О рамках специальности "Теория механизмов и машин"

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

60

http://tmm.spbstu.ru

УДК 681.5

О РАМКАХ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН»

В.В. ЕЛИСЕЕВ

Существует известный перечень специальностей со своим регламентом, например, для защиты диссертаций. Его необходимое обновление иногда отстает от реальности, и это может быть предметом полезных дискуссий. Рамки специальностей подвижны. Эволюция каждой специальности происходит не только от внутренних факторов (успехи учёных специальности), но и от внешних. Таким внешним фактором явилась, например, компьютерная «революция» - она повлияла на все специальности.

Механика занимает особое место среди всех наук. За свою трёхвековую историю (от Ньютона) она достигла высочайшего совершенства. Её математический аппарат необычайно эффективен, а практические приложения повсеместны. И она занимает достойное место в основаниях физики.

Важно отметить методическое совершенство современной механики. Она стала весьма доступной для освоения - об этом свидетельствует опыт преподавания. Если десятилетия назад некоторые разделы механики требовали многолетней концентрации, то теперь профессионализм достижим за месяцы. тензор механика лагранжевый упругость

Механика является, по мнению автора, основой теории механизмов и машин (ТММ). Успехи механики необходимо использовать в ТММ. Подчеркнём, что речь идет о теории, а не практике конструирования и эксплуатации.

С ТММ «перекликаются», в частности, специальности «Динамика и прочность машин» и «Механика деформируемого твердого тела». Именно перекликаются - но не близки. Последнее автор считает недоразумением. У трех указанных специальностей общие основы: законы механики, аппарат математического моделирования и связь с потребностями практики (машиностроение, приборостроение, аэрокосмическая техника и др.). Объективной причиной сближения специальностей является прогресс механики. Он должен расширить рамки ТММ. Это видно, например, по книге [1].

Для современной механики характерен конструктивный формализм. Ситуация напоминает появление текстового редактора Word. Имеем большее, чем просто форму записи уравнений: формализм «работает», облегчает математическое моделирование и страхует от ошибок. Для моделирования в механике мало дифференциального и интегрального исчисления; необходимо владение векторами в широком смысле и аппаратом вариационного исчисления.

Отметим четыре характерных особенности современной технической механики.

1. Использование векторов и тензоров. Действия с векторами () общеизвестны: умножение на число (), сложение (), скалярное () и векторное () умножения. Очень часто векторы разлагают по ортам декартовой системы координат: - с правилом суммирования по повторяющемуся индексу. И нередко забывают о подчёркнутом равенстве, ошибочно отождествляя вектор (как инвариантный объект) с его компонентами. Простое использование подчеркнутого равенства характерно для вышеупомянутого конструктивного формализма; например, производная по времени , поскольку для ортов при угловой скорости вращения . В действиях с несколькими векторами можно разлагать каждый в любом базисе, не связываясь с матрицами перехода. Не очень удачно известное предложение с матрицами перехода четвертого порядка.

Выражение без знака скалярного или векторного умножения означает объект, которого многие старательно избегают - тензор (второго ранга). В общем случае тензор представляется в виде (не отождествлять с матрицей компонент). В современной механике тензоры необходимы. Рассмотрим момент импульса вращающегося тела с неподвижной точкой:

Здесь - радиус-вектор, - тензор инерции, - единичный тензор. Если инерция тела при поступательном движении характеризуется скаляром (масса), то при вращении - тензором.

Уравнения динамики тела с неподвижной точкой:

( - момент внешних сил) - такая форма уравнений пока малоизвестна.

Другой пример - сила реакции линейно-упругого амортизатора: , где - тензор жёсткости, - перемещение точки крепления.

О тензорах написано много книг; предельно сокращённое изложение - в книге [2].

2. Лагранжева механика. Упрощённо можно выделить следующие четыре уровня в механике: Ньютона, Эйлера, Лагранжа и Гамильтона. Первый - это динамика точки. Для второго характерна динамика твердого тела с законами баланса импульса и момента импульса. Третий - механика несвободной, вообще говоря, системы с понятиями связей, обобщённых координат и сил. На четвёртом используются канонические уравнения и преобразования с вариационным принципом Гамильтона.

Необходимым и достаточным для ТММ представляется уровень Лагранжа. Это осознаётся многими специалистами - но (к сожалению) не всеми. По Эйлеру, движущей силой для автомобиля является трение на ведущих колёсах; по Лагранжу - давление в цилиндрах двигателя. Оба представления верны, но эффективность лагранжевой механики намного выше. Трудно найти в истории науки фигуру крупнее Эйлера, но ведь Лагранж на 30 лет моложе…

Основы лагранжевой механики компактны. Сначала определяются степени свободы и обобщённые координаты . Затем находятся обобщённые силы - из выражения виртуальной работы . Далее вычисляется кинетическая энергия и записываются уравнения Лагранжа второго рода. Разумеется, это не всё: уравнения первого рода тоже по-своему эффективны.

Необходимо подчеркнуть два обстоятельства. Во-первых, все силы рассматриваются как обобщённые и определяются виртуальной работой. Во-вторых, оказывается необходимым понятие вариации как задаваемого нами бесконечно малого приращения, совместимого с ограничениями-связями. В основе лагранжевой механики лежит дифференциальный вариационный принцип виртуальной работы:

Эффективность вариационных постановок, в частности, в том, что из одного вариационного уравнения следует столько обычных уравнений, сколько есть независимых вариаций.

При лагранжевом подходе меняется и статика - она не сводится к уравнениям сил и моментов. В положении равновесия имеем просто . При наличии потенциальных сил это дает известную теорему Лагранжа; обратив ее преобразованием Лежандра, придем к теореме Кастильяно [2].

Представим себе плоский кривошипно-шатунный механизм. Он имеет одну степень свободы; нетрудно составить выражение кинетической энергии и записать уравнение Лагранжа. Но этого недостаточно при быстроменяющейся нагрузке и изгибной податливости кривошипа и шатуна. Изгиб можно учесть в рамках лагранжевой механики, вводя дополнительные степени свободы с аппроксимацией изгибной формы хотя бы по параболе. В обобщённых силах появятся производные энергии деформации , где - сумма двух интегралов по длине балки (из курсов сопротивления материалов).

В ТММ используются и другие элементы аналитической механики - уравнения Лагранжа первого рода (с множителями) и уравнения Аппеля (с квазикоординатами) для неголономных систем [1]. Они также опираются на принцип виртуальной работы.

3. Механика деформируемого тела. Есть кинематический анализ механизмов и силовой анализ. Не рассматривая деформации, силы можно определить только для статически определимых систем - это во-первых. А во-вторых, силы в механике (контактные реакции и др.) возникают лишь от деформации [3]. В абсолютно твердых телах внутренние силы определить невозможно. Деформации иногда рассматриваются в работах по ТММ - но без должного профессионализма. Представлений сопротивления материалов недостаточно, и некоторые специалисты обращаются к компьютерным программам (ANSYS и др.).

Желательно представлять себе систему уравнений классической теории упругости:

где - оператор Гамильтона, - тензор напряжений, - вектор объёмных сил, - плотность, - вектор перемещений, - энергия деформации (на единицу объёма), - тензор деформации, - тензор жесткости материала (четвертого ранга). Без тензорного аппарата в (4) получим систему пятнадцатого порядка…

Уравнения (4) с естественными граничными условиями можно вывести опять-таки из принципа виртуальной работы:

( - объём тела с границей , - вектор поверхностных нагрузок). Эта вариационная постановка позволяет строить как вычислительные алгоритмы (метод конечных элементов), так и модели меньшей размерности - стержни, пластины и оболочки [2].

Представим себе передачу с гибкой связью - цепную или ременную. Обычно полагают связь нерастяжимой; но тогда не найти силу натяжения и не выявить концентрацию сил на концах участков контакта и скачки скорости в этих точках.

4. Асимптотические методы. Аналитические решения удаётся найти лишь для идеализированных упрощённых постановок. В остальных же случаях пытаются строить (не вполне корректно) приближённые решения - или используют численные методы.

Но есть возможность корректно и эффективно расширить область аналитических решений - это асимптотические методы. Рассматривается задача с малым параметром (малые изменения параметров, формы, нагрузок и др.). Решение часто ищется в виде ряда по степеням , процесс состоит из нескольких шагов. Главный член ряда может определиться на первом шаге, второй шаг позволит найти поправку - однако такой подход нередко оказывается неприемлемым.

Первый шаг может дать бесконечно много решений - семейство. Второй шаг необходим для определения главного члена, а не нахождения малой поправки. Такая схема более характерна для разнообразных асимптотических методов [4].

Как иллюстрацию рассмотрим линейную алгебраическую систему с вырождающейся симметричной матрицей:. Решение может иметь вид

На первом шаге имеем семейство решений , где произвольны (пока), а - независимые решения однородной системы . Задача для на втором шаге разрешима лишь при условии

Это линейная алгебраическая система для .

Подобная методика с условиями разрешимости используется в теории линейных и нелинейных колебаний - как свободных, так и вынужденных (метод Пуанкаре) [2,4].

Указанные четыре направления очень хорошо развиты и «доступны для пользователя». Сторониться их в работах по ТММ нет оснований.

Список литературы