Метод формирования динамической модели гидропередачи

Динамика машин

Размещено на http://www.allbest.ru/

62

http://tmm.spbstu.ru

МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГИДРОПЕРЕДАЧИ

П.А. АНДРИЕНКО

1. Система уравнений, описывающих гидропередачу

Составим уравнения, описывающие поведение системы, включающей насос, трубопровод и гидроцилиндр. Будем учитывать массы звеньев, приводимых в движение гидроприводом, податливость рабочей жидкости и потери напора. Расчетная схема гидросистемы приведена на рис. 1.

Рис. 1 Расчетная схема гидросистемы

Для этого запишем систему уравнений, описывающих движение поршня, а также потери давления (напора) по длине трубы и потери на внезапное расширение при выходе из трубы в цилиндр:

где m - приведенная масса подвижных частей машины, x - перемещение поршня гидроцилиндра, S₂ - площадь поперечного сечения полости гидроцилиндра, p₃ - давление в полости гидроцилиндра, p₀ - отношение всех внешних сил, действующих на поршень, к площади S₂, , p₁ и p₂ - давления на насосе и в конце трубопровода соответственно, Q₁ - объемный расход насоса, Q₂ - объемный расход на входе в цилиндр, - коэффициент потерь давления по трубе, , - коэффициент потерь при внезапном расширении.

1.1 Учет сжимаемости рабочей жидкости и газожидкостной смеси

Дополним записанные выше равенства уравнениями, учитывающими сжимаемость жидкости. Рассмотрим для этого движение цилиндра жидкости с площадью основания S, равной площади трубы, и бесконечно малой высотой dx_тр (рис. 2).

Рис. 2 Деформация жидкости

Если принять за dy удлинение этого цилиндра жидкости, а за x_тр - координату точки трубы, соответствующей рассматриваемому сечению, то тогда объемная деформация цилиндра определится выражением

В свою очередь, учитывая связь между деформацией и давлением, имеем

где - модуль объемной упругости жидкости, p - приращение давления на участке трубы (знак определяется из физических соображений на каждом этапе).

Продифференцировав выражения (2) и (3) по времени, получим

где dQ_сж - расход, пошедший на сжатие жидкости в объеме Sdx_тр. Проинтегрировав (4) по x_тр с учетом , получим

Тогда учет сжимаемости жидкости в трубопроводе и в гидроцилиндре даст уравнения:

где - потери расхода на сжатие жидкости в цилиндре, - потери расхода на сжатие жидкости в трубопроводе, x - координата поршня, , - коэффициенты податливости рабочей жидкости и стенок в трубопроводе и в полости гидроцилиндра соответственно, V_т - объем трубопровода, x₀ - начальное положение поршня, - текущий объем гидроцилиндра, Е_т - приведенный модуль объемной упругости жидкости, учитывающий упругие свойства гидролинии. В статье [1] показано, что можно полагать . Аналогично можно полагать, что приведенный модуль объемной упругости гидроцилиндра . В силу этого в дальнейшем опустим индексы у и .

Вопросы, посвященные изучению упругости смеси жидкости и газа в наиболее часто встречающихся приводах, достаточно хорошо освещены в литературе [3], [8] и др. Показано, что уже при давлении в системе 50 атм значения модулей объемной упругости смеси и жидкости становятся близкими, а в интервале давления от 1 до 200 атм модуль объемной упругости Е_ж изменяется мало [7], [8]. Учитывая это, можно говорить, что обычно рабочее давление в гидросистеме изменяет плотность жидкости не более чем на 1-2 %.

1.2 Учет внутреннего трения рабочей жидкости

Введем в рассмотрение жесткости трубопровода и гидроцилиндра:

Представим их в комплексном виде согласно [9], учитывая внутреннее трение в жидкости:

где ш - коэффициент объемного демпфирования или время релаксации при постоянном давлении [8, стр. 29], s - переменная Лапласа (в [1] показано, что для минерального масла И20 ш = 0,007 с).

Дополним систему уравнений (1) уравнениями, учитывающими потери напора по трубе и на внезапное расширение, заменив вещественные податливости на комплексные и дополнив ее уравнением неразрывности струи (насос будем полагать идеальным источником расхода):

Эквивалентная механическая схема, соответствующая системе уравнений (7), приведена на рис. 3.

Рис. 3 Эквивалентная схема гидросистемы

Линеаризуем полученную систему уравнений (7) в окрестности Q₁. Для этого представим потери давления по трубе и при внезапном расширении в виде

Очевидно, что первое выражение может быть записано в линейной форме , если, а второе при условии

Линеаризовав исходную систему (1) на основании выражения (10), можно привести ее к одному дифференциальному уравнению.

2. Дифференциальное уравнение колебаний линеаризованной системы

Рассмотрим теперь случай, когда расход насоса является заданной функцией времени Q₁(t). Систему (7) можно упростить и привести к следующему уравнению:

Перейдя к новой переменной и преобразуя уравнение (11), получим уравнение вынужденных колебаний поршня:

Преобразовав и сгруппировав в правой части слагаемые, содержащие , можно показать, что отношение значительно меньше единицы. Поэтому уравнение (12) можно привести к виду:

В правой части в скобках стоит сомножитель, представляющий скорость изменения давления при заторможенном поршне (х ? 0) и идеальной кинематической характеристике насоса (). Таким образом, исходная система упростилась до механической аналогии, схема которой приведена на рис. 4.

Рис. 4 Эквивалентная схема гидропередачи

Полученная модель является одной из простейших, используемых в теории механизмов и машин. Она отличается физической наглядностью происходящих процессов и отличается легкостью исследования. Поэтому представляется важным получение подобной гидромеханической аналогии гидросистемы при исследовании машин с гидроприводом. Как правило, необходимо отказываться от учета потерь напора, так как они не оказывают существенного влияния на колебательные процессы в гидропередаче, а диссипативные свойства жидкости требуется учитывать.

Если не удается сразу представить адекватную динамическую модель системы в дискретном виде, то наиболее правильным является первоначальное изучение свойств континуальной модели. Естественно, это вызывает трудности, связанные с учетом упругих и инерционных свойств жидкости.

3. Продольные колебания жидкости в трубе

Традиционно для описания гидролиний используют уравнения возмущенного движения жидкости в трубе и уравнение неразрывности сжимаемой жидкости.

В [6, стр. 186] приведено уравнение колебаний сжимаемой жидкости в длинной прямой трубе в безразмерном виде (см. рис 5):

где - число Маха; , , , v₀ - скорость жидкости в невозмущенном потоке, c_зв - скорость звука в невозмущенном потоке, l - длина трубы, - малые колебания скорости жидкости.

Рис. 5 Продольные колебания жидкости в прямой трубе

Это уравнение получено для длинной трубы (диаметр которой мал по сравнению с ее длиной). При этом считалось, что динамические процессы на концах трубы описываются теми же уравнениями, что и процессы в самой трубе. Не учитывалось и трение в жидкости и жидкости о стенки. Рассматривались лишь низкочастотные колебания.

Очевидно, что в диапазоне величин расхода до 1500 л/мин число Маха значительно меньше единицы, что сводит задачу гидравлики к рассмотрению колебаний стержня с грузом на конце. Рассмотрим гидроцилиндр с поршнем массой m. Для случая неподвижной жидкости (v₀ = 0) задача сводится к рассмотрению продольных колебаний стержня с грузом на конце.

Решение этой задачи хорошо известно [2], [6] и сводится к трансцендентному уравнению вида

где м - отношение массы сосредоточенного груза к массе стержня, , - частота свободных колебаний.

По аналогии с колебаниями стержня [2] можно рассмотреть колебания объема жидкости в трубе. Уравнение колебаний сводится к виду:

где . Для его решения воспользуемся методом Фурье. Представим y(x_тр, t) в виде

Рассмотрим частное решение, опустив индексы. Тогда , . Подставив их в (16), получим два дифференциальных уравнения со следующими решениями:

Для определения констант можно воспользоваться начальными и граничными условиями.

Рассмотрим систему, состоящую из гидроцилиндра с присоединенным к нему участком трубы (рис. 6). Пусть объем в гидроцилиндре значительно меньше объема трубы, то есть рабочая жидкость в гидроцилиндре не проявляет своих упруго-инерционных свойств.

Рис. 6 К исследованию упругих колебаний жидкости в трубе

Очевидно, что y(0, t) = 0 выполняется при X(0) = 0, тогда из (18) A = 0. Откуда

Запишем граничное условие на правом конце. Так как из равенства расходов следует, что , то

Тогда

Подставив в это выражение (18) и (19), получим частотное уравнение

Выразим собственную частоту колебаний через длину волны л:

Обозначим безразмерную длину волны через :

Оценим длину волны, соответствующую низшей собственной частоте. В [4], [5] обосновано следующее предположение: при вычислении динамических ошибок можно считать, что колебания системы происходят по первой форме. Связано это прежде всего с тем, что продолжительность разгона обычно во много раз больше первого периода свободных колебаний системы. Кроме того, высокочастотные колебания, если и возникают, то затухают гораздо быстрее, чем низкочастотные. В случае же установившегося нерезонансного циклического движения машины в первом приближении ролью диссипации в динамической ошибке можно пренебречь. Очевидно, что при г >> 1:

Можно считать, что при г > 15 форма колебаний (21) практически неотличима от линейной

а, значит, давление практически не зависит от x_тр. На основании этого можно говорить об отсутствии влияния инерционных свойств рабочей жидкости на давление практически для любой гидролинии.

Рассмотрим теперь трубу, состоящую из двух участков различного диаметра (рис. 7).

Рис. 7 Трубопровод с переменным сечением

Из равенства (4), предполагая независимость p, E и S от x_тр, имеем для каждого участка:

Учитывая, что , получим равные производные от скорости сжатия на разных участках

но . Следовательно, , что соответствует (25). Таким образом, форма продольных колебаний жидкости в трубе с переменным сечением остается линейной.

4. Приведение податливостей и коэффициентов диссипации

Оценим теперь статическую податливость системы, показанной на рис. 6. При выключенном насосе перемещение поршня x определяется изменением объема V, которое складывается из изменения объема жидкости в трубе V₁ и цилиндре V₂:

жидкость движение труба диссипация

Учитывая связь между изменением давления и объемной деформацией

можно записать

где F - сила, приложенная к поршню.

Отсюда получим выражение для податливости системы:

Очевидно, что для гидролинии с последовательным соединением труб

где - приведенная к поршню податливость участка i. Заметим, что эта же формула справедлива и для параллельного соединения труб. Действительно,

Следовательно, равенство (31) не зависит от вида соединений труб.

Итак, податливость системы определяется выражением

Определим приведенные коэффициенты диссипации. Учитывая комплексный характер выражения жесткости системы (6), получим

где - коэффициент диссипации.

Из (32) имеем

Если перейти к обратным величинам, то

где .

Из выражения (35) видно, что с ростом объема участка трубы уменьшаются потери на внутреннее трение в нем. Это связано с принятием гипотезы Е.С. Сорокина, см (33), из которой следует, что с уменьшением жесткости уменьшается и внутреннее трение.

Все приведенные расчеты доказывают, что для рассматриваемых машин динамическая характеристика гидропривода может быть получена из уравнения (13):

где V - суммарный объем гидросистемы.

Список литературы

1. Андриенко, П.А. О повышении точности измерений диссипативных свойств жидкости на стенде «И1» [Текст] / Андриенко П.А., Терешин В.А. // Теория механизмов и машин: Периодический научно-методический журнал. 2007. №1(9). С. 51-60.

2. Бабаков, И. М. Теория колебаний [Текст]: Учеб. пособие для втузов / Бабаков И. М. 3-е изд., стер. М.: Наука, 1968. 560 с.

3. Башта, Т. М. Машиностроительная гидравлика [Текст]: Справочное пособие / Башта Т. М. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1971. 671 с.

4. Вейц, В.Л. Динамика управляемых машинных агрегатов [Текст] / В.Л. Вейц, М.З. Коловский, А. Е. Кочура. М.: Наука, 1984. 351 с.

5. Динамика машин и управление машинами [Текст]: Справочник / В.К. Асташев, В.И. Бабицкий, И.И. Вульфсон и др.; Под ред. Г.В. Крейнина. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

6. Ильин, М.М. Теория колебаний [Текст]: Учеб. для вузов по направл. в области машиностроения и приборостроения / М.М. Ильин, К.С. Колесников, Ю.С. Саратов; Федеральная целевая программа "Гос. поддержка интеграции высш. образования и фундам. науки"; Под ред. К.С. Колесникова. М.: Изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2001. 271 с.

7. Коробочкин, Б.Л. Динамика гидравлических систем станков [Текст]. М.: Машиностроение, 1976. 240 с.

8. Попов, Д.Н. Гидромеханика [Текст]: Учеб. для вузов по спец. "Гидравлическая, вакуумная и компрессорная техника" / Д.Н. Попов, С.С. Панаиотти, М.В. Рябинин; Федеральная целевая программа "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки"; Под ред. Д.Н. Попова. 2-е изд., стер. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2002. 384 с.

9. Сорокин, Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем [Текст]/ Е. С. Сорокин; Академия строительства и архитектуры СССР. ЦНИИ строительных конструкций. М.: Госстройиздат, 1960. 131 с.

Размещено на Allbest.ru