Динамическая модель виброротационного стенда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамическая модель виброротационного стенда

В.И. Каразин

Д.П. Козликин

А.В. Слоущ

И.О. Хлебосолов

Данная статья посвящена математическому описанию динамической модели стенда, схема которого показана на рис. 1.

Рис. 1. Схема стенда

Двигатель вращения центрифуги 1 жестко соединен с платформой 2, на плече которой закреплена неподвижная часть вибратора 3. Описанную цепь элементов назовем ротационным узлом (РУ). Подвижную обмотку вибратора 4, стол 5 и испытуемое изделие 6 назовем виброротационным узлом (ВРУ). РУ и ВРУ совершают вращательное движение со скоростью , вследствие чего испытуемое изделие находится в поле действующего центростремительного ускорения. Одновременно с вращением ВРУ совершает возвратно поступательное движение со скоростью , которое вызывается переменной силой . В дальнейшем будем полагать, что имеет гармонических характер:

, (1)

где - масса ВРУ; - вибрационное ускорение; - амплитудное значение вибрационного ускорения; - частота изменения вибрационного ускорения; - время. Таким образом, испытуемое изделие подвергается сложному воздействию.

Для компенсации воздействия центробежной силы инерции, действующей на ВРУ, предусмотрена разгрузка, которая задается силой . Сила противоположна центробежной силе инерции по направлению и равна ей по модулю:

, (2)

где - расстояние от центра масс ВРУ до оси вращения центрифуги при выключенном вибраторе; - скорость вращения центрифуги.

Предполагая реализуемые кинематическими парами связи идеальными, запишем уравнения движения стенда в форме уравнений Лагранжа второго рода:

, . (3)

Здесь - кинетическая энергия стенда; - -я обобщенная координата стенда; - ее производная по времени и - -я обобщенная сила.

Стенд рассматривается как система с двумя степенями свободы, причем РУ вместе с разгружающим устройством вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью на переменном расстоянии от нее. Учитывая это, запишем кинетическую энергию стенда в виде:

 (4)

где , , - общая кинетические энергия стенда, кинетическая энергия РУ и ВРУ соответственно; , - масса РУ и масса разгрузки РУ; - расстояние от оси вращения центрифуги до центра масс разгрузки РУ (см. рис. 1). При выражении кинетической энергии стенда не учтены моменты инерции ротора двигателя центрифуги и платформы вследствие малости их вклада в кинетическую энергию.

Для записи выражений обобщенных сил, действующих в стенде, необходимо определить работу активных сил на возможных перемещениях и :

, (5)

, (6)

где - движущий момент, создаваемый ротором двигателя привода центрифуги. Заметим, что силами трения и силами упругости мы пренебрегли. Далее будем рассматривать установившейся режим вращения центрифуги, полагая силы лобового сопротивления скомпенсированными движущим моментом.

Определив кинетическую энергию стенда и обобщенные силы, запишем уравнения Лагранжа в форме (3):

(7)

В качестве неизвестных величин в системе выступают обобщенные координаты, скорости и ускорения: , , , , , .

Отыскание этих неизвестных в аналитическом виде затруднительно, что связано с нелинейностью системы уравнений (7). В таких случаях целесообразно либо пользоваться численными методами, либо каким-то образом упростить систему, чтобы получить аналитические зависимости.

Для решения системы уравнений численным методом мы воспользовались пакетом Mathematica 5.0. Решение искали при следующих исходных данных: , , , , , , , . В качестве начальных условий было принято: , , , . Полученные зависимости для , , показаны на рис. 2, 3, 4.

Рис. 2. График зависимости скорости вращения от времени

Рис. 3. График зависимости перемещения ВРУ от времени

Рис. 4. График зависимости ускорения ВРУ от времени

Как видно из рисунков, эти графики имеют периодический характер. Если проанализировать зависимость , то можно заметить, что изменение перемещения ВРУ происходит с некоторой амплитудой на низкой частоте, назовем ее . На эти изменения координаты наложены колебания с меньшей амплитудой и более высокой, чем , частотой. Полученная зависимость похожа на вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при отсутствии трения.

Предположим, что искомое значение угловой скорости вращения стенда мало отличается от некоторого среднего значения скорости установившегося режима вращения, причем наибольшие отклонения от малы по сравнению с этим средним значением, то есть можно записать:

, (8)

,

.

где - отклонения угла поворота от ; - отклонение скорости вращения от , - угловое ускорение. Принимая, что равномерное вращение можно считать для установившегося режима программным движением, функцию естественно рассматривать, как динамическую ошибку по углу, а ее первую производную как динамическую ошибку по угловой скорости. Также примем, что величины , , малы. Подставляя соотношения (8) в уравнения (7) и пренебрегая величинами порядка малости больше, чем первый, получим:

(9)

Разрешив второе уравнение системы (9) относительно , взяв от нее производную по времени, подставим полученные выражения в первое уравнение:

(10)

Получено неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка. Вводя новую переменную и приняв:

приводим уравнение (10) к виду:

. (11)

Его частное решение при нулевых начальных условиях имеет вид:

. (12)

Переходя к старым координатам, проинтегрируем выражение (11):

(13)

Получено аналитическое решение линеаризованной системы уравнений (9). Заметим, что уравнение (11), к которому в конечном итоге свелась задача определения движения стенда, и в самом деле представляет собой уравнение вынужденных колебаний колебательной системы с одной степенью свободы. Низкочастотная составляющая колебаний ВРУ, нарушающая правильную работу виброротационного стенда, представляет собой свободные колебания этой системы. Более того, при неудачном подборе параметров стенда величина может оказаться отрицательной, что приведет к неустойчивости режима работы стенда.

При неизбежном наличии в системе трения колебания ВРУ на частоте со временем угаснут, останутся лишь колебания на частоте вынуждающей силы . Задача проектировщика состоит, в частности, в ведении в систему демпфирования.

Запишем выражение для :

. (14)

Подкоренное выражение (14) положительно, если выполняется условие:

,

то есть, когда отношение момента инерции РУ к моменту инерции ВРУ будет меньше либо равно 3. При использовании в качестве виброзадающего устройства электродинамического вибратора можно с уверенностью говорить о том, что момент инерции РУ на порядок превосходит момент инерции ВРУ. Так, к примеру, электродинамический вибростенд фирмы Data Physics (модель V400 DSA4-8k) с эффективной выталкивающей силой при пустом столе 7236 Н имеет массу неподвижной части вибратора, равную 350 кг, при массе подвижной части, равной 5,22 кг. Отсюда следует, что рассчитываемая модель стенда при реальных параметрах не будет воспроизводить ожидаемое воздействие. В связи с этим предлагается пересмотреть расчетную схему.

Для компенсации воздействия центробежной силы инерции, действующей на ВРУ, была предусмотрена установка разгружающего устройства, которое было бы способно воспроизводить силу (2). В качестве такого устройства может быть взят пружинный разгружатель (рис. 5), основной составляющей которого является упругий элемент в виде цилиндрической пружины. Настройка разгружателя осуществляется на определенную центробежную силу инерции путем задания предварительного поджатия.

Рис. 5. Схема стенда с разгрузкой

Таким образом, с учетом действия пружинного разгружателя система (7) перепишется следующим образом:

(15)

После линеаризации системы (15) мы будем иметь возможность разрешить её аналитически. Задача определения сведется к решению дифференциального уравнения (11). Частота свободных колебаний определится выражением:

(16)

Для того чтобы подкоренное выражение было положительным, необходимо выполнение следующего условия:

(17)

Полученное условие целесообразно использовать для выбора жесткости упругих элементов разгрузочного устройства.

инерция стенд ротор центробежный

Размещено на Allbest.ru