Задача о поиске многообразия восьмизвенных плоских шарнирных групп Ассура

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Л.Т. Дворников Л.Н. Гудимова

Одним из наиболее действенных и востребованных в технике методов синтеза структур механизмов различного назначения является метод Л.В. Ассура (1917 г.), предусматривающий наслоение на ведущее звено групп звеньев, обладающих нулевой подвижностью, названных позже группами Ассура [1].

Наиболее широко в машиностроении используются двухзвенные группы (диады) и два вида четырехзвенных групп Ассура [2]. Они достаточно хорошо изучены с точки зрения структуры, кинематики и динамики. С 1936 г. благодаря исследованиям В.В. Добровольского [3] были найдены и получили применение в технике все десять видов шестизвенных плоских групп Ассура, обладающих особыми свойствами по кинематике. В 1951 г. к вопросу поиска восьмизвенных групп обратился Баранов Г.Г.[4]. Он показал двадцать шесть видов «ферм Баранова», из которых могут быть найдены группы путем исключения одного из звеньев «ферм». Однако сами группы им показаны не были.

Вряд ли когда-нибудь будут широко востребованы промышленностью группы с числом звеньев более десяти, но использование восьмизвенных групп вполне реально, и примеры применения некоторых из них хорошо известны. Чтобы этот вопрос, поставленный Барановым Г.Г. и практикой, был доведен до логического завершения, т.е. до установления всего состава восьмизвенных групп Ассура, авторами настоящей статьи было предпринято оригинальное по подходу исследование и разработан метод поиска такого рода структур. Применяемый ниже метод основан на использовании универсальной структурной системы, предложенной одним из авторов настоящей статьи [5].

Для решения задачи примем следующие основные независимые параметры: число общих наложенных на систему связей (по Добровольскому В.В. [6]) m = 3 (плоская система), класс применяемых кинематических пар k = 5 (шарниры), подвижность рассматриваемой системы (группы Ассура) W = 0, число звеньев системы n = 8.

Универсальная система [7] при этих данных запишется в виде

Независимым переменным параметром в (1) является - число геометрических элементов (кинематических пар) наиболее сложного - базисного звена цепи или - угольника. Решение системы (1) сводится к отысканию чисел звеньев n_i , добавляющих в цепь по i пар, а после их определения - к поиску всех схем элементарных групп, т.е. не распадающихся на более простые и удовлетворяющих условиям задачи, в частности тому, что W=0. Решение можно получить лишь после установления полного набора формальных признаков, отличающих различные группы друг от друга. За первый признак примем число звеньев группы n. Для рассматриваемого случая, n = 8. В работе [5] была выведена под номером (238) формула:

которая может быть представлена в ином виде, а именно как

В (2) n_min - минимальное число звеньев в группе с заданным , а в (3) _max - наибольшее значение при заданном n. Решение (3) при n = 8, позволяет утверждать, что при создании восьмизвенных групп Ассура, возможно применение ограниченного числа - угольников, а именно от = 3 до = 5, так как при = 2 может быть построена единственная группа - двухзвенная (диада), а при > 5 восьмизвенная группа создана быть не может. На основании полученного результата вторым признаком отличий групп Ассура будем считать сложность применяемого - угольника.

Начнем поиск видов восьмизвенных групп с условия = 3. Для этого случая система (1) преобразовывается к виду

Из (4) при n = 8 получаем p₅ = 12 и система (4) примет вид

Решая (4^?), получим n₂ = 2, n₁ = 5. Это означает, что при построении групп к - угольнику, а именно к треугольнику, необходимо присоединять два звена n₂, добавляющих по две пары каждое, и пять звеньев n₁, добавляющих по одной паре.

В работе [5] также было введено понятие числа ветвей кинематической цепи , причем формулами (174) и (175) было показано, что

Число ветвей цепи связывается простейшей зависимостью с числом выходов цепи (числом свободных кинематических пар) и числом замкнутых изменяемых контуров в ней

Учтем, что минимально допустимым числом выходов группы Ассура, дающим ей возможность быть встроенной в любую кинематическую цепь, является = 2. Тогда полный набор чисел выходов будет от = до = 2. Для условий системы (4^/) по (5) найдем, что

откуда следует, что возможно применение = 5, 4, 3 и 2. Таким образом, третьим признаком отличий групп Ассура будем считать число выходов или число изменяемых замкнутых контуров в группе, так как они однозначно зависимы. Отметим особо, что не при всех видах - угольников возможно построение групп Ассура без изменяемых замкнутых контуров. Уже при = 4 нельзя построить нераспадающуюся группу Ассура без замкнутых изменяемых контуров. В работе [5] было показано, что минимальное число изменяемых замкнутых контуров (min) определяется зависимостью

Из (7) следует, что лишь при = 3, (min) = 0. Известно, что простейшим замкнутым изменяемым контуром является четырехугольный (треугольный шарнирный контур является неизменяемой системой). Обозначим четырехугольный контур как ₄. Наиболее сложным изменяемым контуром может быть такой, который образован всеми звеньями группы. Для рассматриваемого случая (n = 8) - это контур ₈. Отсюда следует, что четвертым признаком, в соответствии с которым могут отличаться группы, является _i, а именно сложность используемых замкнутых контуров. При создании цепей с изменяемыми замкнутыми контурами необходимо вводить замыкающие эти контуры звенья. Ясно, что в качестве используемых для этих целей могут быть применены лишь те звенья, которые получены из решения системы (4^?), т.е. добавляющие по i пар. (Для случая = 3 мы нашли, что такими звеньями являются n₂ = 2 и n₁ = 5).

Введем новое обозначение для добавляемых звеньев, а именно n_i(j), где i, как и ранее, означает число добавляемых звеном пар, а j будет означать общее число пар добавляемого звена. При выбранном ни одно из звеньев цепи не может быть сложнее -угольника. В противном случае, именно оно было бы принято за -угольник. Это означает, что наиболее сложным звеном, добавляющим i пар, является звено n_i() , а наименее сложным n_{i( i+1)}. Таким образом, к цепи могут присоединяться все звенья

Для рассматриваемого случая, когда принято = 3, возможно использование n₂ = n₂₍₃₎ = 2 и n₁ = n₁₍₃₎ + n₁₍₂₎ = 5. Очевидно, что звенья n₂ в этом случае нельзя использовать в качестве замыкающих, т.к. чтобы замкнуть один контур, нужны две пары, да, к тому же, по условию, звено n₂ должно добавлять в цепь две пары. Это возможно было бы, если бы это звено было четырехугольным, т.е. более сложным, чем -угольник. Звенья n₁ могут быть использованы для замыкания контуров лишь в виде n₁₍₃₎. Число таких звеньев легко определить через число образуемых изменяемых замкнутых контуров по зависимости

При переборе возможных видов групп необходимо учитывать еще одно обстоятельство. По мере усложнения вида замкнутого изменяемого контура можно использовать часть звеньев n₁ - поводков в качестве звеньев контура в виде n_1k(2), где буква k означает, что это контурные, т.е. используемые в замкнутом контуре поводки. Очевидно, что общее число звеньев

Если каким-то образом могут быть определены n₁₍₃₎ и n_1k(2), то из (10) можно установить и n₁₍₂₎, т.е. число свободных поводков в цепи.

Отметим, что два звена n₁₍₂₎ не могут быть соединены последовательно друг с другом, т.к. при этом образуется обычная диада, которая может быть выделена из цепи, т.е. группа окажется распадающейся на более простые, что по условию задачи недопустимо. В связи с этим, в четырехугольном контуре может быть использовано максимально лишь одно звено n₁₍₂₎, в пятиугольном не подряд - два, в шестиугольном не подряд - три и т.д. На этом основании число n_1k(2) можно найти по зависимости

На основании изложенного пятым признаком отличия групп Ассура будем считать число звеньев n₁₍₂₎.

В [7] было показано, что важным параметром кинематической цепи является число ее сторон . В случае, когда = 0, число сторон определится по формуле

Для рассматриваемого случая (n = 8, = 3) по (12) получим

т. к. ранее были найдены n₂ = 2 и n₁ = 5. При создании цепей с изменяемыми замкнутыми контурами требуется использовать разные присоединяемые звенья в соответствии с (8). Общее суммарное число сторон при этом будет возрастать на единицу с каждым образованным контуром. Если изменяемых замкнутых контуров будет введено штук, то

Если в цепи появляются изменяемые замкнутые контуры, то суммарное число сторон легко разделить на число наружных и число внутренних сторон, т.е.

Внутренние стороны это такие, которые находятся внутри изменяемых замкнутых контуров. Число внутренних сторон цепи определяется путем сложения сторон всех построенных контуров, т.е.

где i - число сторон контура;

- число контуров;

n_max - число сторон наиболее сложного изменяемого контура цепи.

На основании зависимостей (13), (14), (15) и (16) максимальное число наружных сторон группы Ассура определится как

(17)

Ранее, в работе [7] было показано, что минимальное число наружных сторон группы Ассура можно определить по зависимости

Исключения составляют лишь группы, в которых замкнутый изменяемый контур построен из всех звеньев, т.е. когда построен контур . Это возможно лишь при = 3 и для таких контуров

При нахождении всего многообразия групп Ассура следует принимать последовательно все допустимые числа _н от _{н max} до _{н min}. Именно _н является шестым признаком, отличающим группы друг от друга.

При заданном конкретном _н в диапазоне от _{н max} до _{н min} число _н может быть различным образом разделено на части между отдельными выходами. Если учесть, что вполне подвижной системой является такая, в которой между выходами находится не менее трех сторон звеньев (примером чему служит известный четырехзвенник), то разделение _н должно производиться в ряд цифр, начиная с цифры 3. Так, в случае, если _н = 15, а число выходов = 3, то допустимыми могут быть приняты следующие разделения _н: 3-3-9; 3-4-8; 3-5-7; 3-6-6; 4-4-7; 4-5-6 и 5-5-5. Все они или часть из них могут быть реализованы в виде конкретных кинематических цепей. Таким образом, седьмым признаком, позволяющим отличать друг от друга нераспадающиеся на более простые группы Ассура, является признак, который может быть условно обозначен как _н /.

И, наконец, восьмым признаком будем считать различие между группами с одинаковыми замкнутыми и одинаковыми разделениями _н/, отличающиеся в последовательном расположении друг за другом по сложности разных звеньев внутри цепи или по наружному контуру. Обозначим этот признак условно в виде , что будет означать различие в звеньях по обходу контуров. Сущность признака мы покажем подробнее ниже.

На рис. 1 схематично показано древо формирования групп Ассура со всеми восемью признаками отличий - уровней развития от n до .

Перечисленные выше восемь признаков, а именно заданное число звеньев, разные, возможные к использованию базисные звенья ( - угольники), отличающиеся по количеству выхода цепи и изменяемые замкнутые контуры, сложность изменяемых замкнутых контуров, число свободных поводков в цепи, число наружных сторон цепи, число сторон цепи между отдельными выходами и отличия, определяющие вид звеньев, образующих замкнутые контуры отображаются конкретными рядами чисел, использование каждого из которых реально изменяет структурный образ групп. Именно через эти показатели появляется возможность находить различия в многообразии схем. Авторам представляется, что ни один из перечисленных признаков не может быть проигнорирован, опущен, так как это обстоятельство может приводить к потере пригодных для использования цепей. При рассмотрении более сложных структур вполне возможно появление и иных признаков сверх обозначенных, которые станут необходимыми при решении.

Рис. 1. Древо развития групп Ассура

Приступим к систематическому нахождению всех видов восьмизвенных групп, продолжая рассматривать случай с = 3 (таблица 1).

Согласно (5) для всех таких групп = 5. В том случае, когда = = 5 по (6) = 0, тогда по (9), (10) и (11) найдем, что n_{i( j)} = n₁₍₂₎ = 5, а по (12) и (13) _н = _{н max} = 19. Формально, в соответствии с приведенными выше соображениями, возможны следующие варианты разбиения _н на 5 выходов 3-3-3-3-7, 3-3-3-4-6, 3-3-3-5-5, 3-3-4-4-5, 3-4-4-4-4.

Оставим пока без доказательств невозможность использования некоторых из приведенных разделений, укажем лишь на то, что реализуемым из них является четвертое, в варианте 3-4-4-3-5. Такая группа приведена под №1 в таблице 1. Иные разделения тоже возможны, но в вариантах цепей, которые не будут являться нераспадающимися группами Ассура. Зададим теперь = 4, т.е. = - = 1. Различие групп при этом условии может заключаться, прежде всего, в сложности изменяемого замкнутого контура, т.е. в цепь группы могут быть встроены контуры ₄, ₅, ₆, ₇ и ₈.

Остановимся на ₄ и учтем, что внутри этого контура может быть вовсе не использовано поводков или всего один поводок, т.е. свободных поводков n₁₍₂₎ по (10) может остаться четыре или три. Для таких групп по (15) _в = 4, по (12) = 19 и тогда по (17) . Между четырьмя выходами полученное число наружных сторон может быть разбито на 3-3-3-7, 3-3-4-6, 3-3-5-5, 3-4-4-5, 4-4-4-4. Первое из разделений в виде нераспадающейся группы Ассура не реализуемо. Остальные реализованы под номерами 2, 3, 4 и 5 (таблица 1). В случае построения изменяемого контура ₅ по тем же формулам найдем, что n₁₍₂₎ = 3 и n₁₍₂₎ = 2, для них _н = 15. Эти группы реализуются с разделениями между выходами _н 3-3-4-5 и 3-4-4-4 (№№ 6, 7, и 8 таблица 1).

При построении цепей с ₆ возможны четыре группы с разделениями _н в виде 3-3-3-5, 3-3-4-4 (№ 9 - 12, таблица 1), для них n₁₍₂₎ = 2, _н =14.

Нераспадающаяся группа с ₇ реализуется единственным образом, а именно с n₁₍₂₎ = 1 и с разделением _н в виде 3-3-3-4. Группа с ₈ и разделением _н в виде 3-3-3-3 показана под №14. Наименьшее число наружных сторон группы можно найти по (19) _н = 3•4 =12 .

В соответствии с древом (рисунок 1) перейдем к значению = 3 (три выхода). В этом случае должны появиться два изменяемых замкнутых контура. Согласно (12) и (13), _с = 21, а по (18) _{н min} = 10, тогда максимальное значение внутренних сторон _в будет _{в max} = 21 - 10 = 11, а минимальное определится сложением сторон двух простейших, т.е. четырехугольных замкнутых контуров. На этом основании можно заключить, что возможно построение следующих пар контуров ₄ - ₄, ₄ - ₅, ₄ - ₆, ₄ - ₇, ₅ - ₅ и ₅ - ₆. Все эти группы приведены в таблице 1 №№ 15- 38. Если теперь задаться значением =2, то по (6) получим = 3. Учитывая то обстоятельство, что, согласно (12) и (13) _с = 22, а по (17) _{н min} = 7, то максимальное число внутренних сторон будет _{в max} = _с -_{н min} = 22 - 7 = 15. В случае, когда все три контура четырехугольные, _{в min} = 12.Таким образом, возможно построить группы Ассура с _в от 12 до 15. Это ₄ - ₄ - ₄, ₄ - ₄ - ₅, ₄ - ₄ - ₆, ₄ - ₅ - ₅, ₄ - ₅ - ₆ и ₅ - ₅ - ₅, которые и приведены в таблице 1 под номерами от 39 до 53. Различие между группами с одинаковыми контурами определяется восьмым признаком древа развития. Покажем его на конкретном примере. Рассмотрим две восьмизвенные группы №27 и №24 (рис. 2).

Обе они содержат по два изменяемых контура ₄ и ₅ и одинаковое число сторон между выходами 3,4,5 и 3,5,4. Однако, расположение звеньев в разделениях, соответствующих цифрам 3,4,5 разные. В группе №27, если проводить обход по часовой стрелке, за базовым треугольником расположено линейное звено, а затем треугольное, добавляющее в цепь две кинематические пары. В группе №24 обход начинается с линейного звена, присоединенного к базовому треугольнику, которое в свою очередь соединяется с треугольным звеном. Далее легко просматривается, что у №27 последовательно соединены три треугольных звена, а у №24 подряд три треугольных звена не располагаются.

поиск восьмизвенный группа ассур

1. Ассур Л.В. Исследование плоских стержневых механизмов с низшими парами с точки зрения их структуры и классификации. Издательство академии наук СССР, 1952. - 589 с.

2. Пейсах Э.Е. Атлас структурных схем восьмизвенных плоских шарнирных механизмов. // Теория механизмов и машин. 2006. №1 (7). С. 3-17.

3. Добровольский В.В. Основные принципы рациональной классификации. - В кн.: Добровольский В.В., Артоболевский И.И. Структура и классификация механизмов. М.- Л.: Изд-во АН СССР, 1939, С. 5-48.

4. Баранов Г.Г. Классификация, строение, кинематика и кинетостатика плоских механизмов с парами первого рода. - Тр. семинара по теории механизмов и машин. М.: 1952, 2, вып. 46, С. 15 - 39.

5. Дворников Л.Т. Начала теории структуры механизмов. - Новокузнецк, 1994. - 102 с.

6. Добровольский В.В. Теория механизмов. - М., 1951. - 465 с.

7. Дворников Л.Т. Опыт структурного синтеза механизмов. // Теория механизмов и машин. 2004. № 2(4), С. 3-17.

Размещено на Allbest.ru