винтовой линии. Условие контакта, т.е. касание этих элементов, представляет собой уравнение зацепления.

Расчёт координат поверхности кулачка, образуемой при обработке инструментом (фрезой), является частным случаем задачи зацепления. Решение этой задачи состоит в нахождении контактных линий на поверхности инструмента (ролика или фрезы), которые затем переписываются в систему координат, связанную с кулачком. Полученное уравнение семейства контактных линий и представляет собой искомое уравнение поверхности кулачка. При этом следует заметить, что собственное вращение инструмента (пальцевой фрезы) является движением резания и не сказывается на форме образования поверхности кулачка. Поэтому при нахождении контактной линии, движение инструмента, связанное с процессом резания не учитывается.

Схема кулачкового механизма с роликовым толкателем представлена на рис. 1.

Закон движения толкателя считается заданным. Известными являются также конструктивные размеры кулачка, такие как: r₀ - радиус начальной шайбы; e - эксцентриситет кулачка. На рисунке также представлены системы координат S₀, S₁, S₂, имеющие начало в точках О₁ и О₂.

Система S₁(x₁,y₁,z₁) связана с роликом толкателя (инструментом), ось О₁z₁ направлена вдоль оси ролика. Система S₀(x₀,y₀,z₀) - неподвижная, ось O₂z₀ совпадает с осью кулачка. Система S₂(x₂,y₂,z₂) связана с кулачком, ось О₂z₂ совпадает с осью вращения кулачка, (на рисунке оси, направленные перпендикулярно плоскости чертежа, не указаны). Угол поворота кулачка - ₂, осевое смещение начала системы координат S₁ относительно системы S₀ обозначено через е (эксцентриситет), r₀ и r_p - соответственно радиусы начальной шайбы кулачка и ролика. Вертикальное смещение системы S₁ относительно неподвижной системы задано функцией положения толкателя S(₂)+S₀=П(₂).

Уравнение производящей поверхности, изображённой на рис. 1, имеет вид:

x₁=r_p sinv, y₁= - r_p cosv, z₁= - u,

где u, v - независимые параметры производящей поверхности инструмента, для плоского кулачка примем u=0; rp - радиус ролика-инструмента.

Рис. 1

Рис. 2

При этом заметим, что параметр v соответствует текущему углу давления в кулачковом механизме (v[v], где [v]-допускаемое значение угла давления).

Переход от системы координат S₁ к системе S₂ запишем в виде матричного произведения

r⁽²⁾=H₂₁r⁽¹⁾=H ₂₀ H₀₁ r⁽¹⁾ ,

где r⁽²⁾ и r⁽¹⁾ - столбцовые матрицы векторов координат одной и той же точки в системах координат S₂ и S₁; H₂₀ и H₀₁-соответственно квадратные матрицы перехода от систем S₀ к S₂ и от S₁ к S₀,

H₂₀=, H₀₁=,

Здесь: и - квадратные матрицы размерностью 33, отображающие поворот систем координат, соответственно S₀ относительно S₂ и S₁ относительно S₀, и - столбцовые матрицы координат точек О и О₁ в системах координат S₂ и S₀.

Перемножая матрицы перехода, получим матрицу преобразования координат от системы S₁ к системе S₂:

H₂₁=.

Обратная матрица H₂₁^-1=H₁₂ перехода от S₂ к S₁ равна

H₁₂=.

Осуществляя прямое и обратное преобразование координат, запишем координаты поверхности кулачка соответственно в системах S₂ и S₁.

x₂ = x₁ cos₂+y₁ sin₂+e cos₂+Пsin₂ ,

y₂ = -x₁ sin₂+y₁ cos₂ - e sin₂+Пcos₂,

и

x₁= x₂ cos₂ -y₂ sin₂ - e,

y₁= x₂ sin₂+y₂ cos₂ - П

Чтобы получить уравнение зацепления, продифференцируем выражение (4) по параметру ₂ при постоянных координатах x₂,y₂=const.

Заменяя при этом проекции элементарных перемещений их относительными значениями, получим:

dx₁=dx₁₂= (-x₂ sin₂-y₂ cos₂)d₂,

dy₁=dy₁₂= (x₂cos₂-y₂ sin₂ - )d₂, (=?П/?₂).

Подставляя в последнее выражение (3) и выполняя необходимые преобразования, получим:

dx₁₂=(-y1-П)d₂,

dy₁₂=(x₁+e-)d₂.

Продифференцировав уравнение производящей поверхности (1) по параметру v, получим уравнение проекций элементарных перемещений dx₁ и dy₁ контактной точки по производящей поверхности.

cosv dy₁ - sinv dx₁=0,

где dx₁ и dy₁ - проекции элементарных перемещений контактной точки по производящей поверхности.

Заменим в последнем выражении дифференциалы элементарных перемещений dx₁,dy₁ пропорциональными им значениями относительных элементарных перемещений dx₁₂, dy₁₂ из (6). Затем, выражая уравнение производящей поверхности (1) через параметр v, получим уравнение зацепления в виде:

Пsinv +(e-)cosv = 0

Или

tgv = (- e)/ П, v ? [v]

Полученное уравнение зацепления выражает связь параметров v и ₂ , поскольку П=П(₂).Это уравнение совместно с уравнением производящей поверхности (1) представляет собой уравнение контактных линий.

Профиль кулачка может быть получен, если к уравнению производящей поверхности, записанной в системе кулачка S₂ ,добавить уравнение зацепления. Решая совместно систему уравнений, получим координаты профиля кулачка в системе самого кулачка. Перепишем для этого уравнение производящей поверхности (1) в систему S₂ , воспользовавшись формулами перехода (3). После несложных преобразований будем иметь:

x₂ = r_p sin(v-₂)+e cos₂ +П sin₂ ,

y₂ = -r_p cos(v-₂) -e sin₂ +П cos₂

Задаваясь значениями параметра ₂, находим П=П(₂) и v , после чего определяем координаты поверхности профиля кулачка.

Координаты теоретического профиля кулачка (центра ролика) получим, если в выражении (10) положить r_p=0:

x₂^т= e cos₂ +П sin₂,

y₂^т= - e sin₂ +П cos_2..

Рассмотрим кулачок с плоским поступательно движущимся толкателем (рис. 2). Уравнение производящей поверхности для него в параметрической форме имеет вид:

x₁ = u,

y₁ = 0,

где u - параметр поверхности.

Координаты поверхности кулачка в системе S₂, связанной с самим кулачком, запишем в виде

x₂ = x₁ cos₂+y₁ sin₂+П sin₂,

y₂ = -x₁ sin₂+y₁ cos₂+П cos₂,

Пользуясь матрицей обратного преобразования H₁₂, перепишем поверхность кулачка в систему S₁, связанную с толкателем (инструментом):

x₁= x₂ cos₂-y₂ sin₂,

y₁= x₂ sin₂+y₂ cos₂-a.

Продифференцируем (14) по параметру ₂, при постоянных значениях x₂,y₂ , получим

dx₁=dx₁₂=(-x₂ sin₂-y₂ cos₂)d₂,

dy₁=dy₁₂=(x₂ cos₂-y₂ sin₂-)d₂ .

Подставляя x₂,y₂ из выражения (13), получим уравнение винтового дифференциального комплекса в виде:

dx₁₂= - (y₁+П)d₂,

dy₁₂=(x₁-)d₂.

Здесь dx₁₂ и dy₁₂ являются проекциями относительного перемещения поверхности кулачка на оси координат производящей поверхности S₁.

Учитывая, что y₁ = 0, получим

dx₁₂= -П d₂,

dy₁₂=(x₁-)d₂=(u-)d₂,

u=x₁=.

Последнее уравнение является уравнением зацепления. Переписывая координаты контактной точки в систему кулачка, получим координаты его профиля.

x₂= cos₂+П sin₂,

y₂= - sin₂+П cos₂

Пользуясь аналогичной методикой, можно рассчитать координаты профиля кулачков с качающимся роликовым и с плоским толкателем.

огибание кулачковый винтовой

Список литературы

1. Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. - М.: Физматгиз, 1968.

2. Гохман Х.И. Теория зацепления, обобщенная и развитая путём анализа. - Одесса,1886.

3. Колчин Н.И. Аналитический расчёт плоских и пространственных зацеплений. - М.: Машгиз, 1949.

4. Колчин Н.И. Метод винтового комплекса в теории пространственных зацеплений. Труды третьего совещания по основным проблемам ТММ. Теория передач в машинах. - М.: Машгиз, 1963.

5. Колчин Н.И. Об осях зацепления в пространственных зацеплениях. Труды ЛПИ. №4. - Л.: Машиностроение, 1951.

6. Елисеев В.В., Евграфов А.Н., Семёнов Ю.А. Метод огибания в теории зацепления. // Теория механизмов и машин. 2004. №1 (3). Том 2. С.42-50.

Размещено на Allbest.ru