Анализ положений звеньев и области существования пространственного механизма ВЦЦЦ

Синтез механизмов

Размещено на http://www.allbest.ru/

26

http://tmm.spbstu.ru

Анализ положений звеньев и области существования ПРОСТРАНСТВЕННОГО механизма ВЦЦЦ

Э.Е. Пейсах

1. Введение

Статья состоит из двух частей. В первой части статьи представлен алгоритм решения задачи о положениях звеньев четырёхзвенного пространственного рычажного механизма ВЦЦЦ (В - вращательная пара, Ц - цилиндрическая пара) Далее в статье для обозначения структуры рассматриваемого механизма используется английская символика RCCC (R - revolute pair, C - cylindrical pair), общепринятая в современной специальной литерату-ре.. Указанная задача рассматривалась ранее в работах [1]-[2] и [6]-[14], в которых для решения задачи использовались различные матричные или векторные методы.

В работах автора [2], [6] и [11] был применён векторный метод, основанный на использовании векторных рекуррентных формул (ВРФ) (см. [4], [5], [11]). В данной статье также используются ВРФ. Однако, методика решения задачи изменена, вследствие чего алгоритм анализа механизма RCCC получился более рациональным в сравнении с ранее известными алгоритмами.

2. Параметризация механизма RCCC и основные обозначения

Механизм RCCC показан на рис. 1. В тексте и на рисунке приняты следующие обозначения: 1 - стойка; 2 - входное звено; 3, 4 - другие подвижные звенья механизма; P₁₂, P₂₃, P₃₄, P₄₁ - кинематические пары, образуемые звеньями 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 соответственно; A₁O₁, A₂O₂, A₃O₃, A₄O₄ - общие перпендикуляры к осям пар P₄₁ и P₁₂,

Рис. 1 Механизм RCCC

P₁₂ и P₂₃, P₂₃ и P₃₄, P₃₄ и P₄₁ соответственно; Oxyz - неподвижная система координат; e₁, e₂, …, e₈ - единичные векторы (орты), направленные по отрезкам A₁O₁, O₁A₂, …, O₄A₁ соответственно; (i = 2, 3, …, 8), ; A₅, O₅, e₉, e₁₀, E₁₀ вторые обозначения для точек A₁, O₁ и векторов e₁, e₂, E₂ соответственно; h_k = |A_kO_k| (k = 1, 2, 3, 4); (k = 1, 2, 3, 4); _k - угол между векторами e_2k2 и e_2k ; угол _k откладывается от e_{2k 2} к e_2k против часовой стрелки, если смотреть с конца орта e_{2k 1} (k = 2, 3, 4, 5); _k,k+1 - угол между векторами e_2k1 и e_2k+1; угол _k,k+1 откладывается от e_{2k 1} к e_2k+1 против часовой стрелки, если смотреть с конца орта e_2k (k = 1, 2, 3, 4); ₁, l₄₁, ₄₁, вторые обозначения для параметров ₅, l₄₅, ₄₅, ₁₂ соответственно.

Два смежных орта e_i и e_i+1 взаимно ортогональны. Отсюда следует, что E₂, E₃, …, E₉ есть единичные векторы (орты).

Тройку неподвижных ортов (e₁, e₂, E₂) (e₉, e₁₀, E₁₀) будем называть базисом. Единичные векторы x^o, y^o, z^o координатных осей x, y, z связаны с ортами базиса следующими соотношениями: x^o = e₂, y^o = e₁, z^o = E₂.

Величины h₁, h₂, h₃, h₄, l₁₂, ₁, ₂, ₃, ₄ - это постоянные параметры механизма RCCC, а величины ₁₂, ₂₃, ₃₄, ₄₁, l₂₃, l₃₄, l₄₁ - переменные параметры.

Переменный параметр ₁₂ является независимым; переменные параметры ₂₃, ₃₄, ₄₁, l₂₃, l₃₄, l₄₁ зависимые. Зависимые переменные параметры являются функциями независимого параметра и определяются в результате анализа положений звеньев механизма RCCC.

3. Постановка задачи и методика её решения

При анализе положений звеньев механизма RCCC считаются известными значения постоянных параметров h₁, h₂, h₃, h₄, l₁₂, ₁, ₂, ₃, ₄ механизма, а также угловой координаты входного звена 2. Целью анализа является определение значений зависимых переменных параметров ₂₃, ₃₄, ₄₁, l₂₃, l₃₄, l₄₁ для всех возможных (при данном ) вариантов сборки механизма.

В соответствии с предлагаемой методикой решения указанной задачи, анализ механизма включает в себя следующие этапы:

Этап I. Условное размыкание замкнутого векторного контура механизма в двух цилиндрических парах P₂₃ и P₄₁ и получение трёх незамкнутых кинематических цепей (первая цепь включает в себя отрезок O₁A₂ звена 1 и звено 2, вторая цепь - звенья 3 и 4, третья цепь - отрезок O₁A₁ звена 1).

Этап II. Составление векторных выражений для положений звеньев, принадлежащих каждой из трёх указанных кинематических цепей.

Этап III. Замыкание разомкнутых цепей посредством соответствующих кинематических пар (и восстановление тем самым замкнутого векторного контура механизма). Составление уравнений, отображающих условия связей, которые накладываются на относительные положения указанных цепей при их замыкании.

Этап IV. Решение полученных уравнений относительно фигурирующих в них неизвестных, а также вывод формул для всех искомых переменных параметров механизма.

Сама идея размыкания замкнутого векторного контура пространственного механизма известна. Однако предлагаемая методика анализа положений звеньев содержит существенные новые элементы как в части конкретной реализации указанной идеи (этап I), так и в отношении соответствующего математического моделирования (этапы II, III и IV). Сформулируем характерные особенности предлагаемой методики:

· на этапах II, III и IV применяется векторный метод, основу которого составляют векторные рекуррентные формулы (ВРФ) и унифицированные векторные соотношения (УВС) - см. п. 4;

· бульшая часть алгоритма реализуется на векторном уровне, аналитические выкладки записываются в лаконичной векторной форме и

лишь на заключительной стадии решения (этап IV) происходит переход к скалярным уравнениям и формулам;

· все шесть неизвестных определяются в явном виде на основании простых формул.

4. Векторные рекуррентные формулы

Рассматривается система единичных векторов (ортов) e_k, e_k+1, …, e_m, удовлетворяющих условиям: (i = k, k+1, …, m1). Пусть E_k+1, E_k+2, …, E_m+1 - орты, определяемые по правилу: (i = k+1, k+2, …, m). Угол между ортами e_i2 и e_i обозначим через _i ; угол _i отсчитывается от e_i2 к e_i против часовой стрелки, если смотреть с конца орта e_i1 (i = k+2, k+3, …, m). Углы _k+2, _k+3, …, _m считаются известными.

Рассмотрим две задачи:

№1. Выразить последовательно орты e_k+2, E_k+2, e_k+3, E_k+3, …, e_m, E_m в виде их разложения по трём ортам e_k, e_k+1, E_k+1, которые принимаются в качестве базисных единичных векторов.

№2. Выразить последовательно орты e_m2, E_m1, e_m3, E_m2, …, e_k, E_k+1 в виде их разложения по трём ортам e_m1, e_m, E_m, которые принимаются в качестве базисных единичных векторов.

Задачи №1 и №2 решаются соответственно на основании прямой и обратной векторных рекуррентных формул (ВРФ) [4, 5, 11]:

Прямая ВРФ	,	(1)
Обратная ВРФ	.	(2)

При анализе положений звеньев пространственных механизмов используются не только прямая и обратная ВРФ, но и некоторые унифицированные векторные соотношения (УВС), которые получаются из ВРФ. Наиболее часто используемые УВС приведены ниже:

,	(3.1)	,	(3.2)
,	(3.3)	,	(3.4)
,	(3.5)	,	(3.6)
,	(3.7)	,	(3.8)
,	(3.9)		(3.10)
,	(3.11)	,	(3.12)
.	(3.13)

5. Условное размыкание замкнутого векторного контура механизма и анализ трёх незамкнутых кинематических цепей

Как отмечалось в п. 3, при составлении алгоритма анализа механизма RCCC сначала производится условное размыкание замкнутого векторного контура механизма в двух цилиндрических парах P₂₃ и P₄₁ и получение трёх незамкнутых кинематических цепей.

Звеньям 1 и 2, принадлежащим первой кинематической цепи, ассоциированы орты e₁, e₂, E₂, e₃, E₃, e₄ и E₄. Выразим орты e₃, E₃, e₄ и E₄ в виде их разложений по ортам базиса e₁, e₂, E₂, представив их как функции углов и ₂. С этой целью воспользуемся прямой ВРФ (1), полагая, что k =1, m = 4, ₃ = , ₄ = ₂. Тогда получаем

Со звеньями 3 и 4, принадлежащими второй кинематической цепи, неизменно связаны орты e₄, e₅, E₅, e₆, E₆, e₇, E₇, e₈ и E₈. Выразим орты e₆, E₆, e₇, E₇, e₈ и E₈ в виде их разложений по ортам базиса e₄, e₅, E₅, представив их как функции углов ₃, ₃₄ и ₄. Для этого воспользуемся прямой ВРФ (1), полагая, что k = 4, m = 8, ₆ = ₃, ₇ = ₃₄, ₈ = ₄. Тогда получаем

Звену 1, принадлежащему третьей кинематической цепи, ассоциированы орты e₉e₁, e₁₀e₂, E₁₀E₂, e₈ и E₉. Выразим орты e₈ и E₉ в виде их разложений по ортам базиса (e₉, e₁₀, E₁₀) (e₁, e₂, E₂), представив их как функции угла ₁. С этой целью воспользуемся обратной ВРФ (2), полагая, что k = 8, m = 10, ₁₀ = ₁. Тогда получаем:

6. Система уравнений, отображающих условия связей

кинематический звено рычажный механизм

Восстановим замкнутый векторный контур механизма RCCC, вновь соединив звенья 2 и 3, а также звенья 4 и 1, цилиндрическими парами. При соединении указанных звеньев на их относительные положения накладываются некоторые условия связей, которые выражаются соответствующими уравнениями. Число этих уравнений равно шести (что совпадает с числом неизвестных). Вид уравнений, а также уровень их сложности, зависит от выбранного способа их составления.

В качестве уравнений, отображающих упомянутые условия связей, выбираем следующие уравнения:

Векторному уравнению (8) соответствуют два скалярных уравнения (поскольку известно, что ). Поэтому общее число уравнений в системе (7)-(11) (в пересчёте на скалярные уравнения) равно шести.

В (7)-(11) приняты следующие обозначения: орт , относящийся ко второй цепи и фигурирующий в формулах (5); орт , относящийся ко второй цепи и определяемый по формулам (5);

; .

Если в обозначениях ортов e₄ и e₈ отсутствуют верхние индексы, то предполагается, что эти орты относятся соответственно к первой и третьей кинематическим цепям и определяются по формулам (4) и (6).

Уравнения (7) и (8) используются для определения неизвестных угловых параметров ₂₃, ₃₄ и ₄₁. При этом, уравнение (7) содержит только один неизвестный угол ₃₄, а при помощи уравнения (8) сначала определяются орты e₅ и E₅, а затем неизвестные углы ₂₃ и ₄₁.

Уравнения (9)-(11) используются для определения трёх неизвестных линейных параметров l₂₃, l₃₄ и l₄₁. При этом, каждое из указанных уравнений содержит только один неизвестный линейный параметр (который входит в соответствующее уравнение линейно).

7. Расчёт угловых параметров 34, 23 и 41

Расчёт углового параметра ₃₄

На основании формул (4)-(6) и УВС (3.13) уравнение (7) принимает такой вид:

.

Из (13) находим неизвестный угловой параметр ₃₄:

где M = +1 или -1 - признак варианта сборки механизма.

Расчёт единичных векторов, ассоциированных подвижным звеньям механизма

Из формул (4) и (6) видно, что орты e₃, E₃, e₄, E₄, e₈ и E₉, принадлежащие первой и третьей кинематическим цепям, известны, поскольку они представлены в виде их разложений по ортам неподвижного базиса (e₁, e₂, E₂) и являются функциями известных углов ₁, ₂ и . Что касается ортов e₅, E₅, e₆, E₆, e₇, E₇ и E₈, принадлежащих второй кинематической цепи, то они станут известными векторами только после того, как будут найдены вектора e₅ и E₅ в виде их разложений по ортам неподвижного базиса (e₁, e₂, E₂).

Для определения ортов e₅ и E₅ воспользуемся векторным уравнением (8). На основании формул (5) получаем:

где

Подставим из (15) в (14):

Умножим обе части уравнения (17) на орт e₄ векторно слева:

Принимая во внимание, что , и , из последнего равенства получаем:

Из двух уравнений (17) и (18) находим векторы e₅ и E₅:

Входящие в (19) и (20) орты e₄ и e₈ определяются по формулам (4) и (6) в виде их разложений по ортам неподвижного базиса (e₁, e₂, E₂):

; .

Таким образом, установлены положения всех трёх ортов подвижного базиса (e₄, e₅, E₅) по отношению к неподвижному базису (e₁, e₂, E₂). Тем самым, орты e₆, E₆, e₇, E₇, e₈, E₈, принадлежащие второй цепи и определяемые по формулам (5), теперь тоже представлены в виде их разложений по ортам неподвижного базиса (e₁, e₂, E₂). Если объединить указанные орты с ортами, принадлежащими первой и третьей цепям, то приходим к выводу, что все орты e₃, E₃, e₄, E₄, …, e₈, E₈ и E₉, ассоциированные звеньям механизма, получены в виде их разложений по ортам неподвижного базиса (e₁, e₂, E₂).

Расчёт угловых параметров ₂₃ и ₄₁

Теперь найдём два оставшихся неизвестных угловых параметра ₂₃ и ₄₁, используя унифицированные векторные соотношения (3.6) и (3.4). С учётом замены обозначений (_{5 23}, _{9 41}), получаем:

8. Расчёт линейных параметров l23, l34, l41

Неизвестные линейные параметры l₂₃, l₃₄, l₄₁ находим из уравнений (9), (10) и (11). После подстановки R из (12) в левые части уравнений (9)-(11) последние принимают такой вид:

Из уравнений (24)-(26) находим:

При получении формул (27)-(29) учтено, что

; ;

; .

9. Особые значения постоянных параметров механизма

Постоянные линейные параметры h₁, l₁₂, h₂, h₃, h₄ механизма RCCC могут принимать произвольные значения; должны лишь выполняться следующие ограничения:

h_i 0 (i = 1, 2, 3, 4).

Что касается постоянных угловых параметров ₁, ₂, ₃, ₄, то они тоже могут принимать произвольные значения, за исключением лишь так называемых особых значений. К особым будем относить следующие значения постоянных угловых параметров:

_i = 0 или (i = 1, 2, 3, 4).

Если выполняется хотя бы одно из равенств (32), то по формуле (14) для cos ₃₄ мы получаем или бесконечность (), или неопределённость вида 0/0, или тождественную константу (последнее означает, что во второй из трёх пар вида C механизма RCCC отсутствует вращательное движение). Каждый из этих особых случаев требует специального исследования, которое выходит за рамки данной работы.

В дальнейшем предполагается, что параметры ₁, ₂, ₃, ₄ удовлетворяют условиям:

sin _i 0 (i = 1, 2, 3, 4).

10. Варианты сборки механизма RCCC. Мёртвые положения

При исследовании формулы (14) для cos ₃₄ при данном значении независимого переменного параметра можно выделить три случая:

1) ;

2) ;

3) .

Случай 1. В этом случае мы получаем по формуле (14) два значения угла ₃₄, поскольку M = +1 или 1. Эти два значения отличаются друг от друга знаком, то есть если первое значение равно (₃₄)₁, то второе значение (₃₄)₂ = (₃₄)₁, причём, (₃₄)₁ 0 и (₃₄)₁ . Если выбрано какое-либо одно из двух найденных значений угла ₃₄, то пять других неизвестных параметров ₂₃, ₄₁, l₂₃, l₃₄, l₄₁ определяются по формулам (22), (23), (27), (28) и (29) однозначно. Отсюда следует вывод, что при данном значении угла механизм имеет два варианта сборки. Они различаются значением признака M сборки механизма. Тот вариант сборки, при котором M = +1, будем называть первым. Вариант сборки, соответствующий M = 1, будем называть вторым.

Как установить, какое значение M имеет реально существующий (например, в виде модели) механизм RCCC при заданном положении входного звена? Ответ на этот вопрос даёт предлагаемый способ определения признака M варианта сборки. Данный способ базируется на следующей формуле:



где векторы, направленные вдоль отрезков A₃O₃, A₄O₄, O₃A₄ соответственно (см. рис. 1).

Докажем справедливость формулы (37), базируясь на формулах (14) и (3.8) при i=7:

Заметим, что вектор направлен по общему перпендикуляру к отрезкам A₃O₃ и A₄O₄, а значит, по отрезку O₃A₄ (от O₃ к A₄ или от A₄ к O₃). Отсюда следует, что вектора и коллинеарны.

При практическом использовании формулы (38) нужно, во-первых, установить направление вектора вдоль отрезка O₃A₄ - от O₃ к A₄ или от A₄ к O₃, и во-вторых, сравнить направления векторов и . Если оба вектора направлены в одну и ту же сторону, то M = +1, если же в противоположные стороны, то M = 1.

Описанный способ определения варианта сборки механизма RCCC не требует каких-либо расчётов и выполняется путём визуального осмотра механизма или его графического изображения.

Случай 2. В этом случае получается: sin ₃₄ = 0 при M = +1 и M = 1. Это означает, что два значения угла ₃₄ совпадают, то есть вырождаются в одно значение, которое равно: ₃₄ = 0, если cos ₃₄ = +1; ₃₄ = , если cos ₃₄ = 1. Как известно, такое положение механизма называется мёртвым положением. Мёртвое положение соответствует общей границе двух сборок. В этом положении невозможна передача движения от входного звена механизма к другим его звеньям (если усилие прикладывать только к входному звену).

Итак, в мёртвом положении механизма мы имеем:

sin ₃₄ = 0, то есть ₃₄ = 0 или .

Значение угла =, при котором достигается мёртвое положение, будем называть особенным значением. Оно определяется из уравнения (35):

где ₁ = +1 или -1. При этом: если ₁ = +1, то ₃₄ = 0; если же ₁ = -1, то ₃₄ = .

При = знаменатель формул (27), (28), (29) для неизвестных параметров l₂₃, l₃₄, l₄₁ равен нулю, поскольку sin ₃₄ = 0. Вследствие этого, неизвестные l₂₃, l₃₄, l₄₁ становятся бесконечно большими. Такая ситуация не может быть реализована в реальном механизме структуры RCCC. Поэтому цель рассмотрения мёртвых положений механизма только одна: выявлять такие положения и затем их исключать при проектировании механизма RCCC.

Случай 3. В этом случае неизвестный параметр ₃₄ не может быть найден. Это означает, что механизм RCCC не существует в виде замкнутой кинематической цепи.

11. Последовательность расчёта

Расчёт неизвестных переменных параметров ₂₃, ₃₄, ₄₁, l₂₃, l₃₄, l₄₁ механизма RCCC при заданных значениях его постоянных параметров h₁, h₂, h₃, h₄, l₁₂, ₁, ₂, ₃, ₄, признака M сборки и независимого переменного параметра производится в следующей последовательности:

1) проверка условий (31) и (33), которым должны удовлетворять постоянные параметры;

2) расчёт ортов e₃, E₃, e₄, E₄, e₈ и E₉ по формулам (4) и (6);

3) расчёт cos ₃₄ по первой из формул (14); проверка условия: ; если условие не выполняется, то расчёт прекращается (так как механизм не существует при данном ); если условие выполняется, то производится расчёт по второй из формул (14), после чего определяется угол ₃₄;

4) расчёт величин B₁, B₂, B₃ по формулам (16), а также ортов e₅ и E₅ по формулам (19) и (20);

5) расчёт ортов e₆, E₆, e₇, E₇ и E₈ по формулам (5);

6) расчёт углов ₂₃ и ₄₁ по формулам (22) и (23);

7) расчёт вектора R₁ по второй из формул (12), а также неизвестных l₂₃, l₃₄, l₄₁ по формулам (27), (28) и (29).

12. Численный пример

Дано: h₁ = h₂ = h₃ = h₄ = l₁₂ = 1, ₁ = 45, ₂ = 120, ₃ = 300, ₄ = 240.

Требуется выполнить анализ механизма при = 30 для случая, когда M = 1.

В соответствии с описанным выше алгоритмом получаем (все вектора представлены в виде их разложений по ортам неподвижного базиса e₁, e₂, E₂):

, , , , ,

,

₃₄ = 32.3090, B₁ = 0.88388, B₂ = 0.46288, B₃ = 0.06704,

, , , , , , , ,

l₂₃ = 0.12388, l₃₄ = 0.44099, l₄₁ = 0.70879.

Список литературы

1. Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: Наука, 1982, 336 с.

2. Механика машин: Учебное пособие для втузов / И.И. Вульфсон, М.Л. Ерихов, М.З. Коловский, Э.Е. Пейсах и др.; Под редакцией Г.А. Смирнова. М.: Высшая школа, 1996, 511 с.

3. Пейсах Э.Е. Исследование и синтез четырёхзвенных механизмов. Конспект лекций. - Л.: ЛИТЛП, 1983, 64 с.

4. Пейсах Э.Е. Векторная рекуррентная формула и ее применение в пространственной кинематике. - Сборник: "Теория механизмов и машин", Харьков, изд-во ХГУ, выпуск 39, 1985, с. 133-140.

5. Пейсах Э.Е. Определение положений звеньев одноконтурных пространственных рычажных механизмов на основе векторной рекуррентной формулы. - International Conference "Spatial Mechanisms and High Class Mechanisms (Theory and Practice)", Proceedings, Vol. 1, Republic of Kazakhstan, Almaty, 1994, с. 46-51.

6. Пейсах Э.Е. Кинематический анализ рычажных механизмов. - Глава 2 в части II книги: Машиностроение. Энциклопедия (в сорока томах), том I-3, книга 2. М.: Машиностроение, 1995.- 624 с. (с. 395-430).

7. Cheng, H.H. and Tompson, S.: Singularity analysis of spatial mechanisms using dual polynomials and complex dual numbers. Transactions of ASME, Vol. 121, June 1999, p. 200-205

8. Crane III, C.D., Duffy, J.: Kinematic analysis of robot manipulators. Cambridge Univ. Press, 1998, 429 p.

9. Dukkipati, R.V.: Spatial mechanisms. Analysis and Synthesis. Narosa Publ. House, New Delhi, India, 2001, 367 pp.

10. McCarthy, J.M.: Geometric Design of Linkages. Springer-Verlag, New York, 2000, 320 p.

11. Peisach E.E. The vectorial recurrent formula and its use in kinematics of spatial linkages and manipulators. - X Congresso Nazionale dell' Associazione Italiana di Meccanica Teorica ed Applicata (AIMETA), Volume secondo, Italia, Pisa, 1990, p. 489-493.

12. Reinholtz, C.F., Sandor, G.N., Duffy, J.: Branching Analysis of Spherical RRRR and Spatial RCCC Mechanisms. Transactions of the ASME, Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, 1986, Vol. 108, p. 481-486.

13. Shaoen, F.: Analysis of spatial four-bar RCCC mechanism. Proceedings of Intern. Conference on Mechanical Transmissions and Mechanisms, Tianjin, China, 1997, p. 192-195.

14. Suh, C.H., Radcliffe, C.W.: Kinematics and mechanism design. John Wiley and Sons, New York, 1978, 434 p.

Размещено на Allbest.ru

...