Компьютерное моделирование динамических эффектов, обусловленных нелинейными диссипативными силами при полигармоническом возбуждении

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 534.1:621.01

Компьютерное моделирование динамических эффектов, обусловленных нелинейными диссипативными силами при полигармоническом возбуждении

И.И. Вульфсон



При решении задач динамики машин сложность и многообразие энергетических потерь при колебаниях существенно затрудняет корректное математическое описание нелинейных диссипативных сил. При этом обычно используются некоторые интегральные характеристики, полученные экспериментально в режиме моногармонических колебаний. Далее полученные таким образом диссипативные параметры, такие как коэффициент рассеяния или логарифмический декремент , дают возможность заменить нелинейную дис-сипативную силу энергетически эквивалентной линейной силой. Такой прием, обычно называемый эквивалентной линеаризацией, соответствует гипотезе Е.С. Сорокина, широко используемой в инженерных расчетах [1]. Однако при неодночастотных колебаниях этот подход может привести к существенным ошибкам как количественного, так и качественного характера. В частности, нередко имеют место не только значительные коррективы резонансных амплитуд при вынужденных колебаниях, но и появление динамических режимов и эффектов, связанных с изменением уровня энергетического барьера, препятствующего их возникновению. диссипативный колебание динамический барьер

Аналитическое исследование проблемы учета нелинейных диссипативных сил при неодночастотном возмущении основано на идее разделения движения. При этом возможно несколько подходов. При первом подходе движение системы рассматривается как совокупность двух движений, а именно, - существенно зависящих от диссипации (например, резонансных) и практически не зависящих от диссипации (например, нерезонансных). Этот подход, базирующийся на методах гармонической или статистической линеаризации, был использован М.З. Коловским применительно к системам с сухим трением [2], а для позиционных гистерезисных сил сопротивления - И.И.Вульфсоном [3,4,5,6] и в дальнейшем получил развитие в совместных работах автора с Х. Дресигом и М.Н. Вульфсон [7,8].

Другой подход, основанный на идеях вибрационной реологии, разработанных И.И. Блехманом, предполагает разделение движений на быстрые и медленные и опре-деление так называемых вибрационных сил, отражающих влияние высокочастотных составляющих возбуждения [9].

В данной статье акцентируется внимание на некоторых характерных эффектах, связанных с рассматриваемой проблемой, и на разработке методов компьютерного моделирования применительно к задачам динамики машин.

2. Влияние дополнительных движений на затухание свободных колебаний

По существу роль диссипативных сил проявляется существенным образом лишь в тех случаях, когда исследуемый режим близок к свободным колебаниям, поэтому на примере этих колебаний удобно проиллюстрировать физическую сторону проблемы. Рассмотрим простую модель, состоящую из упругого элемента с коэффициентом жесткости и массой , перемещающейся по направляющим с абсолютной скоростью , где - скорость переносного движения и относительная скорость, возникающая при свободных колебаниях. При действии силы кулонова трения дифференциальное уравнение движения имеет вид

. (2.1)

При колебания в общем случае могут быть описаны как

,

где - медленно меняющаяся амплитуда, - собственная частота, - начальная фаза.

Отведенная энергия за период равна

. (2.2)

При имеем При этом амплитуда возбуждаемых при ненулевых начальных условиях свободных колебаний убывает по линейному закону, причем эквивалентная линейная сила сопротивления равна , где а коэффициент рассеяния равен

В инженерной практике этот результат нередко ошибочно распространяется на случай Пусть, например, причем Тогда согласно (2.2) на отрезке времени, отвечающем работа, затраченная на преодоление силы трения, равна нулю. Следовательно, если исключить влияние диссипативных сил иной природы, демпфирующими свойствами система обладает только при На рис.1, а приведены полученные компьютерным моделированием графики при (кривая 1) и при (кривая 2). Методика компьютерного моделирования будет рассмотрена ниже.

Рис. 1.



Легко убедиться в том, что, начиная с определенного момента времени, в последнем случае затухание колебаний прекращается. Этому эффекту отвечает незаполненная фазовыми траекториями внутренняя область на фазовом портрете (рис.1, б).

Рассмотрим еще один показательный пример, поясняющий роль кулонова трения как демпфирующего фактора при колебаниях исполнительных органов цикловых механизмов. Пусть где - функция положения выходного звена, - угловая скорость входного звена. При выбранном гармоническом законе ускорений (без выстоев) источником возбуждения свободных сопровождающих колебаний в данном примере являются скачки силы сопротивления в момент смены знака абсолютной скорости выходного звена. Если при учете диссипации пренебречь влиянием переносного движения, то скорость и ускорение ведомого звена имеют вид кривых, показанных на рис. 2, а. Аналогичные кривые при учете энергетических потерь согласно (2.2) отображены на рис. 2, б.

Рис. 2.

Таким образом, имеет место существенное снижение уровня диссипации при дополнительном движении системы по сравнению с моногармоническим. Учет этого эффекта в инженерных расчетах особенно важен при анализе свободных сопровождающих колебаний, возбуждаемых в цикловых механизмах при жестких и мягких ударах, а также при исследовании виброударных режимов, возникающих при перекладке в зазорах. В аналитической форме указанный эффект описан в ряде работ автора (см. выше), в которых предложены уточненные значения диссипативных факторов

(2.3)

Здесь индексом 0 отмечены параметры диссипации (коэффициент рассеяния, логарифмический декремент, сила кулонова трения), соответствующие моногармоническим колебаниям; - коэффициент, зависящий от отношения виброскоростей исследуемого режима и задающей «чужой» гармоники, а также от формы петли гистерезиса.

Как показывает анализ, форма петли гистерезиса относительно мало влияет на функцию , что позволяет для типовых случаев воспользоваться аппроксимирующей зависимостью [8]:

(2.4)

Функции для распространенных типов петель гистерезиса конкретизированы в работах [3,4,6]. При имеем при (Последний результат можно использовать уже при ) Согласно (2.4) при малых значениях функция , т.е. пропорциональна амплитуде колебаний. Тогда, если при моногармоническом режиме коэффициент рассеяния обратно пропорционален амплитуде, то Такая ситуация, в частности, возникает при кулоновым трении, когда Поскольку постоянное значение коэффициента рассеяния свойственно линейной силе сопротивления, в подобных случаях имеет место так называемая вибрационная линеаризация сил трения, с которой связаны специфические эффекты, имеющие много технических приложений. Попутно заметим, что обычно этот динамический эффект связывают только с высокочастотными составляющими возбуждения, в то время как определяющую роль играет соотношение скоростей исследуемого и «чужого» режимов, не зависимо от частотного состава последнего. В частности, как было показано выше, этот эффект наблюдается даже при постоянной скорости дополнительного движения (см. рис. 1).

3. Математическое описание эффективной диссипативной силы при компьютерном моделировании

Математическое описание петли гистерезиса при неодночастотных колебаниях представляет весьма сложную и трудоемкую задачу даже при статической постановке задачи [10] и мало приспособлено к решению практических инженерных задач динамики машин. Впрочем, как уже было отмечено выше, нас интересует не сам контур петли гистерезиса, а ее энергетический эквивалент, определяемый ее эффективной площадью.

Физические предпосылки анализируемого динамического эффекта связаны с возникновением так называемых частных петель гистерезиса, расположенных внутри петли, соответствующей колебаниям с основной частотой. При условии, что эти петли замкнуты, их суммарная площадь пропорциональна работе сил сопротивления, осуществляемой за счет «чужого» движения. При этом эффективная площадь петли гистерезиса для исследуемого режима уменьшается, что проявляется в снижении приведенных диссипативных характеристик. Подчеркнем, что для появления частных петель и реализации исследуемого эффекта скорость обязательно должна менять свой знак на промежуточных участках контура основной петли.

Как уже отмечалось, источником информации о диссипативных свойствах системы является логарифмический декремент или коэффициент рассеяния , полученном при одночастотных колебаниях. С учетом вышеизложенного при компьютерном моделировании уточненная позиционная диссипативная сила , соответствующая единице массы, может быть представлена как

, (3.1)

где - скорость, связанная с дополнительным движением («чужие» гармоники, переносное движение и т.п.); - единичная функция ( при и при ),

При решении задачи аналитическим методом функция усредняется и трансформируется в функцию (см. выше). Таким образом, оба подхода по существу совпадают и различаются лишь за счет процедуры усреднения на периоде Если исходная информация о диссипативных силах задана логарифмическим декрементом при одночастотных колебаниях , то

(3.2)

На рис. 3 представлены скорректированные согласно (3.1) петли гистерезиса для двух случаев - при исходном эллиптическом контуре петли и при рессорной характеристике, когда модуль силы сопротивления пропорционален На графике четко видно уменьшение исходной площади каждой петли.



Рис. 3.

На рис. 4 представлены графики затухающих колебаний при эллиптической петле гистерезиса и причем в первом случае (рис. 4, а), а во втором - (рис. 4, б).

а) б)

Рис. 4.

Как следует из графиков, эффект снижения диссипации наблюдается как при высокочастотном, так и при низкочастотном дополнительном возбуждении.

4. Резонансные колебания

Рассмотрим вынужденные колебания в системе с одной степенью свободы, описываемой дифференциальным уравнением

(4.1)



Пусть частота равна собственной частоте а частота существенно от нее отличается. Ниже частоту и вынужденные колебания с этой частотой назовем основными, а - дополнительными. Если бы диссипативная сила была бы линейной, как это, например, имеет место при вязком трении, задача решалась бы чрезвычайно просто с использованием принципа суперпозиции. Однако в данном случае из-за нелинейной природы диссипативной силы этот принцип не может быть использован.

После разделения движения на основное и дополнительное получаем следующие два модифицированные дифференциальные уравнения:

(4.1)

где , - амплитуда кинематического возбуждения.

Поскольку частота существенно удалена от резонансной, амплитуда вынужденных колебаний на этой частоте практически не зависит от диссипации. При этом а резонансная амплитуда , найденная аналитическим способом, определяется как

(4.2)

где

Поскольку правая часть равенства также зависит от искомой величины , выражение (4.2) является уравнением, которое приводится к следующему виду:



(4.3)

Здесь где - известное значение резонансной амплитуды без учета корректирующего влияния дополнительных «чужих» колебаний.

Не сужая общности задачи, рассмотрим следующий эталонный пример. Пусть при (рессорная характеристика). На рис. 5 приведены кривые, полученные компьютерным моделированием. При этом соответствует исходному дифференциальному уравнению (рис. 5, а, кривая 1), - модифицированному уравнению (рис. 5, б кривая 2). Кроме того, на обоих графиках приведены кривые 3, отображающие вынужденные колебания с резонансной частотой при формальном использовании принципа суперпозиции. (Здесь, как и выше этому случаю на графиках соответствуют кривые более темного оттенка). Анализ приведенных графиков свидетельствует о том, что, во-первых, игнорирование нелинейной природы диссипативных сил может привести к существенной ошибке при оценке резонансной амплитуды. Так, в нашем примере в то время как Во-вторых, имеет место удовлетворительное совпадение последнего результата в решением модифицированного дифференциального уравнения

Некоторые расхождения результатов в основном связаны с тем, что в функции отражен бигармонический характер возбуждения, а в функции - только колебания с резонансной частотой. Хорошее совпадение этих результатов, проверенное при варьировании параметров в широких пределах как при так и при подкрепляется также результатами аналитического решения на основании уравнения (4.3), причем расхождения обычно не превышают (10-15)%.

а) б)

Рис . 5.

5. Уточненные условия динамической устойчивости при главном параметрическом резонансе

Пусть исходное дифференциальное уравнение, описывающее колебания при одновременном воздействии параметрического и силового возбуждения, имеет вид

(5.1)

где - глубина пульсации и частота параметрического возбуждения, - малый параметр.

Примем, что , последнее условие отвечает зоне главного параметрического резонанса. Используя изложенный выше метод, представим соответствующее модифицированное дифференциальное уравнения в форме (см. формулы (3.1), (3.2)):

(5.2)



Таким образом, в уравнении (5.2) опущен член, отвечающий вынуждающей силе, при соответствующей коррекции диссипативной составляющей. Напомним, что при аналитическом решении задачи В данном случае где - амплитуды колебаний с частотами (параметрический резонанс) и (вынужденные колебания).

Условия динамической устойчивости в зоне главного параметрического резонанса приводятся к виду [4,6]

(5.3)

где

Рассмотрим два случая.

Случай 1 ().

В этом случае вынужденные колебания отсутствуют, поэтому и , а следовательно, условие (5.3) имеет вид

Случай 2 ().

Поскольку теперь , область динамической неустойчивости расширяется. Другими словами, условия, обеспечивающие динамическую устойчивость при отсутствии высокочастотного возбуждения, могут оказаться нарушенными.

Для более наглядной иллюстрации поведения системы при совместном параметрическом и силовом возбуждении воспользуемся плоскостью параметров или (рис. 6).



t

t

Рис. 6.

В области 1 () система всегда динамически неустойчива не зависимо от воздействия дополнительного возбуждения, которое в данном случае проявляется лишь в росте интенсивности нарастания амплитуды. Последнее наглядно видно на совмещенном графике и (верхний индекс 0 отвечает случаю 1). В области 2 система устойчива при и (случай 1) и неустойчива при и . Наконец, в области 3 () условия динамической устойчивости соблюдаются не зависимо от дополнительного возмущения.

На плоскости параметров штриховыми линиями показаны три характерных случая изменения логарифмического декремента в зависимости от амплитуды. Если (прямая 1), то в области 2 амплитуда растет, а в области 3 - убывает. Следовательно, амплитуда установившегося режима соответствует границе асимптотической устойчивости . На графиках и видно, что при колебания выходят на установившийся режим, а при колебания быстро затухают. Аналогичный характер поведения системы имеет место при возрастающей функции (кривая 2).

При убывающем характере изменения возможны два случая. Если кривая 3 дважды пересекает кривую , то верхняя точка пересечения соответствует неустойчивому режиму, а нижняя - устойчивому. При отсутствии нижней точки пересечения, как это, например, имеет место при кулоновом трении, колебания при полностью затухают

6. Влияние неодночастотного возбуждения на условия возникновения субгармонических резонансов

Выше анализировались динамические эффекты, обусловленные влиянием «чужих» гармоник на колебания в «квазилинейных» системах, т.е. в тех случаях, когда нелинейность связана с диссипацией и практически не влияет на частоты свободных колебаний. Как известно, при нелинейной восстанавливающей силе могут возникнуть субгармонические резонансы на частоте , где - частота вынуждающей силы, - целое число. Субгармонические резонансы возникают при преодолении некоторого энергетического барьера, определяемого уровнем диссипации, поэтому при изменении эффективных значений диссипативных характеристик, вызванных неодночастотным возмущением, следует ожидать коррективы условий существования этих режимов. Теоретический анализ этой проблемы для случая вязкого и сухого трения был проведен М.З. Коловским [2], а для позиционных сил трения - в работе автора [11]. Здесь мы ограничимся лишь иллюстрацией данного эффекта на базе компьютерного моделирования.

Конкретизируем задачу на примере системы с рессорной характеристикой сил сопротивления и кубической характеристикой восстанавливающей силы. При этом исходное дифференциальное уравнение имеет вид

(6.1)

где - частота свободных колебаний при (все силы отнесены к единичной массе).

Аналитическое решение приводит к следующему условию возбуждения субгармонического резонанса порядка 1/3 [11]

. (6.2)

При отсутствии высокочастотного возбуждения имеем и . Как показал анализ при субгармонический резонанс возникает при , причем амплитуда, соответствующая точке на скелетной кривой, равна

В соответствии с вышеизложенным запишем вместо уравнения (6.1) модифицированное дифференциальное уравнение, в котором отсутствует дополнительное возмущение с частотой , но вводится коррекция диссипативной составляющей

. (6.3)

На рис. 7 приведены графики и фазовые портреты , где , , которые получены методом Рунге-Кутта при заданных выше исходных параметрах. При этом параметр для всех приведенных режимов соответствует верхней границе существования субгармонических режимов. В первом случае (рис. 7, а) решение определялось на базе уравнения (6.1), а во втором - на базе модифицированного уравнения (6.3) при (рис. 7, б), причем в обоих случаях .

Сопоставление графиков показывает, что указанный прием практически исключает малое влияние высокочастотной составляющей на амплитудный уровень, оставляя почти неизменным условие существования субгармонических колебаний. Фазовая траектория в первом случае свидетельствует о многократном изменении знака скорости, что приводит к снижению эффективной диссипации и увеличению . Во втором случае фазовая траектория «очищена» от высокочастотной составляющей при том же амплитудном уровне колебаний. График и фазовая траектория практически оказались полностью идентичны случаю при отсутствии дополнительного возбуждения, т.е. (см. выше). Третий случай (рис. 7, в) отличается тем, что дополнительное возмущение является низкочастотным (. При этом имеет место незначительная амплитудная модуляция при том же среднем значении амплитуды . Этот режим интересен также тем, что в отличие от приемов, опирающихся на предположение о высокочастотном характере дополнительных воздействий (например, метода прямого разделения движений, предложенного И.И. Блехманом) требуется лишь достаточная удаленность от исследуемого резонансного режима; это позволяет анализировать также и случаи, когда . Результаты компьютерного моделирования свидетельствуют о примерно 3-х кратном уменьшении эффективной диссипативной силы за счет дополнительного возбуждения «чужих» гармоник, причем как в случае , так и . Кроме того, с достаточной точностью подтвердились результаты аналитических прогнозов согласно условию (6.2).



Рис. 7.



Список литературы

1. Сорокин Е.С. Динамический расчет несущих конструкций. М.: Госстройиздат, 1958. 325 с.

2. Коловский М.З. О влиянии высокочастотных возмущений на резонансные колебания в нелинейной системе. - Динамика и прочность машин. Труды ЛПИ №226. М.,Л.: Машгиз, 1963. С.7-17.

3. Вульфсон И.И. Определение приведенных значений параметров диссипа-ции при бигармонических колебаниях. - Вибротехника, 1968, №4(9). С.33-41.

4. Нелинейные задачи динамики и прочности машин / Под ред. В.Л. Вейца. Л.:ЛГУ, 1983. 336 с.

5. Вульфсон И.И. Колебания машин с механизмами циклового действия. Л.: Машиностроение, 1990. 309 с.

6. Вульфсон И.И. Учет нелинейных диссипативных сил при ограниченной исходной информации. - Теория механизмов и машин. - 2003. №1. С.70-77.

7. Dresig H, I.I. Vulfson. Zur Dдmpfungtheorie bei nichtharmonischer Belastung. Dдmpfung und Nichtlinearitдt. Dьsseldorf: VDI-Verlag, 1993.

8. Вульфсон И.И., Вульфсон М.Н. Уточненная эквивалентная линеаризация позиционных диссипативных сил при неодночастотных колебаниях. - Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004. №4. С.20-26

9. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994. 400 с.

10. Kolsch H. Simulation und Identifikation von Bauteilen mit statischer Hysterese. - Dдmpfung und Nichtlinearitдt. Dьsseldorf: VDI - Verlag, 1993. S. 179-194.

11. Вульфсон И.И. Об условиях возникновения субгармонических резонансов при неодночастотном возбуждении. - Проблемы машиностроения и надеж-ности машин. 2005. №2.

Размещено на Allbest.ru

...