О структурном синтезе передаточных механизмов

б - семизвенный передаточный механизм

Определяются координаты точки 1(,,):

1 = -R1· sinб; 1 = 0; 1 = R1· cosб.

Вычисляются координаты точки 1(x,y,z):

x1 = xA + l11 + l21;

y1 = yA + m11 + m21;

z1 = zA + n11 + n21.

Положение точки 3 находится решением системы уравнений

(x-x1)2 + (y-y1)2 + (z-z1)2 = (1,3)2 ;

la (x-xA) + ma (y-yA) + na (z-zA) = 0;

lb (x-x1) + mb (y-y1) + nb (z-z1) = 0.

Здесь первое уравнение описывает сферу с центром в точке 1 и радиусом 1, 3, второе - плоскость П1, третье - плоскость П2.

Для решения системы (6) целесообразно воспользоваться формулами (14) ч (18), приведенными в работе [1].

Координаты точки 2 вычисляются по формулам

l1,3 = (x3 - x1) : (1,3); l1,4 = ma n1,3 - na m1,3;

m1,3 = (y3 - y1) : (1,3); m1,4 = na l1,3 - la n1,3;

n1,3 = (z3 - z1) : (1,3); n1,4 = la m1,3 - ma l1,3;

x2 = x1 + l1,3 x'2 + l1,4 y'2;

y2 = y1 + m1,3 x'2 + m1,4 y'2;

z2 = z1 + n1,3 x'2 + n1,4 y'2 .

Здесь l1,3; m1,3; n1,3 и l1,4; m1,4; n1,4 - направляющие косинусы локальной системы 1x'y'z' (см. рис. 1, а).

За вторую обобщенную координату системы можно принять величину перемещения точки 4 вдоль линии L3. Если положить (условно) расстояние между точками 3 и 4 постоянным в процессе перемещения фигур I и II, то положение точки 4 можно вычислить по формулам

x4 = x3 - l1 (3,4);

y4 = y3 - m1 (3,4);

z4 = z3 - n1 (3,4).

Вычисляются координаты точек 5, 6 фигуры II. Определяются направляющие косинусы вектора 4В (l3, m3, n3):

X3 = xB - x4; l3 = X3 : Д 3;

Y3 = yB - y4; m3 = Y3 : Д 3;

Z3 = zB - z4; n3 = Z3 : Д 3.

Д3 = .

Вычисляются величины отрезка 4, 7 из прямоугольных треугольников 6, 7, 4 и 6 , 7, В (см. рис. 1, а).

x7 = x4 + l3 (4,7);

y7 = y4 + m3 (4,7);

z7 = z4 + n3 (4,7).

Положение точки 6 определяется решением системы уравнений

(x-xВ)2 + (y-yВ)2 + (z-zВ)2 = ;

lb (x-xB) + mb (y-yB) + nb (z-zB) = 0;

l3 (x-x7) + m3 (y-y7) + n3 (z-z7) = 0.

Система (12) решается с помощью формул (14) ч (18) [1].

Координаты точки 5 определяются с помощью формул преобразования систем 4 и Оxyz (см. рис. 1, а). Вначале находятся направляющие косинусы осей 4(l4, m4, n4) и 4 (l5, m5, n5):

l5 = (x6 - x4) : (4,6); l4 = m5 nb - n5 mb;

m5 = (y6 - y4) : (4,6);

m4 = n5 lb - l5 nb;

n5 = (z6 - z4) : (4,6); n4 = l5 mb - m5 lb.

x5 = x4 + l45 + l55 ;

y5 = y4 + m45 + m55;

z5 = z4 + n45 + n55.

Первоначальное предположение постоянства расстояний между точками 3 и 4 во время перемещения фигур I и II возможно реализовать введением фигуры III, представляющей скрещивающиеся линии L7 и L8, жестко связанные общим перпендикуляром L6 (см. рис. 1, а) Угол между линиями принимается равным в, передаточный механизм кинематический машина

cos в = la lb + ma mb + na nb.

Длина перпендикуляра L6 принимается равным расстоянию (3, 4). Эта величина считается известной.

Присоединение фигуры III заключается в совмещении линии L6 с отрезком (3, 4), линии L7 - с линией L4 и линии L8 - с линией L5.

Из рис. 1, а следует, что во время перемещения фигур I и II фигура III будет совершать возвратно-поступательное движение вдоль линии L3, перемещаясь при этом по плоскостям П1 и П2.

На рис. 1, б показана кинематическая схема передаточного механизма, построенная на основе геометрической системы.

Если за обобщенную координату принять величину перемещения ползуна III вдоль линии L3, то возможно преобразовать поступательное движение одновременно в два вращательных движения.

Если через линию L3 провести дополнительно плоскость П3, П4… Пn, то возможно число преобразований увеличить в несколько раз.

На рис. 2, а представлен частный случай геометрической системы, где расстояние между точками 3 и 4 равно нулю. Степень подвижности вновь полученной системы равна:

УS = 2(1, L1) + 1(2, П1) + 2(3, L3) + 3(3, 4) + 1(5, П2) + 2(6, L2) = 11,

W = 6 • n - УS = 6 • 2 - 11 = 1.

В рассматриваемом примере фигура III будет представлять пересекающиеся линии L7 и L8 с углом в между ними.

На рис. 2, б показан частный случай кинематической схемы передаточного механизма.

Из формулы (17) следует, что соприкосновение фигур I и II в точках 3, 4 образует трехподвижное соединение. В этом случае связь фигур I и II возможно осуществить присоединением к линиям 2, 3 и 4, 6 системы из подвижных фигур Q и F, показанной на рис.10 работы [1]. Основу вновь полученной системы (рис. 3, а) составляют соприкасающиеся фигуры I и II. Положения точек фигур однозначно определяются формулами (2)ч(8) и (10)ч(15). Присоединение фигур Q и F к системе приведет к возникновению пассивных связей, поскольку они не оказывают влияния на траектории перемещений фигур I и II (на рис. 3, а фигуры с пассивными связями показаны пунктирными линиями). Следовательно, степень подвижности системы, вычисленная по (17) остается прежней.

На основе геометрической системы построена кинематическая схема семизвенного передаточного механизма (рис. 3, б). Построение механизма следует выполнять с соблюдением условия:

вmax ? дmax,

где в - угол между линиями L4 и L5, д - угол между линиями 2, 3 и 4, 6.

Степень подвижности механизмов определяется по известной формуле [3]:

W = 6 • n - 5Р5 = 6 • 6 - 5•7 = 1.

Трехподвижное соединение фигур I и II (см. рис. 3, а) возможно представить эквивалентной сферической парой. На основе такого соединения строится новая кинематическая схема передаточного механизма (рис. 4). Степень подвижности механизма равна:

W = 6 • n - 5Р5 - 3Р3 = 6 • 4 - 5 • 4 - 3 • 1 = 1.

Рис. 4. Передаточный механизм со сферической парой

Рис. 5, а - геометрическая система; б - передаточный механизм с поступательной парой

Рис. 9, а - геометрическая система; б - передаточный механизм с цилиндрической парой

Определяются направляющие косинусы осей Т(l9, m9, n9) и Т(l10, m10, n10):

X9 = xК - xT; l9 = X9 : Д 9; l10 = m9 na - n9 ma;

Y9 = yК - yT; m9 = Y9 : Д 9; m10 = n9 la - l9 na;

Z9 = zК - zT; n9 = Z9 : Д 9; n10 = l9 ma - m9 la.

Д9 = .

Здесь точка K - проекция точки В на плоскость П.

Приняв за обобщенную координату угол б поворота точки 1 вокруг точки А, можно вычислить координаты точки 1 по (2) ч (5). Положение точки 3 определяется решением системы уравнений

здесь г - угол между ортом и плоскостью П,

.

Положение точки 2 вычисляется по (7) ч (8).

К фигуре I и образующей цилиндра можно присоединить фигуру II, представляющую собой пересекающиеся под углом в линии L4 и L5. в - угол между ортами и . Значение угла определяется по (16). В процессе присоединения линию L4 совмещают с линией L3, линию L5 - с образующей цилиндра. Фигура II будет обладать пассивной связью, т.к. ее присоединение не оказывает влияние на траекторию движения фигуры I.

На основе геометрической системы строится схема передаточного механизма с цилиндрической парой (рис. 9, б).

Из рассмотренных примеров можно сделать выводы: 1) передачу вращательного движения между произвольно расположенными в пространстве скрещивающимися осями возможно выполнить механизмами, представляющими совокупность плоских механизмов с общим (пространственным) звеном. 2) Если механизмы, показанные на рис. 1, б, рис. 2, б и рис. 4 выполнить симметричными (аналогично рис. 18 [1]), то возможно построить механизмы передачи равных угловых скоростей.

Рассмотренные в работе механизмы для наглядности представлены на рис. 10 совокупностью плоских схем с общим (пространственным) звеном. Механизм, показанный на рис. 10, з получен заменой шатунов II и IV (см. рис. 10, а) на ползуны II и IV.