Анализ положений звеньев и области существования сборок пятизвенного пространственного механизма ВЦВЦВ

Геометрия механизмов

Размещено на http://www.allbest.ru/

6

http://tmm.spbstu.ru

АНАЛИЗ ПОЛОЖЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ И ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ СБОРОК ПЯТИЗВЕННОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЕХАНИЗМА ВЦВЦВ

Э.Е. ПЕЙСАХ

1. Анализ положений звеньев механизма ВЦВЦВ при заданном положении входного звена

Задача о положениях звеньев механизма ВЦВЦВ рассматривалась в работах [1] - [5]. Соотношение между входным и выходным переменными угловыми параметрами было получено ранее в виде уравнения 4-го порядка, в котором в качестве неизвестного выступает . Алгоритм вычисления коэффициентов указанного уравнения является достаточно сложным. Методика решения задачи, предлагаемая в данной статье, отличается от известной методики тем, что, во-первых, значительно упрощён способ составления итогового уравнения , во-вторых, в качестве неизвестного в итоговом уравнении фигурирует параметр, который может изменяться только в пределах от 1 до +1 (в отличие от , который может принимать значения от до +, что создаёт известные вычислительные трудности при поиске корней уравнения), в-третьих, расчёт точных значений коэффициентов уравнения 4-го порядка производится на основе специального метода, при котором не составляются, а значит, и не используются, буквенные аналитические выражения для этих коэффициентов, в-четвёртых, расчёт пяти других (кроме ) неизвестных переменных параметра механизма значительно упрощён.

Постановка задачи. Кинематическая схема механизма ВЦВЦВ (В - вращательная пара, Ц - цилиндрическая пара) показана на рис. 1. К постоянным параметрам механизма относятся следующие тринадцать параметров: h₁, ₁, l₁₂, h₂, ₂, h₃, ₃, l₃₄, h₄, ₄, h₅, ₅, l₅₁. Значения постоянных параметров известны. Задано значение независимого переменного параметра ₁₂, определяющего положение входного звена 2 относительно стойки 1. Требуется найти значения шести зависимых переменных параметров ₂₃, ₃₄, ₄₅, ₅₁, l₂₃, l₄₅, определяющих положения ведомых звеньев 3, 4 и 5.

Положение стойки механизма определяется тройкой неподвижных базисных ортов (e₁, e₂, E₂) (e₁₁, e₁₂, E₁₂). Ориентация в пространстве подвижных звеньев 2, 3, 4 и 5 устанавливается при помощи ортов e₃, e₄, …, e₁₀, а также вспомогательных ортов E₃, E₄, …, E₁₁. Орты и взаимно ортогональны. Орт определяется по формуле: .

Методика решения задачи. Далее будем использовать краткие обозначения для синусов и косинусов угловых параметров:

, ;

, .

Предлагаемая методика решения задачи включает в себя следующие этапы:

Этап 1. Составление уравнения вида , связывающего входной угол и неизвестный выходной угол .

Этап 2. Доказательство того факта, что функция имеет вид тригонометрического многочлена

,

коэффициенты b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ которого зависят от и постоянных параметров механизма (при этом, в соответствии с описываемой методикой, не ставится задача получения развёрнутых буквенных выражений для указанных коэффициентов в виде функций и тринадцати постоянных параметров).



Рис. 1 Механизм ВЦВЦВ

Этап 3. Расчёт численных значений коэффициентов b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ по заданным значениям и постоянных параметров механизма на основании специальной методики, основанной на методе интерполирования (без использования развёрнутых буквенных выражений для указанных коэффициентов).

Этап 4. Преобразование тригонометрического уравнения к алгебраическому уравнению 4-го порядка

где ; p₁, p₂, p₃, p₄, p₅ коэффициенты полинома , которые выражаются через коэффициенты b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ тригонометрического уравнения.

Этап 5. Решение уравнения 4-го порядка (3) относительно u, отбор вещественных корней среди найденных значений u, расчёт значений неизвестного параметра .

Этап 6. Расчёт пяти других неизвестных параметров: ₂₃, ₃₄, ₄₅, l₂₃, l₄₅.

Получение одного уравнения с одним неизвестным. Для решения задачи о положениях звеньев механизма ВЦВЦВ применяем векторный метод, основанный на использовании векторных рекуррентных формул (ВРФ) [6][8]. Этот метод позволяет получить одно уравнение вида с одним неизвестным .

Производим условное размыкание замкнутого векторного контура механизма ВЦВЦВ в двух цилиндрических парах. В результате этого замкнутый контур распадается на три кинематические цепи: (звенья 1 и 2), (звенья 3 и 4), (звенья 5 и 1). Отметим, что O₆ O₁, A₆ A₁.

На основании ВРФ получаем выражения для ортов, относящихся к первой, второй и третьей цепям.

Орты e₃, E₃, e₄, E₄, относящиеся к первой цепи, выражаются через орты неподвижного базиса (e₁, e₂, E₂) по формулам:

;

.

Орты e₆, E₆, e₇, E₇, e₈, E₈, относящиеся ко второй цепи, выражаются через орты подвижного базиса (e₄, e₅, E₅) на основании формул:

;

;

.

Орты e₁₀, E₁₁, e₉, E₁₀, e₈, E₉, относящиеся к третьей цепи, выражаются через орты неподвижного базиса (e₁₁, e₁₂, E₁₂) (e₁, e₂, E₂) по формулам:

.

Далее составляем два скалярных уравнения:

Здесь приняты следующие обозначения:

орт , относящийся к первой цепи и определяемый по формулам (4);

орт , относящийся ко второй цепи и фигурирующий в формулах (5);

орт , относящийся ко второй цепи и определяемый по формулам (5);

орт , относящийся к третьей цепи и определяемый по формулам (6);

, , .

Равенство (8) получается из уравнения замкнутости векторного контура механизма , если последнее умножить скалярно на вектор . Вектор R, фигурирующий в уравнении , определяется по формуле: .

Можно показать, что уравнения (7) и (8) содержат только два неизвестных, а именно: ₃₄ и ₅₁. Таким образом, предлагаемый векторный метод позволяет уже на начальном этапе формирования математической модели задачи о положении звеньев механизма ВЦВЦВ исключить четыре неизвестных: ₂₃, ₄₅, l₂₃, l₄₅.

Введём следующие обозначения:

; ;

; .

Нетрудно показать, что

, , , .

С учётом обозначений (10), уравнения (7) и (8) можно записать в таком виде:

, .

Используя формулы (5), (9) и (10), раскроем функции и :

; ,

Где

, , .

Теперь уравнения (12) принимают следующий вид:

; .

Из уравнений (15) находим и :

, ,

Где

.

На основании тождества и формул (16) получаем уравнение

с одним неизвестным ₅₁.

Если раскрыть выражения (10) для функций и , используя формулы (6) и (9), то можно показать, что синус и косинус неизвестного угла входят в эти выражения линейно. Отсюда следует, что функция является тригонометрическим многочленом вида (2).

Алгоритм анализа механизма. Алгоритм решения задачи включает четыре раздела, соответствующие этапам 3, 4, 5 и 6 описанной выше методики.

1. Расчёт коэффициентов тригонометрического многочлена .

Развёрнутые выражения для коэффициентов b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ тригонометрического многочлена весьма громоздки. К тому же, их использование при анализе механизма ВЦВЦВ связано с большим объемом вычислений и существенным увеличением программы для компьютера. Между тем, численные значения этих коэффициентов при заданном значении ₁₂ могут быть найдены без привлечения аналитических выражений для них, а при помощи специального метода, основанного на интерполиро-вании [8], [9].

Алгоритм расчёта коэффициентов b₁, …, b₅ на основе упомянутого метода включает в себя следующие пункты:

1.1. Расчёт постоянных (не зависящих от ) скалярных величин и единичных векторов по формулам (14), (17) и (6).

1.2. Определение векторов , зависящих от переменного параметра по формулам (4) и (9).

1.3. Присвоение значений вспомогательным параметрам :

1.4. Расчёт векторов и скалярных величин

,

, ;

, ;

для значений индекса .

1.5. Расчёт коэффициентов b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ по формулам:

2. Определение коэффициентов алгебраического уравнения (3).

Коэффициенты p₁, p₂, p₃, p₄, p₅ выражаются через b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ на основании следующих формул:

3. Расчёт неизвестного углового параметра ₅₁.

В результате аналитического решения уравнения 4-я порядка (3) определяются вещественные корни . Здесь H - число вещественных корней. Отметим, что все вещественные корни уравнения (3) принадлежат отрезку .

Очевидно, что . Случай означает, что при заданных значениях постоянных параметров механизма и входного угла ₁₂ механизм не существует. Случай означает, что при данном ₁₂ неизвестный параметр ₅₁ принимает H значений. Эти значения определяются по формулам:

.

4. Расчёт неизвестных параметров ₂₃, ₃₄, ₄₅, l₂₃, l₄₅.

Расчёты в разделе 4 производим для каждого из найденных значений . Для упрощения обозначений индекс k будем далее опускать.

4.1. Определение векторов и скалярных величин и , зависящих от переменных параметров и , по формулам (6), (9) и (10).

4.2. Расчёт неизвестного углового параметра по формуле (16).

4.3. Определение скалярных величин B₁, B₂, B₃ и единичных векторов e₅ и E₅ по формулам:

;

, ;

4.4. Расчёт единичных векторов e₆, E₆, e₇, E₇, E₈ по формулам (5).

4.5. Расчёт неизвестных угловых параметров ₂₃ и ₄₅:

;

.

4.6. Расчёт векторов и и неизвестных линейных параметров l₂₃ и l₄₅:

, ;

, .

Основной случай и особые случаи. Описанный выше алгоритм анализа механизма реализуется во всех тех случаях, когда выполняются следующие условия:

; ; ; ;

; ; .

Если все 6+H неравенств (32) выполняются, то такой случай анализа механизма ВЦВЦВ будем называть основным. Если же хотя бы одно из указанных неравенств не выполняется, то соответствующий случай будем называть особым. В особом случае описанный выше алгоритм используется до определённого этапа. Начиная же со следующего этапа, в алгоритм необходимо вносить соответствующие изменения. Особые случаи здесь не рассматриваются.

Число вариантов сборки механизма при данном положении входного звена. Выше было показано, что , где H число решений задачи анализа механизма ВЦВЦВ при данном . Обычно или 4. В особых (весьма редких) случаях число H может принимать значения 1 или 3.

Каждое из H решений задачи соответствует одному варианту сборки механизма ВЦВЦВ. Следовательно, при данном ₁₂ механизм имеет H вариантов сборки, т. е. звенья 3, 4 и 5 механизма могут занимать H несовпадающих положений в пространстве.

Число H вариантов сборки механизма ВЦВЦВ можно найти также и вторым способом, при котором не требуется определять корни уравнения (3) 4-й степени, а нужно знать лишь значения коэффициентов p₁, p₂, p₃, p₄, p₅ полинома P(u). Этот способ базируется на методе Штурма определения числа вещественных корней полинома на заданном отрезке.

Выше отмечалось, что все вещественные корни полинома P(u) лежат на отрезке . В соответствии с методом Штурма, число H вещественных корней полинома n-го порядка, лежащих на отрезке , определяется по формуле

,

где N(u) число перемен знака в последовательности f₀(u), f₁(u),..., f_n(u); , , остаток от деления на , взятый с коэффициентом 1 (k = 2, 3,..., n).

2. Сборки механизма ВЦВЦВ

Постановка задачи. В разделе 1 был изложен алгоритм решения первой задачи анализа механизма ВЦВЦВ, цель которой - определение положений звеньев 3, 4 и 5 при заданном положении входного звена 2. В данном разделе речь пойдёт о второй задаче анализа этого механизма.

Цель решения второй задачи - получение непрерывных функций положения , , …, для каждой из возможных сборок механизма, а также определение областей существования (по аргументу ) каждой из сборок. Здесь приняты следующие обозначения: ; , , , , , .

Два этапа решения второй задачи анализа механизма ВЦВЦВ. Процедуру решения второй задачи разделим на два этапа.

Первый этап: многократное решение первой задачи анализа для ряда последовательных значений входного угла .

В качестве последовательных значений выбираются следующие значения:

.

Число N можно взять равным, например, 360.

В результате решения первой задачи анализа для каждого значения угла () мы получаем:

· соответствующее число вариантов сборки механизма;

· значения шести неизвестных переменных параметров механизма , , , , , , где (k - порядковый номер варианта сборки при ).

Второй этап: получение непрерывных функций положения , …, для каждой из возможных сборок механизма (в табличной форме); систематизация найденных сборок; определение границ (по углу ) для всех некривошипных сборок.

Сборки механизма. Сборки механизма могут быть кривошипными или некривошипными.

В случае кривошипной сборки любая из функций положения , , является периодической функцией с периодом, равным 2.

В случае некривошипной сборки функции положения существуют на ограниченном отрезке изменения независимой переменной . Положение механизма при или называют мёртвым положением. Значения и , соответствующие границам некривошипной сборки, будем называть критическими точками.

Как правило, длина отрезка меньше чем 2. Однако в редких случаях встречаются некривошипные сборки, у которых . Такие сборки будем называть парадоксальными. У парадоксальной сборки при любом значении .

Обозначим через G, G₁ и G₂ общее число сборок, число некривошипных сборок и число кривошипных сборок механизма на отрезке соответственно. Критическая точка является общей границей (левой или правой) двух некривошипных сборок. Число G₁ некривошипных сборок совпадает с числом критических точек на отрезке и, как правило, является чётным.

Обратим внимание на различие двух понятий: 1) число вариантов сборки механизма при данном значении ; 2) число сборок механизма на заданном отрезке изменения независимой переменной , в частности - число G сборок на отрезке .

Отметим, что в большинстве случаев , где наибольшее из значений H_i , но могут встретиться и случаи, когда . Для механизма ВЦВЦВ имеем: (см. раздел 1).

Определение мёртвых положений механизма. При приближении к границе некривошипной сборки, т. е. к мёртвому положению механизма, производные функций положения неограниченно возрастают. На этом факте основан способ определения границ некривошипных сборок. В соответствии с этим способом, значения и , соответствующие границам некривошипных сборок, определяются из системы двух уравнений:

; ,

механизм звено сборка кривошипный

где якобиан неявно заданной функции .

Функция выражается формулой (2). Отсюда следует, что уравнения (35) можно записать в таком виде:

;

.

Из двух уравнений (35) можно исключить аналитически неизвестный параметр ₅₁ и получить одно уравнение вида с одним неизвестным . Корни этого уравнения, принадлежащие отрезку , могут быть найдены численным способом. При разработке соответствующего алгоритма приходится принимать во внимание два осложняющих обстоятельства: во-первых, следует найти все без исключения корни уравнения на отрезке , во-вторых, нужно выявить и отбросить "лишние" корни, которые могут появиться вследствие преобразований, связанных с исключением одного неизвестного из системы нелинейных уравнений (36).

Поэтому более предпочтительным нам представляется другой способ определения значений входного угла , соответствующих границам некривошипных сборок механизма. Этот способ базируется на том, что при переходе значения через критическую точку (границу сборки) изменяется число H вариантов сборки механизма.

Пусть - одна из критических точек. Тогда можно указать такое > 0, что в промежутке механизм будет иметь H сборок, а в промежутке у него будет или сборки, т. е. при переходе через критическую точку число сборок изменится на 2 единицы.

Отсюда следует простой и эффективный способ определения всех критических точек: нужно зафиксировать такие значения угла , при которых происходит изменение числа H сборок. Поскольку число H сборок механизма ВЦВЦВ совпадает с числом вещественных корней алгебраического уравнения (3) 4-го порядка, то для определения H можно применить метод Штурма (см. выше), при котором используются только коэффициенты p₁, p₂, p₃, p₄, p₅ полинома P(u) и не требуется находить его корни.

На первом этапе решения второй задачи были найдены значения H_i при . В связи с определением критических точек, выделим сначала такие значения номеров i, при которых . Далее внутри каждого из выделенных отрезков найдём критическую точку путём локализации её методом дихотомии. На каждом шаге дихотомии (половинного деления) применяется метод Штурма. Процедура заканчивается при достижении заданной точности определения значения .

При поиске нужно учитывать следующую рекомендацию. Пусть и два значения такие, что и , где - заданная максимальная погрешность определения величины . Тогда определяется по правилу:

если в противном случае.

В результате применения описанной методики определяются: 1) число G₁ критических точек; 2) значения , , … входного угла в критических точках (только в случае, если ). При анализе механизма ВЦВЦВ встречались случаи, когда , 2, 4, 6 (но не исключено, что могут встретиться также и случаи, когда ).

Формирование функций положения для различных сборок механизма. На втором этапе решения второй задачи анализа необходимо, используя массив числовых результатов, полученных на первом этапе, построить непрерывные функции положения звеньев механизма для каждой из возможных его сборок. Можно сказать, что на втором этапе числовая информация, упорядоченная по одному принципу, перераспределяется и преобразуется в числовую информацию, упорядоченную по другому принципу. Такое преобразование выполняется на основе методики, названной процедурой идентификации сборок [9], [10]. Эта процедура реализуется в автоматическом режиме в соответствующем блоке компьютерной программы.

В процедуре идентификации сборок используется несколько признаков, или критериев, с помощью которых производится распределение значений , , , , , шести переменных параметров, найденных на первом этапе, по отдельным сборкам механизма ВЦВЦВ (здесь: ; ). Последовательное использование нескольких критериев позволяет повысить надёжность результатов решения второй задачи анализа, то есть избежать ошибок при формировании непрерывных функций положения для каждой из сборок.

Число возможных сборок механизма ВЦВЦВ при заданных значениях его постоянных параметров равно числу различных ветвей каждой из шести функций положения; причём, каждая из этих ветвей имеет свою область существования. Области существования для всех шести функций положения, относящихся к одной и той же сборке механизма ВЦВЦВ, одинаковы. Поэтому достаточно найти область существования этой сборки только для какой-либо одной из функций положения, например, для функции (или в других обозначениях - для функции).

Якобиан D и его использование при идентификации сборок. Как было указано выше, якобиан определяется по формуле:

,

где b₁, b₂, b₃, b₄ коэффициенты, зависящие от и постоянных параметров механизма (см. раздел 1).

При расчёте якобиана D по формуле (38) при некотором используются найденные ранее результаты решения первой задачи анализа механизма, а именно: 1) коэффициенты b₁, b₂, b₃, b₄; 2) число вариантов сборки; 3) значения параметра для каждого из вариантов сборки (). Значения якобиана D при и будем обозначать через ().

Якобиан D обращается в нуль только на границах некривошипных сборок. Что касается кривошипной сборки, а также внутренней части области существования любой из некривошипных сборок, то знак якобиана D остаётся неизменным. Следовательно, знак якобиана D можно использовать в качестве одного из критериев при идентификации сборок.

В некоторых случаях знак якобиана D может выступать в качестве единственного критерия, позволяющего вполне достоверно идентифицировать сборки механизма. Такой случай имеет место, например, когда при всех . В этом случае одно из двух значений , якобиана D является положительным, а другое отрицательным. Отсюда следует, что половина из всех найденных значений (; ) имеет знак плюс, а другая половина - знак минус. Все расчётные точки, у которых , относятся к первой сборке механизма, а точки, у которых , ко второй сборке. При этом обе найденные сборки являются кривошипными.

3. Численный пример

Заданы постоянные параметры механизма ВЦВЦВ: , , , , , , , , , , , , .

В результате анализа механизма по описанной выше методике установлено, что рассматриваемый механизм имеет три сборки: одну кривошипную и две некривошипных, причём, одна из некривошипных сборок является парадоксальной. На рис. 28 приведёны графики функций положения , , , , , и якобиана для всех трёх сборок.

На отрезке [0, 360] всего имеются две критические точки (которые являются одновременно мёртвыми положениями механизма, а также границами областей существования некривошипных сборок). Значения входного угла в критических точках: , . В двух указанных точках (и только в них) якобиан .

Области существования некривошипных сборок: для обыкновенной некривошипной сборки; для парадоксальной сборки. Длина отрезка изменения угла для парадоксальной сборки составляет: .

При любом значении в интервале число вариантов сборки механизма , а в интервале число вариантов сборки . Отметим, что для рассматриваемого механизма , так как , а .

Для кривошипной сборки якобиан при всех . Для некривошипной сборки при всех . Для парадоксальной сборки при всех .

Рис. 2 Графики функций для трёх сборок

Рис. 3 Графики функций для трёх сборок

Рис. 4 Графики функций для трёх сборок

Рис. 5 Графики функций для трёх сборок



Рис. 6 Графики функций для трёх сборок

Рис. 7 Графики функций для трёх сборок

Размещено на http://www.allbest.ru/

16

http://tmm.spbstu.ru

Рис. 8 График зависимости якобиана D от 12 для трёх сборок

Список литературы

1. Диментберг Ф.М. Общий метод исследования конечных перемещений пространственных механизмов и некоторые случаи пассивных связей. Труды семинара по теории механизмов и машин, АН СССР, Москва, 1948, том V, вып. 17, с. 5-39.

2. Crane III, C.D., Duffy, J. Kinematic analysis of robot manipulators. Cambridge Univ. Press, United Kingdom, Printed in USA, 1998, 429 p.

3. Duffy, J. Analysis of mechanisms and robot manipulators. John Wiley & Sons Inc., New York, 1980.

4. Duffy, J., Habib-Olahi, H.Y. A displacement analysis of spatial five-link 3R-2C mechanisms. Part 1: On the closures of the RCRCR mechanism. Journal of Mechanisms, 1971, Vol. 6, No. 3, pp. 289-301.

5. Yuan, M.S.C. Displacement analysis of the RCRCR five-link spatial mechanism. - Journal of Mechanisms, 1971, Vol. 6, No. 1.

6. Пейсах Э.Е. Векторная рекуррентная формула и ее применение в пространственной кинематике. Сборник "Теория механизмов и машин", Харьков, изд-во ХГУ, выпуск 39, 1985, с. 133-140.

7. Peisach, E.E. The vectorial recurrent formula and its use in kinematics of spatial linkages and manipulators. - X Congresso Nazionale dell' Associazione Italiana di Meccanica Teorica ed Applicata, Volume secondo, pp. 489-493, Italia, Pisa, 1990.

8. Пейсах Э.Е. Структура и кинематика пространственных рычажных механизмов. -Санкт-Петербургский гос. университет технологии и дизайна.-СПб, 2004.-212с.

9. Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. - Изд-во “Машиностроение”, Москва, 1988, 232 с.

10. Пейсах Э.Е. Идентификация сборок рычажных механизмов. - V konference o teorii stroju a mechanismu. Sbornik "B". Vysoka skola strojni a textilni v Liberci, Liberec, CSSR, 1988, s. 225-230.

Размещено на Allbest.ru

...