К вопросу о классификации плоских групп Ассура

Структура механизмов

Размещено на http://www.allbest.ru/

26

http://tmm.spbstu.ru

К вопросу о классификации плоских групп Ассура

Учение Л.В. Ассура о синтезе структур механических систем, основанное на утверждении, что любой механизм может быть создан путем присоединения к ведущему звену группы или групп звеньев, обладающих нулевой подвижностью, со времени его опубликования (1914 г.) является основополагающим в теории кинематических цепей. Группы звеньев нулевой подвижности после этого получили название групп Ассура, и задача отыскания многообразия таких групп стала важной научной задачей.

Работа профессора Э.Е. Пейсаха [1], опубликованная в 2007 г., посвящена терминологическому анализу и обоснованию «Новой классификации плоских структурных групп». Она завершается таблицами четырехзвенных, шестизвенных, восьмизвенных и десятизвенных групп Ассура с указанием их общего числа: 2, 10, 173 и 5442.

Анализ приведенных в работе [1] таблиц позволяет сделать, по меньшей мере, три вывода:

1. Все группы Ассура в работе классифицируются по четырем параметрам, а именно, по классу группы k, введенному профессором Г.Г. Барановым, по составу входящих в группу звеньев - разряду R, по числу r внешних кинематических пар группы и по числу m изменяемых замкнутых контуров в группе.

2. Число n - звеньев групп и p - кинематических пар в них есть зависимые параметры, определяемые через k, как и .

3. Разряд R есть числовая последовательность k-цифр, определяющая числа двухпарных, трехпарных, четырехпарных и т.д. звеньев.

Рассмотрим эти параметры как критерии классификации групп. Считать необходимым введение параметра k в качестве классификационного - нет оснований. Этот параметр не отражает какого-либо физического смысла и даже усложняет понимание сущности группы. Он всего лишь соответствует или половине числа звеньев группы или одной трети числа ее кинематических пар. Представляется вполне достаточным называть группы по числу звеньев в них - «двухзвенные», «четырехзвенные», «шестизвенные», «восьмизвенные». Исключение k из числа параметров, характеризующих группы Ассура, не может нарушить алгоритма классификации, т.е. вполне допустимо. Это тем более важно, что понятие класса группы Ассура «занято» в теории механизмов более важной их характеристикой, идущей от работ акад. И.И. Артоболевского, а именно, сложностью используемого в них изменяемого замкнутого контура . Вряд ли стоит выводить из употребления такое понятие как механизмы высоких классов с и более.

Есть вполне серьезные основания усомниться, что в практике машиностроения будут широко использоваться группы Ассура, в которых , но, если и будут, то не возникнет никаких затруднений называть их «десятизвенными», «двенадцатизвенными» и т.д.

Что касается разряда R, то в нем содержится важная информация о числе и видах использованных звеньев и о том, какое в группе звено принято за базисное, т.е. за самое сложное. Это определяет последняя значащая цифра разряда. Например, разряд 63001 означает, что всего звеньев 10 (десятизвенная группа) из них шесть двухпарных звеньев, три трехпарных и одно шестипарное, именно оно и есть самое сложное. К сожалению, внутри разряда найти отличия групп невозможно. Так, в шестизвенных группах (табл. 3 [1]) под разрядом 330 значится число групп - 4, но чем они различаются друг от друга, выяснить возможности нет. В восьмизвенных группах (табл. 4 [1]) под разряд 3410 попадают 37 структур, а под разряд 4310 - 41 структура, которые отличить также невозможно. Особенно это обстоятельство становится заметным в десятизвенных группах (табл. 5 [1]), там под разрядом 45100 стоит число 1249 структур. Это почти в 10 раз более, чем всего существует восьмизвенных групп. Возникают большие сомнения в том, как такой классификацией можно пользоваться.

Табл. 2 (четырехзвенные группы) вполне понятна, там две строки и две отличающиеся структуры, а в табл. 3 приведено пять строк, но отличающихся структур названо 10, в таблице 4 - строк 13, а отличающихся структур 173, в табл. 5 всего 27 строк, а отличающихся структур 5442!

Вывод оказывается совершенно очевидным - предложенная классификация требует существенной доработки для того, чтобы с помощью ее можно было идентифицировать все до единой структуры, т.е. в классификационных таблицах должно быть строк столько, сколько всего структур.

Необходимо отметить, что к настоящему времени найдены многие дополнительные параметры, характеризующие отличия групп Ассура [3, 4]. Они обоснованы и опубликованы и не ясно, почему они были проигнорированы в работе [1].

Отметим еще, что параметры r и m, используемые в [1], строго взаимозависимы, они связаны приведенным в [1] соотношением: , откуда следует, что при заданном числе звеньев n, всегда , т.е. r и m должны приниматься за единый критерий. Таким образом, в предложенной классификации действительно независимыми являются лишь три параметра: n - число звеньев, R - номенклатура звеньев и r - число внешних пар (или m - число изменяемых замкнутых контуров).

Отметим еще, что номенклатура звеньев (разряд R), во-первых, позволяет идентифицировать лишь некие множества групп, но не дает возможности идентифицировать их внутри множеств, а во-вторых, сущность различий разрядов в работе [1] не раскрыта и не обоснован алгоритм их составления. Столь же необоснованными остаются в работе [1] цифры, определяющие общие числа групп с различным числом звеньев в них. Автор [1], безусловно, использовал для получения разрядов и чисел групп некие аналитические связи и приемы, но все эти приемы известны лишь автору. В связи с этим, остаются основания сомневаться в опубликованных числах групп.

Рассмотрим те известные к настоящему времени характеристики плоских кинематических цепей, которые могут быть использованы как независимые и необходимые при идентификации всех без исключения групп Ассура. Прежде всего, используя формулу подвижности П.Л. Чебышева:

ассура группа подвижность нулевой

(1)

при условии, что , получим хорошо известное соотношение

, (2)

из которого следует, что группами Ассура являются структуры, содержащие четное число звеньев - через два, при числе шарниров - через три: двухзвенные (), четырехзвенные (), шестизвенные (), восьмизвенные (), десятизвенные () и т.д. На этом основании первым исходным параметром при составлении классификационных таблиц групп должно приниматься именно число звеньев (2, 4, 6 ,8, 10 и т.д.). Простейшей группой является двухзвенная, или диада.

Кроме соответствия формуле (2), группы Ассура должны удовлетворять условию элементарности, а именно, такие группы не должны распадаться на более простые, т.е. четырехзвенные - на диады, шестизвенные - на четырехзвенные и диады и т.д.

В теории кинематических цепей еще О.Г. Озолом [2], а вполне возможно, что и ранее, использовалось понятие «базисного звена», т.е. наиболее сложного звена цепи. В 1993 году в статье [3] было показано, что суммарное число кинематических пар и суммарное число звеньев n любой кинематической цепи могут быть найдены через базисное звено (ф-угольник) как

(3)

В (3) под n_i понимается число звеньев, добавляющих при присоединении к цепи по i кинематических пар.

При заданном значении ф, т.е. заданном числе геометрических элементов базисного звена, образующих с соседними звеньями кинематические пары, можно определить какое минимальное число звеньев должна иметь цепь. Такое событие появляется, если все звенья, добавляющие в цепь более одной пары, равны нулю, т.е. если

.

В этом случае, система (3) примет вид

(4)

откуда , а .

Для плоских групп Ассура с парами согласно (2) и (4) получим

откуда

. (5)

Эта же задача может быть решена и относительно ф_mах при заданном . В этом случае, из (5) получим

. (6)

Так, для четырехзвенных групп , для шестизвенных групп , для восьмизвенных групп , для десятизвенных групп и т.д.

В этом легко убедиться по таблицам, приведенным в [1]. Там в табл. 2 наиболее сложное звено - трехпарное, в табл. 3 - четырехпарное, в табл. 4 - пятипарное и в табл. 5 - шестипарное.

На основании изложенного вторым параметром после должно приниматься ф, которому последовательно можно задавать значения от до . Для четырехзвенных групп - это лишь ; при - это и ; при - это , и ; при - это , , и и т.д.

Представляется, что игнорировать различие групп по используемому в них базисному звену ни по какой логике не следует.

В [3] было показано также, что важным параметром любой цепи является число ее ветвей г. Под числом ветвей понимается число свободных кинематических пар (по терминологии [1] - число внешних пар) цепи при условии, что цепь создана без изменяемых замкнутых контуров. Очевидной является зависимость

, (7)

т.е. число ветвей или свободных пар в цепи определяется разностью между общим числом пар р цепи и числом пар, которые уже использованы (заняты) в результате присоединения к ф-угольнику () звеньев. С учетом соотношения (2) между p₅ и n в плоских группах Ассура, можно показать, что . Подстановкой p и n из (3) в (7) можно выразить число ветвей г через ф в виде

(8)

Когда в цепи создаются замкнутые изменяемые контуры числом б, образование каждого контура уменьшает на единицу число свободных пар. Считаем целесообразным далее вместо числа свободных пар цепи использовать понятие числа выходов цепи д. Учитывая отмеченное, можно записать

. (9)

На этом основании третьим необходимым критерием отличия цепей должно использоваться число выходов группы д.

В [1] это число обозначается буквой r, а число замкнутых изменяемых контуров - буквой m. Из (9) также видно, что связь между д и (r и m) вполне определенна. Как показано в [1] число д (r) не может быть менее (r = 2) и тогда этому критерию может быть задан полный диапазон значений от до .

Следующим важным и необходимым параметром классификации групп является сложность введенного в цепь изменяемого замкнутого контура , где i - число сторон контура. Совершенно очевидно, что в плоских рычажных цепях i не может быть принято менее 4, а максимальное число i не может быть более числа используемых звеньев цепи и тогда критерием классификации становится параметр б_i, приобретающий значения от до .

Если бы в работе [1] сложность используемого изменяемого замкнутого контура была учтена, то каждая из таблиц получила бы большее количество строк.

Отметим еще одно важное обстоятельство. Если в зависимость (2) подставить p и n из (3), учесть формулу (8), то после преобразований можно показать, что минимальное число изменяемых замкнутых контуров в группе () через ф определится зависимостью

(10)

Из (10) следует важный вывод о том, что группы Ассура с не могут быть созданы без изменяемых замкнутых контуров. Уже при любая группа Ассура содержит в своем составе по крайней мере один изменяемый контур, при таких контуров минимум два, при - минимум три и т.д. Это обстоятельство хорошо просматривается по табл. 5 [1]. В строках 25 и 26 этой таблицы, где используются четырехпарные звенья, обязательно присутствует один контур, в группах с пятипарными звеньями (строки 23, 21 и 17) показано по два контура, а в группах с (строка 16) минимальное число контуров - три.

В том случае, когда в цепи появляются несколько замкнутых изменяемых контуров , нельзя не учитывать различную возможную сложность этих контуров. При двух изменяемых контурах это может быть ₄ и ₄, ₄ и ₅, ₄ и ₆, ₅ и ₅ и т.д. При трех контурах может быть ₄, ₄, ₄ или ₄, ₄, ₅ и т.д. Игнорировать эти отличия между группами нет разумных оснований. Поэтому следующим критерием отличия групп должен использоваться критерий, определяющий различия в сложности образованных в них изменяемых замкнутых контуров при их числе более одного. Обозначим этот параметр как . Пределы этой суммы могут изменяться от до .

Следующим важным критерием отличия групп Ассура друг от друга должно приниматься число сторон звеньев групп л. В плоских кинематических цепях, звенья которых соединены в шарниры, любое двухпарное звено имеет две стороны, трехпарное звено - три стороны, четырехпарное - четыре и т.д. Тогда общее число сторон всех звеньев, образующих кинематическую цепь, определится зависимостью

, (11)

где j - число сторон j-парного звена, n_j - число j-парных звеньев.

Так как номенклатура звеньев (разряд R по [1]) заранее известна, то определить общее число сторон звеньев цепи по (11) не представляет сложности. Так, у десятизвенной группы Ассура с R = 64000, приведенной в последней строке таблицы 5 [1], в чем можно убедиться, построив нормальную десятизвенную группу и пересчитав стороны звеньев.

Введение одного изменяемого замкнутого контура в цепь увеличивает л на единицу. Так, в строке 24 той же табл. 5 [1] значится разряд 55000 и указано, что в этой цепи один изменяемый замкнутый контур. Для этой группы по (11) получим , т.е. число сторон увеличилось на единицу. Рассмотрим еще первую строку табл. 5 [1], там обозначен разряд 28000 и отмечено, что в этой цепи четыре изменяемых замкнутых контура. По (11) для нее получим т.е. число сторон увеличилось ровно на число образованных изменяемых замкнутых контуров.

Уже на этом основании можно записать, что суммарное число сторон л_с плоской кинематической цепи всегда есть

. (12)

В кинематических цепях с изменяемыми замкнутыми контурами часть сторон звеньев становится внутренними л_в, а остальные наружными л_н. Очевидно, что

. (13)

Число внутренних сторон легко просчитывается через число и вид построенных изменяемых контуров по зависимости

(14)

Выше нами было показано, что минимальное число сторон подвижного изменяемого замкнутого контура не может быть менее , а i_max ограничивается числом звеньев группы.

Вычитая из суммарного числа сторон цепи л_с число внутренних сторон л_в можно получить остающееся число наружных сторон л_н, т.е.

. (15)

Так как, в зависимости от конкретного числа _i и их вида параметр л_в оказывается переменным, изменяющимся по числу, то переменным будет и число л_н наружных сторон цепи, и это число может быть по разному распределено между выходами цепи. Условно обозначим этот классификационный критерий, как , и из логических соображений ограничим минимальную «дистанцию» между выходами цифрой 3. Наличие именно трех звеньев между выходами гарантирует этой группе работоспособность, если даже группа этими выходами будет замкнута на стойку - на неподвижное звено.

В зависимости от числа д и числа л_н возможны различные варианты дистанций между выходами, что позволяет находить отличающиеся группы Ассура.

Обратимся к восьмизвенным группам, соответствующим разряду 2600 (табл. 4 [1]). В этой строке показано, что число выходов групп , а изменяемых замкнутых контуров в группе , и всего таких групп 19. Заданный разряд позволяет по формуле (11) найти суммарное число сторон цепи

Создадим группу, у которой все изменяемые замкнутые контуры будут четырехугольными, т.е. ₄, ₄ и ₄. По (14) найдем, что

тогда по (15) число наружных сторон будет . Между двумя выходами это число может быть представлено дистанциями 3-7, 4-6, 5-5. Это позволяет из обозначенного в табл. 4 [1] числа групп, т.е. из 19-ти, идентифицировать отличающиеся по рассмотренному параметру группы.

Все обоснованные выше классификационные параметры (критерии) объединим в табл. 1.

Таблица 1. Классификационные параметры (критерии) плоских шарнирных групп Ассура

Необходимо отметить, что все эти классификационные параметры являются необходимыми для идентификации многообразия групп, но нельзя утверждать об их полной достаточности. Опыт показывает, что они вполне достаточны для условий, когда n от 4 до 8. При n > 8 возможно появление необходимости введения дополнительных классификационных параметров, например таких, как последовательность расположения замкнутых изменяемых контуров по сложности в группах при числе контуров более трех, в этом случае возможны отличия в виде ₄, ₅, ₆, ₄ или ₄, ₅, ₆, ₅.

Для примера покажем в табл. 2 изложенный метод полной идентификации всех плоских групп Ассура, содержащих шесть звеньев. В разработке метода и составлении таблицы принимал участие студент С.П. Стариков. В [1] в табл. 3 группы по разрядам 240 и 330 оказались не имеющими отличий друг от друга, в нашей табл. 2 каждая из групп получила строгое отличие от других.

Таблица 2.Состав плоских шарнирных групп шестизвенных групп Ассура (n = 6, р = 9, г = 4)

В работе [4] нами с Гудимовой Л.Н. была приведена полная классификация восьмизвенных плоских групп в соответствии с изложенным алгоритмом классификации.

Список литературы

1. Пейсах Э.Е. Классификация плоских групп Ассура // Теория механизмов и машин. 2007. №1(9). Том 5. - С. 5-17.

2. Озол О.Г. Основы конструирования и расчеты механизмов. - Рига: «Звайгзне», 1979. - 288 с.

3. Дворников Л.Т. Новые формализации в структуре механизмов // Известия ВУЗов «Машиностроение».- 1993. - №1. - С. 3-8.

4. Дворников Л.Т. Задача о поиске многообразия восьмизвенных плоских шарнирных групп Асура / Л.Т. Дворников, Л.Н. Гудимова // Теория механизмов и машин. 2008. №1(11). Том 6. - С. 15-30.

Размещено на Allbest.ru