Геометрический и кинетостатический анализ плоских рычажных механизмов второго класса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 621.01

Геометрический и кинетостатический анализ плоских рычажных механизмов второго класса

А.Н. Евграфов, Г.Н. Петров

Большинство плоских рычажных механизмов с низшими кинематическими парами (КП) (прессы, насосы, компрессоры и т. п.) состоят из кривошипа и одной или нескольких диад (двухзвенных групп Ассура). На рис.1, а показана кинематическая схема насоса. Этот механизм состоит из кривошипа 1 (однозвенной одноподвижной структурной группы) и двух диад ( звенья 2,3 и 4,5). Граф структуры изображен на рис. 1, б.

диада шарнир шестизвенный двигатель

а)Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Рис. 1. Механизм насоса: а - кинематическая схема, б - граф структуры

На рис.2 представлены пять возможных плоских групп Ассура, включающих два звена и три низшие КП (вращательные или поступательные). Одна пара является внутренней ( соединяет звенья 1 и 2), две пары внешние (с их помощью диада присоединяется к подвижным звеньям и стойке). На примере показанных схем проведем геометрический анализ ( определение функций положения, первой и второй геометрических передаточных функций) и кинетостатический анализ (определение реакций в кинематических парах и движущего момента).

1. Геометрический анализ.

Примем следующие обозначения:

— В - вращательная КП,

— П - поступательная КП,

— название диады соответствует последовательности КП (на рис. 2, б -ВВВ, 2, в - ВВП, 2, г - ВПВ, 2, д - ПВП, 2, е - ППВ),

— i = 1,2 - нумерация звеньев диады,

— x₀,y₀ - неподвижная система координат (СК),

— x_i,y_i - локальная СК, связанная с i-м звеном,

— А_i - начало локальной СК,

— - угол между x₀ и x_i,

— - угол между локальными осями x₁ и x₂,

— А_i0 - точка А_i с фиксированными значениями s₁, s₂, s₁₂,

— А_i^* - начальное положение точки А_i,

— x_i^*,y_i^* - начальное положение i-й локальной СК,

— s_i - расстояние между точками А_i^* и А_i,

— В - внутренний шарнир диады,

Рис. 2. Двухзвенные группы Ассура (диады): а - граф структуры, б - группа ВВВ, в - группа ВВП, г - группа ВПВ, д - группа ПВП, е - группа ППВ

— s₁₂ - расстояние между точками В и А₂,

— - длины звеньев,

— - координаты точки A_i в нулевой СК,

— q - входная координата механизма, в который входит диада,

— - первая геометрическая передаточная функция (производная по q от функции положения),

— - вторая геометрическая передаточная функция,

— - вектор групповых координат диады.

В любой диаде можно выделить входные и выходные параметры. На рис.2 дважды подчеркнуты координаты точек присоединения (А₁^*, А₂^*) и параметры ( и т.п.), которые должны быть заданы (они являются входными параметрами). Окружностью обведены неизвестные групповые координаты (выходные параметры).

Определим для каждой диады векторы групповых координат и их производных (, , ), а также векторы координат и производных точки В (, ,). Групповые уравнения получим из условия замкнутости контура:

.(1)

Для вращательных КП точки А_i^* и А_i совпадают.

1.1. Группа ВВВ (см. рис.2, б)

Воспользовавшись равенством (1), запишем уравнения для определения групповых координат :

,(2)

где - матрица поворота, - векторы длин звеньев.

Обозначив , перепишем уравнение (2):

.(3)

Из условия равенства длин векторов и определим угол :

,

, .

Получаем два решения, которые соответствуют двум сборкам диады (). На рис.2, б обход шарниров А₁ВА₂ осуществляется по часовой стрелке. Такую сборку принято считать отрицательной ().

Учитывая, что , определим из (3) и :

, , где .

Для определения геометрических передаточных функций продифференцируем по q уравнение (3):

,(4)

где - матрица Якоби, - производная вектора групповых координат по q,

.

Из уравнения (4) найдем:

.(5)

Продифференцируем уравнение (4) по входной координате q и найдем :

, где ,

.

Координаты точки В и ее первая и вторая производные соответственно равны:

,

, .

Отметим, что

, ,

.

1.2. Группа ВВП (см. рис.2, в)

Для определения групповых координат составим групповые уравнения из условий (1) замкнутости контура:

.(6)

Введем обозначения: , ,

.

Перепишем уравнение (6) с учетом введенных обозначений:

.(7)

Из условия определим , где - сборка диады.

Из уравнения (7) определим угол :

.

Продифференцируем по q уравнение (7):

,(8)

где - матрица Якоби, - производная вектора

групповых координат по q,

, .

Из уравнения (8) получим:

.(9)

Для определения продифференцируем по q уравнение (8):

, где ,

отсюда найдем:

.

Координаты точки В и ее первая и вторая производные соответственно равны:

,

, .

1.3. Группа ВПВ (рис.2, г)

Из условия замкнутости (1) составим групповые уравнения для определения :

.(10)

Перепишем это уравнение, введя обозначение :

.(11)

Из условия определим:

,

где - сборка диады.

Определим из соотношения (11) угол :

Продифференцировав по q выражение (11), получим:

,(12)

где - матрица Якоби, - производная вектора групповых координат по q,

.

Из уравнения (12) найдем:

.(13)

Дифференцируя по q уравнение (12), определим:

.

Координаты точки В и ее первая и вторая производная соответственно равны:

,

, .

1.4. Группа ПВП (рис.2, д)

Составим групповые уравнения для определения :

.(14)

Обозначим: , ,

- матрица Якоби.

Перепишем уравнение (14) с учетом введенных обозначений:

.(15)

Из уравнения (15) найдем вектор групповых координат:

.

Для определения продифференцируем по q уравнение (15):

,(16)

где .

Из уравнения (16) найдем:

,(17)

где , .

Продифференцировав по q уравнение (16), найдем :

Координаты точки В и ее первая и вторая производные соответственно равны:

,

, .

1.5. Группа ППВ (рис.2, е)

Составим групповые уравнения для определения :

.(18)

Обозначим: , ,

- матрица Якоби.

Перепишем уравнение (18) с учетом введенных обозначений:

.(19)

Определим из уравнения (19) вектор групповых координат:

.

Для определения продифференцируем по q уравнение (19):

,(20)

где .

Из уравнения (20) найдем:

,(21)

где , .

Дифференцируя по q выражение (20), найдем:

Координаты точки В и ее первая и вторая производная соответственно равны:

,

, .

2. Кинетостатический анализ.

Определим реакции во внутреннем и внешних шарнирах диады. Введем обозначения:

- - реакции и момент относительно точки во внешнем шарнире, действующие на i звено (i=1,2),

- , - реакции и момент относительно точки B во внутреннем шарнире, действующие на i звено.

- - главный момент относительно точки и главный вектор активных сил, действующих на i звено (считаем, что для каждого звена диады они заданы).

Воспользуемся алгоритмом, описанном в [1]. Разомкнем связи шарнира B. В этом случае реакции во внутреннем шарнире равны нулю, а реакции во внешних шарнирах

, ,

где индекс «0» означает, что мы нашли реакции для «открытой» кинематической цепи. Будем искать истинные реакции во внешних шарнирах в виде:

, .

Очевидно, что - реакция во внутреннем шарнире:

, .

Отметим, что задача кинетостатического анализа сводится к поиску вектора .

Для моментов можно записать следующие выражения:

,

- для всех групп с внутренней вращательной КП

,

- для группы ППВ

,

- для группы ВПВ

.

Запишем выражение для работы всех активных сил и внешних реакций диады на возможном перемещении:

(22)

Представим линейные и угловые перемещения в виде:

, ,(23)

где - возможное перемещение точки при изменении групповых координат, - возможное угловое перемещение i-го звена вместе со звеном присоединения (для поступательной пары ), - возможное угловое перемещение i-го звена относительно звена присоединения (для вращательной пары ).

Из условия идеальности кинематических пар можно получить следующие выражения:

,

,

, .(24)

Подставим соотношения (23), (24) в выражение (22):

.(25)

Очевидно, что в левой части равенства - работа всех активных сил на возможном перемещении групповых координат :

,

где - вектор активных сил, совершающих работу на возможном перемещении групповых координат.

В правой части равенства (25) - работа на возможном изменении . Окончательно получаем:

.

Воспользуемся соотношениями (5), (9), (13), (17), (21), сделаем замену:

.

Приравнивая в получившемся выражении коэффициенты при , получим:

.

Таким образом, мы получили единую формулу для определения . Матрицы Якоби были получены ранее (см. п.1). Определим векторы для всех пяти групп Ассура:

,,, ,

где - проекция активных сил, действующих на i звено, на ось x локальной системы координат.

Очевидно, что рассмотренная выше связь геометрического и кинетостатического анализа справедлива не только для диад, но и для любых структурных групп. Отличие будет заключаться лишь в размере матрицы Якоби.

Рассмотренные выражения геометрического анализа были использованы при создании библиотеки объектов для пакета AnyLogic фирмы XJ Technologies (Экспериментальные объектные технологии). AnyLogic - профессиональная компьютерная программа, предназначенная для моделирования и визуализации поведения различных систем, в том числе механических. Для существенного упрощения создания пользователями новых моделей плоских рычажных механизмов была создана библиотека объектов. Объект - это модель, описывающая какую-либо часть механизма: звено, группу Ассура. Объекты «звено» или «группа Ассура» похожи, но не тождественны звеньям и группам Ассура в привычном для ТММ смысле. Например, в библиотеке имеется 6 видов объекта «звено»: стойка с вращательной или поступательной парой, кривошип с вращательной или поступательной парой, а также звено присоединения с вращательной или поступательной парой. Два последних объекта предназначены для расчета координат точки наблюдения или точки присоединения следующей группы. В библиотеке используются двухзвенные группы Ассура. Они различаются не только по сочетанию вращательных и поступательных пар, но и номером звена в группе, длина которого является переменной. Например, в кулисной группе В_ПВ (PairRPR1) переменная длина у первого звена, а в группе ВП_В (PairRPR2) - вторая. Поэтому в библиотеке 10 объектов «Группа Ассура». Наконец, еще один объект - мотор - предназначен для изменения входной координаты. Из этих объектов, как из кубиков, пользователь может составить модель любого ассурова механизма 2-го класса.

С помощью построенной модели пользователь имеет возможность:

— наблюдать механизм в движении,

— изменять все параметры механизма,

— получать графики функций х_Е(t) и y_E(t) произвольно выбранной точки наблюдения Е;

— исследовать влияние параметров механизма на его работоспособность;

— наблюдать особые (сингулярные) положения.

Можно также изменять масштаб изображения, скорость вращения кривошипа, положение механизма в окне анимации.

Интерфейс имеет примерно такой вид, как на рис. 3. Он включает в себя окно анимации, панель управления и окна вывода графиков.

Окно анимации предназначено для отображения анимации механизма, геометрических изменяемых параметров, положения точки наблюдения Е, а также для сигнализации о попадании механизма в «особое» положение. С помощью ползунков на границе окна можно изменять положение начала неподвижной системы координат в окне анимации.

Панель управления содержит элементы управления, позволяющие запускать и останавливать анимацию механизма, задавать и изменять параметры механизма, положение точки наблюдения, а также управлять выводом информации в окне анимации.

Окна вывода графиков отображают графики функций х_Е(t) и y_E(t), где Е - задаваемая точка наблюдения. При нажатии переключателя «Схема» на месте графиков выводится кинематическая схема механизма с условными обозначениями изменяемых параметров.

Рассмотрим в качестве примера составление модели шестизвенного механизма с двумя группами Ассура: ВВВ и ВВП. Вторая группа Ассура присоединена с первому звену первой группы (шатуну). Точка наблюдения Е находится на первом звене второй группы (см. рис. 3).

Рис. 3. Интерфейс программы расчета шестизвенного механизма

Из библиотеки объектов пакета AnyLogic необходимо взять:

— Объект «Стойка с вращательной парой» (2 экз.: frame и frame1);

— Объект «Стойка с поступателной парой» (1 экз.: frame2);

— Объект «Мотор» (1 экз.:motor);

— Объект «Кривошип с вращательной парой» (1 экз.: crank);

— Объект «Группа Ассура ВВВ» (1 экз.: group1);

— Объект «Группа Ассура ВВП» (1 экз.: group2);

— Звено присоединения с вращательной парой (2 экз.: link1 и link2).

Помещая выбранные объекты из библиотеки в окно редактирования, соединяем их в следующую схему (рис. 4).

Первая стойка «frame» с вращательной кинематической парой соединена с кривошипом «crank». Двигатель «motor» также соединен с кривошипом, он передает кривошипу «crank» значение обобщенной координаты (угла поворота кривошипа). Кривошип «crank» соединяется с первой группой Ассура «group1», сообщая ей координаты кинематической пары, с помощью которой группа соединена с кривошипом «crank». Кроме этой кинематической пары первая группа Ассура имеет еще две кинематические пары: вторая пара - внутренняя для группы, а третья пара (F1) соединяет группу Ассура «group1» со второй стойкой «frame1». Координаты первого звена группы «group1» передаются объекту «link1» (Звено присоединения). Этот объект передает второй группе Ассура «group2» координаты кинематической пары, соединяющей ее с первой группой «group1». Вторая группа Ассура «group2» имеет еще две кинематические пары, одна из которых является внутренней для группы, а с помощью второй пары (F2) группа «group2» соединяется со стойкой «frame2». Координаты первого звена группы «group2» передаются объекту «link2» (Звено присоединения). Этот объект выполняет функцию точки наблюдения E. Зависимость координат точки Е от времени в виде графиков отображается в окнах вывода графиков.



Рис. 4. Структурная схема механизма в пакете AnyLogic

После составления структурной схемы следует выполнить компиляцию модели, которая занимает несколько минут. В результате раскроется окно с интерфейсом, примерный вид которого показан на рис. 3. Полученную визуализированную модель механизма можно использовать как для исследовательских, так и учебных целей.

Отметим, что в случае непроворачиваемости механизма программа не «зависает» и не останавливается, а автоматически изменяет размеры одного из звеньев таким образом, чтобы выполнялось условие существования кривошипа; изменяемая часть звена выделяется красным цветом и увеличенной толщиной.

На рис. 5, а приведена модель механизма в особом положении (шатун перпендикулярен линии перемещения ползуна). На рис. 5, б приведена модель механизма, для которого решения системы групповых уравнений для группы ВВВ не существует. Для того, чтобы механизм провернулся, длина звена увеличена (увеличенная часть звена отмечена утолщенной линией).



Рис. 5. а - особое положение группы Ассура ВВП; б -изменение размера звена (коромысла) в случае отсутствия проворачиваемости

Несколько готовых примеров механизмов (10 четырехзвенных и 15 шестизвенных) помещены в библиотеку примеров AnyLogic. Один демонстрационный пример V-образного двигателя внутреннего сгорания (рис. 6) размещен в сети интернет на портале ТММ по адресу http://tmm.spbstu.ru/download.html.

Рис. 6. Модель двигателя внутреннего сгорания

Список литературы

1. Петров Г.Н. Алгоритм кинетостатического расчета на ЭВМ замкнутых рычажных механизмов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. № 3.

Размещено на Allbest.ru

...